EMENTA: Cálculo diferencial de várias variáveis, noções de Geometria Diferencial e de funções

holomorfas

OBJETIVOS GERAIS: Adquirir desenvoltura com o cálculo diferencial de várias variáveis,

desenvolver a visão espacial e compreender as idéias de base da geometria diferencial

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:

UNIDADE I: Curvas parametrizadas, velocidade, aceleração, curvatura e torção

UNIDADE II: Introdução à topologia de IRn, limites, continuidade, conjuntos abertos, fechados;

compacidade seqüencial de fechados limitados; conjuntos conexos e conexos por caminhos

UNIDADE III: Funções de IRn em IR, derivadas direcionais, derivadas parciais, máximos e

mínimos

UNIDADE IV: Gráficos de funções de IR2 em IR, plano tangente e aproximação linear, exemplos

em que há derivadas parciais mas não plano tangente; definição de diferencial como aproximação

linear; gradiente, curvas e superfícies de nível; regra da cadeia; teorema da função inversa,

funções implícitas; extremos condicionados, multiplicadores de Lagrange; derivada segunda e

hessiana, lema de Morse; polinômio de Taylor

UNIDADE V: Curvas parametrizadas sobre uma superfície, componentes tangencial e normal do

vetor aceleração, primeira forma fundamental; aplicação normal de Gauss, curvatura gaussiana

UNIDADE VI: Origem dos números complexos, funções de variável complexa; funções polinomiais

e racionais, transformações de Möbius; extensão para C de funções definidas por séries de

potências; holomorfia e transformações conformes, equações de Cauchy-Riemann; projeção

estereográfica; exponencial complexa e logaritmo

BIBLIOGRAFIA:

1. Courant, R., Differential and Integral Calculus, vol. II

2. Marsden, J. & Tromba, A., Vector Calculus

3. Apostol, T., Calculus, vol. II

4. do Carmo, M. P., Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies

5. Ahlfors, L. V.; Complex Analysis