Espaços de probabilidade. Vetores aleatórios. Distribuição e esperança condicionais. Função geratriz e função característica. Teoremas limites.

Habilitar o aluno a sintetizar informações que são ministradas com vistas à elaboração de conceitos mais complexos; resolver problemas simples usando raciocínio probabilístico.

UNIDADE  I – Espaços de Probabilidade. Modelo matemático para um experimento (modelo probabilístico). Álgebra de eventos e s-álgebra de eventos: definição e propriedades.

Axiomas da probabilidade (s-aditividade), continuidade no vazio. Propriedades da probabilidade. Espaço de probabilidade: definição.

UNIDADE II – Vetores Aleatórios

Introdução: definição de uma variável aleatória, distribuição e propriedades. Funções de variáveis aleatórias: transformação de escala e posição, transformação integral da probabilidade. Caracterização adicional de variáveis aleatórias: momentos.

Vetores aleatórios de dimensão 2. Distribuição: definição e propriedades. O caso discreto: função de probabilidade conjunta, funções de probabilidade marginais e condicionais. O caso contínuo: função de densidade conjunta, funções de densidade marginais e condicionais. Variáveis aleatórias independentes.  Extensão para o caso de dimensão n≥2. 2.4 Distribuições especiais: Normalmultivariada e Multinomial

UNIDADE III – Funções univariadas das componentes de um vetor aleatório.

Soma e diferença de variáveis aleatórias independentes. Convolução.

Produto e Quociente de variáveis aleatórias.

UNIDADE IV – Distribuição conjunta de funções de variáveis aleatórias.

O método Jacobiano para o caso de dimensão 2. Exemplos.

Extensão para o caso de dimensão n≥2.

UNIDADE V – Distribuições Especiais

Distribuição de Qui-quadrado. Definição, propriedades e aplicações (independência da média e variância amostrais para amostras da normal).  Distribuição t: definição e propriedades.  Distribuição F: definição e propriedades.  Estatísticas de Ordem: definição e distribuições conjuntas e marginais, aplicações.

UNIDADE VI – Esperança.

Definição Geral de Esperança.  Propriedades da Esperança.  Esperança Condicional: definição, propriedades. Cálculo da esperança e da variância por condicionamento (exemplos típicos: soma aleatória de variáveis aleatórias independentes).  Desigualdade de Jensen. Desigualdade de Tchebyshev

UNIDADE VII – Lei dos Grandes Números.

Tipos de Convergência: convergência em probabilidade e convergência quase certa.

Lei Fraca dos Grandes Números.  Lei Forte dos Grandes Números.  Exemplos.

 UNIDADE VIII – Funções características, convergência em distribuição.

Teorema Central do Limite. Funções características: definição e propriedades.  Convergência em distribuição: definição e alguns resultados.  Teorema Central do Limite: para variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas.  Teorema Central do Limite para variáveis aleatórias independentes (condição deLindeberg, Liapounov).  Aplicações.

 BIBLIOGRAFIA:

[1] James, B. (1981). Probabilidade: um curso em nível intermediário.IMPA. Projeto Euclides.

[2] Magalhães, M. N. (2004). Probabilidade e Variáveis Aleatórias. Ed.Universidade de São Paulo.

[3] Shiryayev, A. N. (1995). Probability. Second edition. Springer.

[4] BILLINGSLEY, PATRICK. Convergence of probability measures — 2.ed.– — New York : J. Wiley & Sons, c1999.

[5] Hoel, P.G. e Stone, C. J. (1978). Introdução à Teoria da Probabilidade. Editora Interciência.

[6] Breiman, L. (1992). Probability. SIAM classics in applied mathematics7.