Esta é a página oficial da disciplina de Álgebra Linear II (MAE 125) ministrada pelo professor Milton R Ramirez, do Departamento de Matemática Aplicada, do Instituto de Matemática da UFRJ, oferecida aos cursos do bacharelado em Matemática, Estatística e Atuária, através da turma Unificada de Álgebra Linear de números SIGA 12535, às terças e quintas de 10h às 12h, na sala F2 014/016 do CCMN/UFRJ

A disciplina de Álgebra Linear II trata do estudo de espaços e subespaços vetoriais, de sistemas de equações lineares, álgebra matricial, determinantes, transformações lineares, autovalores,  autovetores e diagonalização de operadores lineares, produto interno, ortogonalidade e como tal ferramental matemático vem no auxílio à solução de diversos tipos de problemas em engenharias e ciência geral, que envolvem modelos lineares, fatoração matricial, solução de equações de diferenças, cadeias de Markov, solução de sistemas dinâmicos discretos, de sistemas de equações diferenciais, de problemas de mínimos quadrados, aproximações de funções por séries de Fourier, decomposição espectral de matrizes, classificação de formas quadráticas, solução de problemas de otimização e de decomposição em valores singulares (SVD). A teoria da álgebra linear é fundamento central no entendimento e desenvolvimento de métodos numéricos computacionais para processamento estatístico de dados, processamento de imagens, processamento de Inteligência Artificial (Machine Learning), computação gráfica e realização de análises (Analytics, BI, Ciência de Dados, Engenharia de Dados) em bases de dados volumosas, ou Big Data, tais como aquelas encontradas nos servidores da Amazon, Google, Facebook, Instagram, YouTube, e em qualquer grande corporação empresarial ou banco de dados governamentais. 

Adotaremos a metodologia de aprendizado clássica, com ligeiras modificações, baseada em sequência pré-determinada de leituras, discussão em sala de aula e realização de listas de exercícios, apoiados nos seguintes livros texto:

1.  Álgebra Linear e suas Aplicações, 5a Edição; David C Lay, Steven R Lay, Judi J. McDonald; 2018; Editora LTC .

2. Curso de Álgebra Linear, Fundamentos e Aplicações, 3a Edição; M. Cabral, P. Goldfeld; 2021

Os livros escolhidos não o foram por serem os melhores, mas por suas características adequadas a esta cadeira, permitindo o acompanhamento das aulas, dando embasamento para as discussões em sala de aula, e facilitando o estabelecimento de listas de exercícios com diferentes níveis de dificuldade.

Nos semestres anteriores era fortemente recomendado a aquisição de algum livro de Álgebra Linear, pois há uma gama de escolha de bons títulos de Álgebra Linear disponíveis nas bibliotecas, ou para a compra nas livrarias. A leitura de um livro de Álgebra Linear diferente do adotado é livre, e até recomendada, porém as tarefas de leituras e listas de exercícios serão todas baseadas nos livros texto adotados.

O método a ser adotado para essa disciplina possui seis diretivas :

1. Sequência pré-determinada de leitura dos livros texto, com correspondente discussão em sala de aula.

2. Aulas semanais com o professor nos horários de terça e quinta, de 10h às 12h, na sala F2-014/016 do CCMN/UFRJ. Caso haja necessidade de aula ministradas de forma remota, será utilizada uma sala no Google Meet que será informada através do AVA@UFRJ.

3. Sequência pré-determinada de listas de exercícios recomendados, com alternativas mais direta para aqueles mais habilidosos.

4. Participação nos Fórum de discussão assíncronos, através do AVA@UFRJ, para aprofundamento de tópicos, orientação de estudo e esclarecimento de dúvidas.

5. Todas atividades de ensino terão como apoio o Ambiente Virtual de Aprendizado da UFRJ: AVA@UFRJ 

6. Avaliações baseada em três Lista de Exercícios e três Provas.

As aulas, a que se refere o item 3, apresentarão o conteúdo na mesma sequencia apresentada na seção sobre "Ementa e Calendário". Isso vem em auxílio àqueles que porventura tiverem algum impedimento pessoal, para assistir a alguma das aulas. Deste modo poderão dar continuidade ao processo de aprendizado através de uma rotina adequada de estudos que siga a sequência semanal pré-determinada.

As atividades pedagógica serão realizadas com o apoio do Ambiente Virtual de Aprendizado da UFRJ, disponível em AVA@UFRJ, onde o estudante já estará cadastrado diretamente pelo SIGA. Caso haja algum problema na inscrição, utilize as seguinte chaves de acesso de autoinscrição na turma de Álgebra Linear do prof. Milton R Ramirez:

• Turma da MANHÃ , de 10h às 12h (SIGA turma no 12535): 

  • No AVA@UFRJ, busque por: "Alg Lin [Unif][10-12] Est + Bach + Atu", ou pela palavra curta "GRAD.2024-1.MAE125.12535"

  • Chave de autoinscrição: MR2-AL2

Além do AVA@UFRJ há os seguintes canais para auxiliar na comunicação entre estudantes, o professor e a coordenação das turmas unificadas de Álgebra Linear:

• e-mails (dúvidas e questões individuais): 

• milton@matematica.ufrj.br

• Discord (reuniões, fóruns, chats de discussões para toda a turma e mensagens individuais): 

  • Convite para a Arena da turma: Arena no Discord

• Google Classroom: o curso “Álgebra Linear – MAE125 (Unificada) – 2024/1”, é comum às turmas listadas neste link, e será a fonte oficial de informação a respeito da disciplina. Nessa sala de aula virtual serão postadas as listagens de alunos por sala para cada prova, as notas e os gabaritos das provas, as listas de exercícios e respectivos formulários para respostas e outros materiais de interesse. Recomendamos fortemente que se inscreva neste Classroom.

• Ao final do curso, serão lançadas as notas daqueles inscritos no SIGA em alguma das turmas listadas acima. Cabe ao aluno monitorar a situação de sua inscrição ao longo do período. Eventuais problemas com vagas/inscrições/autorizações (tipo “1/3 fora do curso”, “menos de 6 créditos”, etc.) devem ser resolvidos junto à sua coordenação ou secretaria acadêmica. 

A matéria de Álgebra Linear é acumulativa. O entendimento de um assunto depende fortemente do bom entendimento dos assuntos anteriores. Deste modo a ementa foi dividida por semanas de estudo, onde a cada uma delas se fez corresponder seções dos livros texto para leitura, discussão em sala de aula e desenvolvimento de exercícios.

Conforme estabelece o calendário aprovado pelo CONSUNI da UFRJ para o primeiro semestre de 2024, este período terá 18 semanas, iniciando no dia 18 de março de 2024 e terminando no dia 20 de julho de 2024. A ementa dividida em semanas de estudo, perfaz o Calendário de Aulas apresentado a seguir. 

Calendário (tópicos por semana):  

Tomando-se as seguintes abreviações: Todas as referência de seções listadas abaixo são referentes ao livro texto [Álgebra Linear e suas Aplicações, 5a Edição; David C Lay, Steven R Lay, Judi J. McDonald;2018]. Apenas na semana 5, há uma referência ao livro [Curso de Álgebra Linear, Fundamentos e Aplicações, 3a Edição; M. Cabral, P. Goldfeld; 2021]:

Parte I: Espaços Euclidianos, SEL e Espaços Vetoriais Gerais

• Semana 01 – 19 e 21 março:

  1.  Apresentação da disciplina 

  2. Sistemas de Equações Lineares (seções 1.1)

  3. Forma paramétrica do conjunto solução (seção 1.2)

  4. Existência e unicidade da solução de um SEL (seção 1.2)

• Semana 02 – 26 e 28 março:

  1. Solução de SEL por Escalonamento (seção 1.2)

  2. Equações redundantes e sistemas incompatíveis. (seção 1.2)

  3. Escalonamento, pivôs, variáveis livres e dependentes (seção 1.2 e 1.4)

• Semana 03 – 02 e 04 abril: 

  1. Espaços vetoriais Euclidianos, combinação linear e espaço gerado (seção 1.3)

  2. Dependência e Independência lineares (seções 1.3 e 1.7)

  3. Forma paramétrica vetorial do conjunto de soluções (seção 1.5)

• Semana 04 – 09 e 11 abril: (seções 1.4 a 1.5)

  1. Dimensão do conjunto solução e subespaços afim. (seções 1.4 e 8.1)

  2. Produto matriz-vetor, combinação linear de colunas, SEL sob ponto de vista das colunas, equação matricial Ax = b (seções 1.4 a 1.5)

  3. Sistemas homogêneos e não homogêneos: solução geral e particular (seções 1.4 a 1.5)

• Semana 05 – 16 e 18 abril:

  1. Base e dimensão de subespaços do Rn (seção 4.5) 

  2. Produto escalar euclidiano e definição de ortogonalidade. (seção 6.1 até pág. 271)

  3. Produto escalar e equação cartesiana de reta, plano e hiperplano (seção 1.2 do livro do Cabral e Goldfeld)

• Feriado de São Jorge – 23 de abril

• Semana 06 - 25 de abril

  1. Espaços e Subespaços Vetoriais Gerais (seções 1.3, 2.8, 4.1 a 4.4)

  2. Base e Dimensão (seções 2.9 e 4.5)

• Semana 07 – 30 de abril e 02 de maio:

  1. Coordenadas de um vetor numa base. Base canônica. (seção 4.4)

  2. Soma e interseção de subespaços. (exercício 32 e 33 da seção 4.1)

  3. Prova 1: 02 de maio, quinta-feira, às 17:15h

Parte II: Transformações Lineares e Produto Interno

• Semana 08 – 07 e 09 maio:

  1. Definição de Transformações Lineares, domínio, imagem, injetividade e sobrejetividade (seções 1.8 e 1.9)

  2. TL geométricas de Projeção, Reflexão, Rotação, Cisalhamento, Mudança de Escala (an)isotrópica (seção 2.7)

  3. Núcleo, imagem e posto de uma matriz. (seções 2.8, 2.9 e 4.2)

  4. TLs e matrizes (seção 1.9)

• Semana 09 – 14 e 16 maio:

  1. Teorema do núcleo-imagem de TL (seções 1.9, 2.9 e 4.6)

  2. Composição de TL e produto de matrizes. (seção 2.1)

  3. TL Inversa e Matriz inversa (seções 2.2 e 2.3)

  4. Matriz em Bloco, produto de matrizes em bloco. (seção 2.4)

• Semana 10 – 21 e 23 maio:

  1. Produto Interno: Definição, norma, distância, Cauchy-Schwarz, ortogonalidade e ângulo (seção 6.1)

  2. Complemento ortogonal. (seção 6.1)

  3. Base ortogonal e coordenadas, Gram-Schmidt. (seção 6.4)

  4. Matriz Ortogonal (página 279 da seção 6.2)

• Semana 11 – 28 maio: 

  1. Projeção e Reflexão ortogonais em subespaços do R^n. (seções 6.2 e 6.3)

  2. Método dos Mínimos Quadrados. (seções 6.5 e 6.6)

• Feriado de Corpus Christi - 30 de maio

• Semana 12 – 04 e 06 de junho

  1. Outros produtos internos e projeção em espaços de funções. 

  2. Aproximação de funções.

  3.  Prova 2: 06 de junho, quinta-feira, às 17:15h

Parte III: Determinante, Autovalores e Autovetores

• Semana 13 – 11 e 13 de junho:

  1. Volume de hiper-paralelepípedos. (seção 3.3)

  2. Propriedades fundamentais: multilinearidade, alternância, vale 1 na identidade (seções 3.1 e 3.2)

  3. Teorema da existência e unicidade de função multilinear alternada valendo 1 na identidade. (seção 3.1)

• Semana 14 – 18 e 20 de junho:

  1. Propriedades da transposta, inversa, produto, matriz bloco-triangular, critério de invertibilidade e outros teoremas (seção 3.2)

  2. Cálculo de determinante por escalonamento. (seção 3.2)

  3. Volumes através de Transformações Lineareas. (seção 3.3)

• Semana 15 – 25 e 27 de junho:

  1. Definição e Cálculo de autovalores e autovetores. (Seções 5.1 e 5.2)

  2. Diagonalização, multiplicidade geométrica e algébrica. (Seções 5.3 e 5.4)

  3. Aplicações: Cadeias de Markov, potências de matrizes. (seções 4.8 e 4.9)

• Semana 16 – 02 e 04 de julho:

  1. Teorema Espectral para matrizes simétricas. (seção 7.1)

  2. Classificação de formas quadráticas. (seção 7.2)

• Semana 17 – 09 de julho: Prova 3, terça-feira, as 17:15h

• Semana 18 – 16 de julho: Prova de 2ª chamada, terça-feira às 15h

Em consonância com a circular das turmas de "Álgebra Linear Unificada 2024/1", divulgada no Google Classroom correspondente, a avaliação do aprendizado nesta disciplina se dará das seguinte forma:

A avaliação será composta por 3 provas (P1, P2, P3) e 3 listas de exercícios (L1, L2, L3). 

• As datas, horários e o conteúdo dessas provas e listas de exercícios estão listados mais adiante neste documento. 

• As provas e listas serão de múltipla escolha. 

• Cada questão terá várias opções de resposta incluindo uma opção “não sei”. Assim, em toda questão o aluno deverá assinalar alguma opção, podendo assim: 

  • acertar a questão; 

  • errar a questão (por ter marcado resposta errada ou mais de uma opção); 

  • marcar “não sei”. 

Obs.: Nenhuma questão pode ser deixada em branco. Para optar por não fazer uma questão, você deve marcar “não sei”. 

• Questões erradas acarretam em um desconto na nota do estudante. Em uma prova com N questões, cada questão correta concede 10/N pontos e cada questão errada é penalizada em 15% deste valor. Se estiver em dúvida sobre a resposta correta, você pode marcar “não sei”, que não soma nem subtrai pontos. Assim, se você acertar C questões, errar E questões e marcar “não sei” nas demais questões, sua nota será (C - 0,15 * E) * 10 / N. 

• O cálculo das notas das listas de exercícios será igual ao das provas (detalhes no parágrafo anterior). Será concedido um bônus de até 1,0 ponto na nota da prova correspondente à lista. Sejam P1 e L1 as notas na Prova 1 e na Lista 1, respectivamente. A nota com bônus, denotada P1’, será calculada pela fórmula: P1’ = P1 + L1/10. O mesmo vale para as demais provas e listas. 

  • Exemplo: P1 = 5,0, L1 = 8,0, P1' = 5,0 + 8,0 / 10 = 5,8. 

  • Quem faltar à prova correspondente à lista perderá esse bônus. Por exemplo, caso o aluno faça a L1 mas falte à P1, a nota da L1 será descartada.

  • Será permitida a entrega com atraso de até 8 horas, mas com uma penalidade de 10% na nota. Assim, a lista entregue depois de meia-noite do dia da entrega até 8h da manhã seguinte terá nota reduzida em 10%. Por exemplo, a mesma lista que entregue no prazo teria nota 9,0, se entregue com atraso de até 8 horas, terá nota 9,0 - 0,9 = 8,1. 

  • A lista será entregue por meio de formulário um formulário Google que será divulgado no Classroom. Este formulário estará configurado para enviar automaticamente um e-mail de confirmação. Guarde este e-mail para comprovar a sua submissão, caso necessário. (Caso não receba a confirmação em poucos minutos após a submissão, verifique a sua caixa de SPAM. Se não localizar o recibo, submeta novamente as suas respostas.)

• O Grau Final (GF) na disciplina será feito da seguinte forma: 

• GF = máximo entre [(3*P1’ + 4*P2’ + 5*P3’) / 12] e [(3*P1’ + 4*P2’ + 7*P3’) / 14] Os pesos crescentes (3, 4 e 5 ou 3, 4 e 7) devem-se à natureza cumulativa do conteúdo avaliado em cada prova. Note que, com a segunda opção de pesos, a P3 faz as vezes de Prova Final, oferecendo oportunidade de recuperação ao aluno que não se saiu bem nas primeiras provas. Se GF for maior ou igual a 5,0 o aluno será aprovado, caso contrário será reprovado. Note que aqui P1’, P2’ e P3’ referem-se às notas já com o bônus das listas de exercícios. 

• As notas das provas e listas de exercícios, bem como o grau final, serão arredondados para cima nos décimos (por exemplo 6.91 será lançado como 7.0 e 5.83 como 5.9). 

• Quem faltar a uma das provas (P1, P2 ou P3) deverá, no prazo de uma semana após a data da prova que faltou, solicitar inscrição na prova de segunda chamada anexando justificativa para a ausência, por meio de formulário disponibilizado no Google Classroom. A segunda chamada, realizada ao final do período, versará sobre toda a matéria do curso e sua nota substituirá a nota da prova perdida (P1’ ou P2’ ou P3’). Não haverá bonificação de lista de exercícios na nota da segunda chamada. 

• Quem faltar a duas provas dentre P1, P2 e P3 não poderá fazer mais nenhuma prova. 

• Chance extra: O aluno que fizer as 3 provas (P1, P2, P3) e ficar com grau final (GF) 4.6, 4.7, 4.8 ou 4.9 poderá fazer a prova de segunda chamada (SC) como uma chance extra para ser aprovado (neste caso, com média 5.0). Se, com a nota da SC substituindo alguma das notas (P1’, P2’ ou P3’), o grau final recalculado for maior ou igual a 5,0, então o aluno será aprovado com nota final igual a 5,0; caso contrário, a nota final permanecerá inalterada (calculada com base em P1’, P2’ e P3’). 

Horário das provas: 

• P1, P2 e P3: 17:15h às 19:15h 

• SC: 15:00h às 17:00h 

Local das Provas: 

• Em salas do CT e CCMN que serão divulgadas no Google Classroom. 

Instruções para as provas: 

• trazer documento recente com foto; 

• trazer caneta preta para preencher o cartão resposta; 

• preencher totalmente a “bolinha” da opção escolhida; 

• tratar a folha do cartão-resposta com cuidado, sem dobrar ou amassar, nem utilizá-la como rascunho. 

• somente será permitido sair da sala de prova após 45 minutos do início da mesma. 

• o atraso máximo permitido para entrada na sala de prova é de 30 minutos.

Instruções para as listas: 

• Entrega via google forms disponibilizado no classroom.

• Será permitida a entrega com atraso de até 8 horas, mas com uma penalidade de 10% na nota. 

  • A lista entregue depois de meia-noite do dia-limite da entrega e antes de  08:00h da manhã seguinte terá nota reduzida em 10%. 

• A lista entregue com atraso superior a 8 horas não será considerada. 

• A lista será entregue por meio de formulário Google que será divulgado no Classroom. Este formulário estará configurado para enviar automaticamente um e-mail de confirmação ao receber suas respostas. É fundamental que você guarde tal e-mail para comprovar a sua submissão, caso isso se faça necessário. (Caso não receba o e-mail de confirmação em poucos minutos após a submissão, verifique a sua caixa de SPAM. Se não localizar o recibo, submeta novamente as suas respostas.)

Datas e horários das provas e prazo de entrega das listas: 

• Lista 1: até 23:59h de 21/abr (domingo) 

• P1: 25/abr (5ª-feira) às 17:15h

  • Espaço Rn

  • Sistemas Lineares 

  • Espaços Vetoriais

• Lista 2: até 23:59h de 02/jun (domingo) 

• P2: 06/jun (5ª-feira) às 17:15h

  • Transformações Lineares

  • Produto Interno

  • (além da matéria da P1) 

• Lista 3: até 23:59h de 05/jul (sexta-feira) 

• P3: 09/jul (3ª-feira) às 17:15h

  • Determinante 

  • Autovalores e Autovetores

  • (além da matéria da P1 e da P2)

• Segunda Chamada: 16/jul (3ª-feira) às 15:00h

  • toda a matéria

Livros Texto:

1.  Álgebra Linear e suas Aplicações, 5a Edição; David C Lay, Steven R Lay, Judi J. McDonald; 2018; Editora LTC .

2. Curso de Álgebra Linear, Fundamentos e Aplicações, 3a Edição; M. Cabral, P. Goldfeld; 2021

Outros Livros (com comentários):

1. 1. Álgebra Linear com Aplicações, 10a Edição; Howard Anton, Chris Rorres; Editora Bookman; 2012 - Livro muito bom e que usa uma linguagem própria à estudantes de engenharia. Possui toda a matéria e boas listas de exercícios em ordem crescente de dificuldade

   2. Álgebra Linear e suas aplicações, 4ª Edição; Gilbert Strang; Ed Cengage; 2010 – ótimo livro utilizado em diversos cursos nas maiores e melhores Universidades pelo mundo. As aulas do Professor Strang (Gilbert Strang lectures on Linear Algebra – 34 YT vídeos) no MIT OpenCourseWare já contam com mais de 10 milhões visualizações. Este livro possui edições atualizadas, uma de 2023 (Introduction to Linear Algebra, 6th Edition, Ed Wellesley Cambridge) para estudantes de engenharia e no geral e outra (Linear ALgebra and Learning from Data, Ed Wellesley Cambridge 2019) voltado para estudantes de Ciência de Dados, Estatística e matemática aplicada.

   3. Álgebra Linear com Aplicações, 9ª Edição; Steven Leon; LTC; 2018 – Ótimo livro desde as suas primeiras edições (que eram menor e não pesavam tanto na mochila). Possui boas listas de exercícios e explicações sucintas de toda a matéria. Tem formato e-book.

   4. Álgebra Linear com Aplicações; Jefrrey Holt; Ed LTC; 2016 – Livro em linguagem didática moderna, abordando os temas em ordem crescente de dificuldade fazendo muitos exemplos. Exercícios também em ordem crescente de dificuldade, porém não é muito apropriado à alunos dos cursos do IM, pois foca em demonstrações.

   5. Álgebra Linear; Alfredo Steinbrush, Paulo Winterle; Ed Pearson Universidades; 1995

   6. Geometria Analítica; Alfredo Steinbrush, Paulo Winterle; Ed Pearson; AAAA – um bom livro de apoio e serve como uma grande introdução à Álgebra Linear.

   7. Álgebra Linear, 3ª edição; Boldrini, Wetzler; Ed Harbra 1984 – Livro clássico de Álgebra Linear e tem uma linguagem bem básica, não sendo recomendado para aqueles que querem muitos exemplos ou exercícios, porém é o livro mais fácil de encontrar (em geral alguém da família que já fez engenharia passa como herança)

   8. Álgebra Linear; David Poole; Ed Thompson; AAAA – Livro para aqueles que gostam de muito contexto e aplicações, não sendo um livro voltado para matemáticos e sim para estudantes de engenharia

   9. Álgebra Linear para Leigos (for Dummies); Mary J Sterling; Ed Alta Books; 2012 – Livro que dispensa comentários. É indicado para aqueles que gostam do estilo da série “for dummies”. Não espere grande aprofundamentos, explicações ou boas listas de exercícios.

   10. Guia Mangá álgebra linear; Shin Takahashi; Ed Novatec; 2012 - O livro dispensa comentários. É indicado para aqueles que gostam do estilo Mangá. Não espere grande aprofundamentos, explicações ou boas listas de exercícios.

   11. Álgebra Linear; Elon Lages Lima; Coleção Matemática Universitária IMPA; 2004 – livro mais indicado para estudantes dos cursos de Matemática, Estatística, Atuária, Física e afins. Usa uma linguagem baseada em demonstrações e lista de exercícios curtas e difíceis.

   12. Linear Algebra, 2nd Edition; Kenneth Hoffman, Ray Kunze; Pearson Education; 2015 – Um dos melhores livros para estudantes de matemática em geral, possui uma linguagem rigorosa e demonstrações completas de diversos teoremas da álgebra linear. Listas de exercícios difíceis.