Esta é a página oficial da disciplina de Álgebra Linear II (MAE 125) ministrada pelo professor Milton R Ramirez, do Departamento de Matemática Aplicada, do Instituto de Matemática da UFRJ, oferecida às turmas de números SIGA 10744 (Engenharia Ciclo Básico, Licenciatura em Matemática e Física), às terças e quintas de 10h às 12h, e SIGA 10915 (Engenharia de Alimentos, Engenharia de Bioprocessos, Engenharia Química e Química Industrial), às terças e quintas de 15h às 17h.

A disciplina de Álgebra Linear II trata do estudo dos sistemas de equações lineares, álgebra matricial, determinantes, espaços e subespaços vetoriais, transformações lineares, autovalores, autovetores e diagonalização de operadores lineares, produto interno, ortogonalidade e como tudo isso vem no auxílio da soluções a problemas envolvendo modelos lineares, fatoração matricial, computação gráfica, equações de diferenças, cadeias de Markov, solução de sistemas dinâmicos discretos e de sistemas de equações diferenciais, solução de problemas de mínimos quadrados, análise de tendência de dados, aproximações de funções por séries de Fourier, decomposição espectral de matrizes, classificação de formas quadráticas, solução de problemas de otimização, fatoração matricial por decomposição em valores singulares (SVD) e aplicações ao processamento de imagens e à estatística, como análise de componentes principais, dentre outras tantos aplicações.

Iremos adotar a metodologia de aprendizado clássica, baseada em sequência pré-determinada de leituras e listas de exercícios tomadas do livro texto: Álgebra Linear e suas Aplicações, David C Lay, Steven R Lay, Judi J. McDonald; ISBN: 9788521634959; 5a Edição; 2018; Editora LTC .

O livro escolhido não o foi por ser o melhor, mas por suas características adequadas a um curso baseado no método clássico, acompanhamento de questões resolvidas e a possibilidade de estabelecer listas de exercícios com diferentes níveis de dificuldade.

Nos semestres anteriores era fortemente recomendado a aquisição de algum livro de Álgebra Linear, pois há uma gama de escolha de bons títulos de Álgebra Linear disponíveis nas bibliotecas, ou para a compra nas livrarias. A leitura de um livro de Álgebra Linear diferente do adotado é livre, e até recomendada, porém as tarefas de leituras e listas de exercícios serão todas baseadas no livro texto adotado.

O método a ser adotado para essa disciplina possui seis diretivas :

1. Todas atividades de ensino terão como apoio o Ambiente Virtual de Aprendizado da UFRJ: AVA@UFRJ

2. Sequência pré-determinada de leitura do livro texto com elaboração de resenhas.

3. Sequência pré-determinada de listas de exercícios recomendados, com alternativas mais direta para aqueles mais habilidosos.

4. Aulas semanais com o professor nos horários de terça e quinta, de 10h às 12h (turma manhã) e de 15h às 17h (turma da tarde). Caso haja necessidade de aula ministradas de forma remota, será utilizada uma sala no Google Meet que será informada através do AVA@UFRJ.

5. Fórum e chats de discussão, no AVA@UFRJ, para orientação de estudo e esclarecimento de dúvidas.

6. Avaliações baseada em provas.

Note que as aulas, a que se refere o item 4, apresentarão o conteúdo na mesma sequencia apresentada na seção sobre "Ementa e Calendário". Isto vem em auxílio àqueles que porventura tiverem algum impedimento técnico, ou pessoal, para assistir a alguma das aulas. Deste modo poderão manter o processo de aprendizado através de uma rotina adequada de estudos que siga a sequência semanal pré-determinada.

As atividades pedagógica serão realizadas com o apoio do Ambiente Virtual de Aprendizado da UFRJ, disponível em AVA@UFRJ, onde o estudante já estará cadastrado diretamente pelo SIGA. Caso haja algum problema na inscrição, utilize as seguinte chaves de acesso de autoinscrição na turma de Álgebra Linear do prof. Milton R Ramirez:

• Turma da MANHÃ , de 10h às 12h (SIGA turma no 10744):

  • No AVA@UFRJ, busque por: "Álgebra Linear II - IFA/MABT/EB2", ou pela palavra curta "GRAD.2022-1.MAE125.10744"

  • Chave de autoinscrição: MR2-AL2-M

• Turma da TARDE, de 15h às 17h (SIGA turma no 10915):

  • No AVA@UFRJ, busque por: "Álgebra Linear II - EQG/QUI", ou pela palavra curta "GRAD.2022-1.MAE125.10915"

  • Chave de autoinscrição: MR2-AL2-T

Além do AVA@UFRJ há os seguintes canais para auxiliar na comunicação entre estudantes e o professor:

• e-mails (dúvidas e questões individuais):

• milton@matematica.ufrj.br

• Discord (reuniões, fóruns, chats de discussões para toda a turma e mensagens individuais):

  • Convite para a Arena da turma: Arena no Discord

• Link para a sala de aula virtual no Google Meet [será divulgado via o AVA@UFRJ]

A matéria de Álgebra Linear é acumulativa. O entendimento de um assunto depende fortemente do bom entendimento dos assuntos anteriores. Deste modo a ementa foi dividida por semanas de estudo, onde a cada uma delas se fez corresponder seções do livro texto para leitura e desenvolvimento de exercícios.

Conforme a Resolução CONSUNI no. 19/2021, de 09 de dezembro de 2021, o segundo período de 2021 terá 17 semanas, iniciando no dia 11 de abril de 2022 e terminando no dia 06 de agosto de 2022. O calendário a seguir apresenta as data planejadas para as aulas de cada tema da ementa da turmas unificadas, com as correspondentes seções do livro texto a ser estudado e, também, as datas previstas para as Provas.

Calendário (tópicos por semana):

• Semana 01 - 11 de abril: Sistemas de Equações Lineares (Seções 1.1 e 1.2)

• Semana 02 - 18 de abril: Combinação Linear e Espaços Gerados (seções 1.3 e 6.1 até pág. 271)

• Dia 21 de abril quinta: Feriado de Tiradentes

• Semana 03 - 25 de abril: Equações Matriciais e Sistemas Lineares (seção 1.4)

• Semana 04 - 02 de maio : Conjunto de Soluções de SEL (seções 1.5 e 8.1 até pág. 356)

• Semana 05 - 09 de maio : Independência Linear e SEL (seção 1.7)

• Dia 12 de maio: Prova 1

• Semana 06 - 16 de maio : Espaços Vetoriais e Subespaços (Seções 2.8, 4.1 a 4.3)

• Semana 07 - 23 de maio : Bases, Dimensão, Coordenadas e Mudança de Base (Seções 2.9, 4.4 a 4.7)

• Semana 08 - 30 de maio : Transformações Lineares no R^n (Seções 1.8, 1.9 e 5.1 até pág. 218)

• Semana 09 - 06 de junho: Álgebra Matricial e Matriz em Bloco (seções 2.1 a 2.3 2.4))

• Semana 10 - 13 de junho: Determinantes (Capítulo 3)

• Dia 16 de junho quinta: Feriado de Corpus Christi

• Semana 11 - 20 de junho: Determinantes e Revisão

• Dia 23 de junho: Prova 2

• Semana 12 - 27 de junho: Autovalores e Autovetores e Diagonalização (Seções 5.1 a 5.4)

• Semana 13 - 04 de julho: Aplicações de Autovalores e Autovetores (Seções 5.5 a 5.7)

• Semana 14 - 11 de julho: Ortogonalidade e Produto Interno (Seções 6.1 e 6.2)

• Semana 15 - 18 de julho: Projeções Ortogonais e Gram-Schmidt (Seções 6.3 e 6.4)

• Semana 16 - 25 de julho: Mínimos Quadrados, Teorema Espectral e Formas Quadráticas (Seções 6.5 a 6.8, 7.1 e 7.2)

• Dia 28 de julho: Prova 3

• Semana 17 - 01 de agosto: Revisão para 2a chamada

• Dia 04 de agosto: Prova de 2a Chamada

Ementa divulgada na Turma Unificada

Seções do livro segundo a ementa divulgada no site da Turma Unificada

1. Introdução ao R^n

• Vetores e Operações no R^n (seção 1.3)

• Retas e Planos: equações cartesianas e paramétricas (seção 1.1)

• Combinação Linear e Espaço gerado (span). (seção 1.3)

• Dependência e Independência linear: definição e exemplos. (seções 1.3 e 1.7)

• Base e dimensão (apresentar conceitos somente; demonstração no tópico 3) (seção 4.5)

• Produto escalar euclidiano em R^n. (seção 6.1 até pág. 271)

• Definição de ortogonalidade. (pág. 271)

• Conexão com equação cartesiana de reta e plano.

2. Sistemas Lineares

• Exemplos (seções 1.1, 1.6 e 2.6)

• Equações redundantes (LDs) e sistemas incompatíveis. (seção 1.2)

• Escalonamento: algoritmo de solução de sistemas lineares (parametrização do conjunto-solução). (seções 1.2, 1.4 e 1.5)

• Pivôs, variáveis livres e dependentes. (seção 1.2)

• Caracterização do conjunto-solução de um sistema linear (subespaço afim com dimensão igual ao número de variáveis livres). (seções 1.4, 1.5, 8.1)

• Produto matriz-vetor: vetor como matriz-coluna, produto matriz-vetor como combinação linear (CL) de colunas: revisitar sistema linear sob ponto de vista das colunas. (seção 1.4)

• Sistemas homogêneos e não-homogêneos: solução geral e particular (seção 1.5)

Dia 12 de maio: Prova 1 (tópicos 1 e 2)

3. Espaços Vetoriais (R^n e subespaços). (seções 1.3, 2.8, 4.1 a 4.4)

• Teoremas (toda base possui mesmo número de vetores) (seções 2.9 e 4.5)

• Coordenadas de um vetor numa base. Base canônica. (seção 4.4)

• Subespaços vetoriais. (seções 2.8, 4.1)

• Soma e interseção de subespaços. (exercício 32 e 33 da 4.1)

4. Transformações Lineares

• Função: domínio, imagem, injetiva, sobrejetiva (seções 1.8 e 1.9)

• TLs: definição e exemplos: TLs geométricas (seções 1.9 e 2.7)

• Projeção, Reflexão, Rotação, Cisalhamento, Mudança de Escala (an)isotrópica (seção 1.9)

• Núcleo, imagem. (seções 2.8 e 4.2)

• Posto de uma matriz. (seção 2.9)

• TLs e matrizes (seção 1.9)

• Teorema do núcleo-imagem: TL injetiva, sobrejetiva. (seções 1.9, 2.9 e 4.6)

• Composição de função e produto de matrizes. (seção 2.1)

• Função Inversa/Matriz inversa: conceito, cálculo escalonando. (seções 2.2 e 2.3)

• Matriz em Bloco, produto de matrizes em bloco. (seção 2.4)

• Introdução aos autovalores e autovetores de TLs (e matrizes) em R^2 e R^3: definição conceitual e exemplos usando TLs geométricas (seção 5.1 até página 218)

Dia 23 de junho: Prova 2 (tópicos 1, 2, 3 e 4)

5. Determinante (cap 3)

• Volume de hiper-paralelepípedos. (seção 3.3)

• Propriedades fundamentais: multilinearidade, alternância, vale 1 na identidade (seções 3.1 e 3.2)

• Teorema da existência e unicidade de função multilinear alternada valendo 1 na identidade. (seção 3.1)

• Mais propriedades: transposta, inversa, produto, matriz bloco-triangular, critério de invertibilidade, etc. (seção 3.2)

• Cálculo: usando propriedades (escalonando). (seção 3.2)

• Como TL transforma volumes. (seção 3.3)

6. Autovalores e Autovetores (cap 5)

• Cálculo de autovalores e autovetores. (Seções 5.1 e 5.2)

• Diagonalização: Multiplicidade geométrica e algébrica. (Seções 5.3 e 5.4)

• Aplicações: Cadeias de Markov, potências de matrizes. (seções 4.8 e 4.9)

7. Produto Interno no R^n (cap 6 e 7)

• Produto Interno: Definição, norma, distância, Cauchy-Schwarz, ângulo (seção 6.1)

• Complemento ortogonal. (seção 6.1)

• Gram-Schmidt. (seção 6.4)

• Projeção ortogonal e Reflexão. (seções 6.2 e 6.3)

• Mínimos quadrados. (seções 6.5 e 6.6)

• Teorema Espectral para matrizes simétricas. (seção 7.1)

• Classificação de formas quadráticas. (seção 7.2)

Dia 28 de julho: Prova 3

Em consonância com a circular das turmas de "Álgebra Linear Unificada 2022/1", divulgada no Google Classroom correspondente, a avaliação do aprendizado nesta disciplina se dará através de três provas objetivas (múltiplas escolhas), obrigatória a todos, que serão aplicadas no contra turno das 17:15h às 19:15h (a confirmar), em salas do CT e do CCMN, cuja "lista de aluno por sala" será divulgadas no Google Classroom das turmas de "Álgebra Linear Unificada 2022/1" e no AVA@UFRJ. As provas estão com as seguintes datas previstas:

• Prova 1: 12 de maio de 2022

• Prova 2: 23 de junho de 2022

• Prova 3: 28 de julho de 2022

• Prova de 2a Chamada: 04 de agosto de 2022

No dia da prova será requerido:

• Documento recente com foto;

• Caneta preta para preenchimento do cartão resposta;

• Preenchimento completo da “bolinha” da opção escolhida (ou seja, "X" e outras marcas desse tipo não serão aceitas)

• O cuidado com a folha do cartão-resposta, que não poderá ser dobrado, amassado, rasurado e nem utilizado como rascunho.

• Cada questão terá várias opções de resposta incluindo uma opção “não sei”. Assim em cada questão o aluno poderá:

  1. acertar a questão;

  2. errar a questão (por ter marcado uma resposta errada, ou por ter marcado mais de uma opção, ou qualquer outro erro de preenchimento);

  3. marcar “não sei”.

Obs.: nenhuma questão deve ser deixada em branco, pois o sistema detecta erros de preenchimento e toma a questão como errada. Para optar por não fazer uma questão, deve-se marcar a opção “não sei”.

IMPORTANTE: Questões erradas vão descontar parte da nota da prova, conforme segue mais abaixo. Para evitar que uma questão seja contada como errada, deve-se assinalá-la como a opção “não sei”. Sendo assim, em uma prova com N questões, cada questão correta concede 10/N pontos e cada questão errada é penalizada em 15% deste valor. Já as questões assinaladas com “não sei” não somam nem subtraem pontos. Assim, se você acertar C questões, errar E questões e marcar “não sei” nas demais N-(C+E) questões, sua nota será (C-0,15*E)*10/N.

O Grau Final (média final, nota final) na disciplina será obtida pela média ponderada entre as notas das provas conforme a seguinte fórmula:

• GF = máximo entre [(3*P1 + 4*P2 + 5*P3) / 12] e [(3*P1 + 4*P2 + 7*P3) / 14]

Os pesos crescentes (3, 4 e 5 ou 3, 4 e 7) devem-se à natureza cumulativa do conteúdo avaliado em cada prova. Com a segunda opção de pesos, a P3 faz as vezes de Prova Final, oferecendo oportunidade de recuperação ao aluno que não se saiu bem nas primeiras duas provas.

Quem faltar a uma das provas (P1, P2 ou P3) poderá, no prazo de uma semana após a data da prova que faltou, por meio de formulário disponibilizado no Google Classroom, justificar sua falta (fazendo upload de documento comprobatório) e solicitar inscrição na prova de segunda chamada. Quem não solicitar segunda chamada no prazo ou não apresentar justificativa NÃO poderá fazer a segunda chamada. A segunda chamada versará sobre toda a matéria do curso e sua nota substituirá a nota da prova perdida (P1 ou P2 ou P3).