Dê uma geral na parte I do Análise Vetorial Clássica. Detenha-se bos seguintes pontos:
Capítulo 1 Determinante - Se nunca fez em detalhe, é uma boa hora. O mesmo texto tem algumas melhora na versão que está no Livro2 de CVGA (no livro de CVGA, porém, não não são mencionados espaços sobre um corpo qualquer, o que elimina a interessante discussão sobre a diferença entre formas alternadas e formas que se anulam em vetores linearmente dependentes).
Capítulo 2 Exercícios - Pode passar despecebido, mas o exercício 23 é um bom exemplo da "concentração da medida", quando a dimensão cresce.
Capítulo 3 Um pouco mais de Teoria - Você deve, minimamente, entender bem a Fórmula de Mudança de Variáveis, ter na ponta da língua os Teoremas de Fubini e Tonelli, o Teorema de Sard (em sua versão simples, que é a que aparece no texto), as condições de derivação dentro do sinal de integral e as aproximações por convolução. O critério de integração (à Riemann) de Lebesgue-Vitalli é bom de saber, dá segurança na Integral de Riemann.
Tem um Exercício Resolvido, páginas 77/79 (e os dois que o seguem), que é muito importante. Basicamente, a construção do potencial devido a uma distribuição de cargas. Vai aparecer, claro, na solução de div(grad u)=f. Vai voltar lá na frente, quando formos olhar a demonstração do de Rham para o Teorema de Hodge.
Para espairecer - Olhando para a integral de Riemann, vemos que não há maiores mudanças, no que diz respeito à definição, quando passamos do caso de dimensão 1 ao de dimensão N, N>1. Assim como no caso unidimensional, podemos discretizar o domínio e calcular nossas integrais com boas aproximações. Assim, por exemplo, se N=100 e B é o bloco de aresta 1, podemos, calcular a integral, sobre B, de qualquer função f:B->R. Dividindo cada lado de B ao meio (a malha fica um pouco grossa, mas depois podemos refinar), obtemos 2¹ºº bloquinhos de aresta 1/2 e, usando um processador bem rápido, obtemos nossa primeira aproximação em cerca de 30 anos. Referência: Método de Monte Carlo