Poster Session

Title: Propriedades dos fluxos geodésicos Anosov

Abstract: Os fluxos geodésicos aparecem naturalmente quando temos uma métrica Riemanniana em uma variedade completa, suas propriedades estão intimamente ligadas à geometria da variedade. Estes fluxos carregam uma dinâmica natural, dadas pelas geodésicas da variedade, o qual merece e desperta o interesse dos pesquisadores em dinâmica. Por exemplo, o primeiro a perceber que os fluxos geodésicos ligados a métricas de curvatura negativa são caóticos, foi Anosov. Esses fluxos geodésicos são chamados de sistemas uniformemente hiperbólicos ou simplesmente "sistemas Anosov".

No pôster vamos mostrar uma equivalência entre as seguintes condições: a existência dos exponentes de Lyapunov uniformemente longe de zero, fluxos geodésicos de tipo Anosov e a integral da curvatura, em média, uniformemente longe de zero em variedades Riemannianas completas sem pontos conjugados. Estes resultados nos dão uma importante relação entre a geometria e a dinâmica do fluxo geodésico.

Title: The Kifer Non-Random Filtration

Abstract: In 1986, Kifer proved the existence of a certain "non-random" filtration of subspaces similar to the Oseledet's filtration for a random product of bundle maps. For linear cocycles with the base dynamics given by the Markov shift, we constructed a explicit filtration. This result allow us to show the continuity of the Lyapunov exponents under a irreducibility assumption. Moreover, we can also obtain a Kifer non-random filtration in the context of Mixed Markov quasiperiodic linear cocycles. This is a joint work with Ao Cai, Marcelo Durães and Silvius Klein.

Title: The Hausdorff dimension of self-affine fractals.

Abstract: Given $S=\{S_1,\ldots,S_k\}$ a set composed by $k$ affine contractive transformations on $\mathbb{R}^n$, there is a unique closed bounded set $F$ which is invariant with respect to $S$; $F$ is, in general, a fractal. Kenneth Falconer, in (FALCONER, 1988), managed to calculate the Hausdorff dimension of $F$. The tool he used to find a candidate $d(F)$ for the dimension was the Singular Value Function. He proved that the Hausdorff dimension of $F$ is $\min\{d(F),n\}$, for almost every point, where $n$ is the dimension of the space.

Abstract: We shall present two definitions of non uniform hyperbolicity for rational maps acting on the Riemann sphere, namely, the semi hyperbolic rational maps and maps which satisfy the topological collect Eckmann condition. We are going to present a characterization of these maps in terms of the maximal entropy measure supported in the Julia set.

Title: A rigorous formalization of Lyapunov exponent estimate for a family of unimodal maps with gaussian nois

Resumo: We will show a graph that presents a numerical simulation computing the Lyapunov exponent of the random dynamical system whose underlying deterministic dynamic is $T(\alpha,x)=2|x|^{\alpha}-1$ with Gaussian additive noise with variance $\sigma$. It is possible to observe transitions and sign change in the Lyapunov exponent.

We present here a strategy to rigorously formalize and certify, giving a computer aided proof, the graph allowing us a deep understanding of the behavior of the family above under the action of noise.

Title: Exceptional Sets for Non-Uniformly Expanding Maps on the Interval

Abstract: Given a continuous function on a compact metric space and a subset A, we consider the set of A-exceptional points, that is, points whose orbits do not accumulate in A. An exceptional set, despite having zero measure with respect to any ergodic probability measure, is often ‘large’: it has large entropy or fractal dimension and is usually a winning set in the sense of Schmidt games. The interest in the study of such sets arises when trying to understand the behavior of the orbits of a dynamical system. We will present results and examples of exceptional sets in different nonuniformly hyperbolic contexts. We focus in particular on functions on the interval such as the Gauss map and the maps of the quadratic family x → λx(1 − x).

Abstract: The poster deals with the geodesic flow of compact manifolds without conjugate points. In this setting there exist the so-called horospheres and horospherical foliations. In strictly negative curvature, these horospherical foliations agree with the invariant submanifolds given by uniformly hyperbolic structure of the geodesic flow. Moreover, these common foliations are the only continuous foliations invariant by the geodesic flow. The goal of the poster is to extend this uniqueness to the case of compact manifolds without conjugate points and some additional hypothesis.

Tittle: Contribution to the Theory of Robustly Transitive Diffeomorphisms

Abstract: We present an example of a C1-robustly transitive diffeomorphism introduced by P. Berger and P. Carrasco in 2014. The example is a partially hyperbolic skew-product with non-trivial, non-hyperbolic action on homology, dynamically coherent and its fiber directions cannot be decomposed into two dominated expanded/contracted bundles.

Title: Generic conservative homeomorphisms have total metric mean dimension.

Abstract: We prove that for generic conservative homeomorphisms (i.e. homeos that preserve a Lebesgue-like measure), acting on a compact smooth boundaryless manifold with dimension greater than one, the upper metric mean dimension with respect to the smooth metric coincides with the dimension of the manifold. The metric mean dimension is a concept widely used to study dynamics with infinite topological entropy and we will show new ideas of mass transportation in the continuous world.

Title: A central limit theorem for iterated function systems on S^1

Abstract: We study the behavior of random orbits relative to an Iterated Function System (IFS) with probabilities. We assume that there is no an in variant measure by all maps in the IFS. Using techniques of metric change, we obtain a Central Limit Theorem (CLT) for IFSs of C 1-diffeomorphisms on S^1. In a more general context, assuming uniqueness of the stationary measure, we establish a CLT for IFSs of homeomorphisms on S^1. This is joint work with Katrin Gelfert.

Title: Métodos Estatísticos em Teoria Ergódica para transformações expansoras e expansoras por partes

Abstract: Neste trabalho apresentaremos ferramentas para o estudo de propriedades ergódicas e estatísticas de transformações expansoras e expansoras por partes. Conheceremos o operador de transferência, para o qual nos dedicaremos, em boa parte do trabalho, ao estudo do seu espectro quando atua sobre algum espaço de funções regulares (Holder, Lipschitz, C^1, Sobolev, etc.).

Neste estudo serão importantes as desigualdades de Lasota-Yorke, as quais implicam em diversos casos que o operador possui a propriedade de lacuna espectral – essa propriedade ́e obtida graças ao Teorema de Hennion. Como consequência estatística da propriedade de lacuna espectral, veremos que esta é suficiente para demonstrar o decaimento exponencial de correlações para as dinâmicas consideradas. As ferramentas citadas acima serão aplicadas para os casos de transformações expansoras e para expansoras por partes, onde obteremos a existência de medidas invariantes absolutamente contínuas e o decaimento exponencial de correlações. Para algumas expansoras em dimensão 1 veremos também que a medida invariante tem densidade regular em algum espaço de Sobolev.

Também apresentaremos o deslocamento de Markov como um exemplo ilustrativo da propriedade de lacuna espectral e do decaimento exponencial de correlações. Ao final veremos outras consequências da dinâmica ter lacuna espectral, como o Teorema Central do Limite, e como a lacuna espectral implica na dependência diferenciável de densidade invariante em relação á dinâmica, o que é conhecido como linear response formula.

Title: Fractal dimensions of the Markov and Lagrange spectra near 3

Abstract: In this work we obtain an asymptotic expansion of the dimension function of the Markov and Lagrange spectra near 3, hence determining the modulus of continuity near 3. We also show that this approximation is optimal for reasonable functions.

Title: Upper bound for the regularity of the Lyapunov exponent of random product of matrices

Abstract: It is well established in the literature that the Lyapunov exponent of random product of matrices varies continuously with respect to the underlying data. Understanding the right modulus of continuity of this function remains an active problem with contribution in the past years.

Tittle: Sharkovsky theorem for real closed fields

Abstract: The famous Sharkovsky theorem, a statement regarding periodic points, rely greatly on the Intermediate Value Theorem (IVT). We know that it is stated for continuous functions and we cannot omit the completeness of the field of real numbers. However, substituting its completeness by the property of being real closed, it can be shown that the IVT is still valid for a special class of continuous functions: semi-algebraic functions. A natural question is whether the Sharkovsky Theorem is still valid in such fields. This work gives a positive answer to this question. For that matter, we talk briefly about real closed fields and semi-algebraic functions, as well as a few examples and its properties. Next, we show IVT for such functions and then we get the Sharkovsky Theorem as corollary.

Tittle: Some generic properties of partially hyperbolic endomorphisms

Abstract: This work is joined with F. Micena, we deal with a notion of partially hyperbolic endomorphism. We explore topological properties of this definition and we obtain, among other results, obstructions to get center leaf conjugacy with the linear part, for a class of partially hyperbolic endomorphism C^1−sufficient near to a hyperbolic linear endomorphism. Indeed such obstructions are related with the number of center directions of a point. We provide examples illustrating these obstructions and we prove that, when the degree is bigger than two, C^1−generically (open and dense) partially hyperbolic endomorphisms in dimension three, in fact present properties that make impossible the center leaf conjugacy with their linear parts.

Tittle: Estados de equilíbrio para sistemas dinâmicos com estrutura não uniforme

Abstract: V. Climenhaga e D. Thompson desenvolveram um método para estabelecer a existência e unicidade de estados de equilíbrio para fluxos contínuos e homeomorfismos satisfazendo uma certa noção de especificação não uniforme, expansividade e a propriedade de Bowen. Neste trabalho os autores enfraquecem as hipóteses de Bowen em [1], entenda-se, especificação, expansividade e a conhecida propriedade de Bowen para o potencial, sendo estas apenas necessária em uma ”boa” porção de segmentos de órbitas. Recentemente, seguindo a abordagem de Climenhaga-Thompson, Pacifico, Yang e Yang, estendem os resultados de V. Climenhaga e D. Thompson e provam a unicidade de equilíbrio para fluxos contínuos que satisfazem, em uma coleção de segmentos de órbitas, expansividade a propriedade de Bowen e certas versões fracas de especificação não uniforme em escala fixa. Mais ainda, provam que essa conclusão continua valida para fluxos seccionais hiperbólicos, e, em particular, para o famoso atrator geométrico de Lorenz.

Apresentaremos este método e algumas aplicações para sistemas parcialmente hiperbólicos.

Abstract: Dado solenoide flat, na faixa de Moebius, definido por f([(x, y)]) = ((2x, (y+1)/6 ) se (−1)⌊x⌋ = 1 (2x, (y+4)/6 ) se (−1)⌊x⌋ = −1 onde ⌊x⌋ é a função parte inteira, alteramos a primeira entrada da função por um mapa intermitente, tendo como resultado uma dinâmica parcialmente hiperbólica com uma torre de young associada, demonstrando a existência de uma medida SRB e podendo determinar que a velocidade do decaimento de correlações desta medida é corμ(ϕ, ψ ◦ g^n) ⩽ (1/n) ^(1/ α) para todo potencial holder.

Title: Endomorfismos robustamente transitivos

Abstract: Apresentaremos resultados recentes sobre condições necessárias e suficientes para ter endomorfismos C^1 robustamente transitivos, assim como exibiremos algumas obstruções topológicas no caso de superfícies. Em [Lizana-Ranter'21] foi provado para superfícies que esses mapas sob a presença de críticos tem que ser parcialmente hiperbólicos e em [Lizana-Potrie-Pujals-Ranter'21] esses mapas para dimensão maior a 2 exibem decomposição dominada. Falaremos sobre os exemplos existentes de endomorfismos robustamente transitivos com críticos em superfícies e exibiremos uma nova classe de exemplos em dimensão alta de mapas com essas propriedades e que apresentam decomposição dominada, mas não são parcialmente hiperbólico.

Title: Topological Dynamics of Foliations.

Abstract: Consider an action $\Phi: \Gamma \longrightarrow \mbox{Diff}(X)$ of $\Gamma$ an isomorphic group to $\pi_{1}(B, b_{0})$, with $X$ and $B$ compact and connected Riemannian manifolds. We will define from $\Phi$ a foliation $\mathcal{F}_{\Phi}$ called suspension foliation and then analyze shadowing properties for $\Phi$ and $\mathcal{F}_{\Phi}$. The main result, due to Inaba, states that $\Phi$ has the Pseudo-orbit Tracing Property if and only if $\mathcal{F}_{\Phi}$ has the Pseudoleaf Tracing Property.

Title: Hölder continuity for Lyapunov exponents of Markov cocycles.

Abstract: In this poster I will present a joint work (in progress) with Aline Melo, Ao Cai and Silvius Klein, where we provide a new proof of the local Hölder continuity (with respect to the cocycle) of the Lyapunov exponents of Markov cocycles under generic assumptions, via the Furstenberg Formula. This approach is based on a work in the setting of a Bernoulli shift, due to Baraviera and Duarte. It does not need to go through the theory of large deviations and also let us estimate the alpha Hölder exponent. Moreover, using this method, we also obtain a new result: the local Hölder continuity of the Lyapunov exponents with respect to the Markov Kernel.

Title: Existence and uniqueness of measures of maximal entropy for partially hyperbolic endomorphisms.

Abstract: We prove the existence of measures of maximal entropy for partially hyperbolic endomorphisms with one-dimensional center bundle. We also address the uniqueness of such measures for certain endomorphisms defined on the $n$-torus. More precisely, we obtain in this context two uniqueness results: locally in a $C^1$ neighborhood of a linear Anosov endomorphism, and globally with additional hypotheses.

Title: Medidas Físicas para alguns endomorfismos parcialmente hiperbólicos

Abstract: Neste trabalho, provamos a existência e finitude de medidas físicas suportadas em atratores parcialmente hiperbólicos para difeomorfismos locais cuja direção central é neutra e satisfazem uma condição geométrica de transversalidade entre as imagens das direções instáveis. Provamos também que estas medidas são absolutamente contínuas e a união de suas bacias possui volume total na bacia de atração do atrator.

Abstract: The density property of periodic orbits for an Anosov flow in a compact manifold is well known. This property will be used to study some conditions for two geodesic flows defined in manifolds of the same dimension to admit certain types of conjugacy. Finally, we prove, for the Anosov geodetic flow, a rigidity result on the sectional curvature under the condition that the Lyapunov exponents are constant along periodic orbits, which is an extension of the Butler's result in dimension 2.

Title: Ergodic optimitazion for hyperbolic flows and Lorenz attractors

Abstract: In this article we consider the ergodic optimization for hyperbolic flows and Lorenz attractors with respect to both continuous and Holder continuous observables. In the context of hyperbolic flows we prove that a Baire generic subset of continuous observables have a unique maximizing measure, with full support and zero entropy, and that a Baire generic subset of Holder continuous observables admit a unique and periodic maximizing measure. These results rely on a relation between ergodic optimization for suspension semiflows and ergodic optimization for the Poincare map with respect to induced observables, which allow us to reduce the problem for the context of maps. Using that singular-hyperbolic attractors are approximated by hyperbolic sets, we obtain related results for geometric Lorenz attractors.

Title: C^1 estabilidade estrutural de difeomorfismos

Abstract: Esse trabalho tem como objetivo apresentar uma prova da C^1−estabilidade estrutural para difeomorfismos de classe C^2 que são axioma A e satisfazem a condição de transversalidade forte, definidos sobre uma variedade diferenciável compacta e sem bordo.

Title: Sobre extensões próprias do grupo de difeomorfismos conformes da esfera

Abstract: Um programa de classificação completo dos grupos fechados e transitivos agindo no círculo unitário foi proposto por E. Ghys no início dos anos 2000 [1] e, mais tarde, concluído por J. Giblin e V. Markovic [2]. Passando, a 2-esfera, apresentaremos um trabalho recente – em conjunto com F.A. Tal [3] – no qual mostramos que qualquer grupo de difeomorfismos estendendo propriamente o grupo de Mobius (das transformações conformes) é 4-transitivo ou, mais precisamente, 4-transitivo por arcos. Mostraremos, também, que tal grupo precisa conter uma transformação de entropia topológica positiva.

Title: O Teorema de Hall e o Gap Lemma de Newhouse

Abstract: No pôster apresentamos um teorema provado inicialmente por Marshall Hall [1947],que permite-nos conectar certos problemas típicos de Teoria dos Números a problemas típicos de Sistemas Dinâmicos.

Chamamos de C(4) o conjunto dos números cuja expansão em frações contínuas não excede 4. O Teorema de Hall nos diz que C(4)+C(4)=[\sqrt{2}-1,4\sqrt{2}-4], como consequência disso, todo número real pode ser escrito como soma um inteiro e dois números cuja expansão em frações contínuas não excede 4, isto é, Z+C(4)+C(4)=R.

Daremos uma prova do Teorema de Hall utilizando o Gap Lemma de Newhouse, que apareceu pela primeira vez em um trabalho de S. Newhouse no contexto de dinâmica hiperbólica, e nos dá condições suficientes para que a interseção de dois conjuntos de Cantor seja não vazia. Usando este resultado, daremos condições suficientes sob as quais a soma de dois conjuntos de Cantor é igual a soma de seus fechos convexos.

Por fim, usaremos o Teorema de Hall para mostrar que o Espectro de Lagrange contém o intervalo [6,+\infty).