有趣數學之曲線

中學課程要求學生學習的函數圖像有直線、拋物線、圓、三角函數、指數函數、對數函數等等。這裡會向大家介紹一些有趣而美麗的圖像或曲線，讓大家感覺數學美。

1. 直線：這是大家中一就要認識的圖像。

直角座標方程 y = x

2. 圓錐曲線：以不同角度切割圓錐體得出不同的圓錐曲線。

圓錐曲線例(i)：圓

直角座標方程 x² + y² = 1

圓錐曲線例(ii)：橢圓

直角座標方程 x²/9 + y²/4 = 1

圓錐曲線例(iii)：拋物線

直角座標方程 y = x² - 1

日常看到的拋物線例子：

青馬大橋纜索的形狀介乎拋物線和懸鏈線之間

3. 懸鏈線：懸在水平兩點間的因地心吸力作用下的軟繩的形狀

4. 心臟線：在一個定圓上有同半徑的圓在圓周上滾動，動圓圓周上一個定點 的軌跡是心臟線。

5. 薔薇曲線：中世紀歐洲哥德式建築教堂主立面中央常以薔薇花為飾。

薔薇曲線例(i)：四瓣薔薇曲線

極座標方程 r = sin 2θ

薔薇曲線例(ii)：三瓣薔薇曲線

極座標方程 r = sin 3θ

薔薇曲線例(iii)：八瓣薔薇曲線

極座標方程 r = sin 4θ

薔薇曲線例(iv)：二瓣薔薇雙紐線

極座標方程 r² = sin 2θ

6. 旋輪線：旋輪線例(i)：旋輪線(又稱擺線)圓在軸上滾動，定點 的軌跡稱為旋輪線。

滾動出來的結果是

參數方程：x = θ - sinθ , y = 1 - cosθ

把上圖上下反過來，就是以下的等時曲線或稱作最速降線。

圖中三夥球受地心吸力影響從不同位置沿等時曲線(旋輪線)下滑時，滑落到曲線底部所耗費的時間是一樣的。

旋輪線例(ii)：內旋輪線小圓在定圓內旋轉，動圓圓周上定點 的軌跡稱為內旋輪線。

旋輪線例(ii)：外旋輪線小圓在定圓外旋轉，動圓圓周上定點 的軌跡稱為外旋輪線。

7. 螺線：在大自然的動植物上，我們經常看到螺線。

平面螺線：

立體螺線：

螺線例(i)：對數螺線

螺線例(ii)：阿基米德螺線

  極座標方程 r = θ

對數螺線和阿基米德螺線形狀的比較

左：對數螺線；右：阿基米德螺線

各位同學，以上介紹的曲線是日常看到的曲線的一小部份，只要大家上數學課或在日常生活中，必然發現有更多形形色色的曲線。