Lineer Cebir

Ders Dönemi: Güz Ders Tipi: Zorunlu

Teori Saati: 3 Uygulama Saati: 0 Kredi: 3. AKTS: 6

Dersin Dili: 

Türkçe

Dersin Amacı: 

Ders tüm mühendislik öğrencileri için Lineer Cebir’in temel konularına giriş konularını kapsar. Mühendislik için oldukça temel bir derstir. Bilgisayar mühendisliğine özel olarak bilgisayar grafiği alanına ilgi duyanlar için en önemli temel derstir. Lineer cebir teorilerinin kullanıldığı diğer bilgisayar mühendisliğinin bazı alanları; video ve görüntü işleme, haberleşme, sinyal işleme, yapay zekâ, makina öğrenmesi, derin öğrenme gibi en popüler alanlardır.

Mesela; görüntü işlemede elde edilmiş görüntü sinyalleri 3 (Red, Green, Blue) ayrı matristir. Bu görüntüler alt yapısını lineer cebir teorilerinin oluşturduğu belirli işlemlerden geçirilerek anlamlandırılır. Görüntü işlemenin temelinde pixel değerleri ile işlemler yaparak, görüntüyü daha işlevsel hale getirmek yer alır. Temelinde lineer cebir ile işlemler yapabilmek çok önemlidir, çünkü görüntü sinyaller iki boyutlu bir matris olarak işleme sokulur. 1080’e 720’lik bir görüntü olsun diyelim. Aslında bu görüntü [1080,720]’lik bir matris anlamına gelir renkli ise her bir görüntü için bu matristen 3 tane vardır. Bu görüntü üzerinde yapacağınız bütün işlemler matrisler ile yapılır. 

Dersin İçeriği: 

Denklem Sistemleri, Matrisler, Determinant, Vektör Uzayları, Doğrusal Dönüşümler, Dikeylik, Özdeğerler.

Dersin Öğretim Yöntemleri: 

Yüz yüze anlatım

Dersin Ölçme Yöntemleri: 

A: Yazılı sınav (Test + Klasik)

Tavsiye Edilen Kitaplar: 

1- Elementer Lineer Cebir (Türkçe Çeviri),  Howard Anton, Chris Rorres, Palme Yayıncılık 

2- “Applied  Linear Algebra” Peter J. Olver • Chehrzad Shakiban, Second Edition

3- “Linear Algebra With Applications” Stevan J. Leon 8th Eddition 2010 (Pearson Prentice Hall)

4- Introduction to Linear Algebra, Gilbert Strang

HAFTALIK DERS KONULARI:

1. Hafta: 

Lineer Denklem Sistemleri ve Matrisler ile Gösterimi

Elementer (Temel) Satır İşlemleri 

Satırca Denk Matrisler (Row Equivalent Matrix)

Lineer Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri  

Gauss Yok Etme Metodu  

Gauss Jordan Yok Etme Metodu 

2. Hafta: 

Lineer Denklem Sistemlerinin Çözüm Durumları  

Lineer Denklem Sistemlerinde Çözüm Durumları Örneği

Sonsuz Çözüme Sahip Lineer Denklem Sistemi Örneği 

Çözümü Olmayan Lineer Denklem Sistemi Örneği  

Eşelon Matrisi (Row Echelon Form)  

Lineer Denklem Sistemlerinin Eşelon Matris Forma Getirilerek Çözümü  

3x4 Lineer Denklem Sistemi Örnek Soru

3. Hafta

İndirgenmiş Eşelon Matrisi (Reduced Row Echelon Form)  

Homojen Lineer Denklem Sistemleri (Homogeneous System of Linear Equations)

Matris Nedir ve Temel Matris Kavramları Nelerdir?  

Bölünmüş Matris

Matris Çeşitleri  

Bir Matrisin Devriği (Transpose)  

4. Hafta

Matrislerin Eşlenik Devriği

Matrislerde Aritmetik İşlemler (Toplama, Çıkarma)  

Matrislerde Aritmetik İşlemler (Çarpma)  

Matrislerde Çarpmanın Özellikleri

Matrislerin Tersi ve Matrislerin Tersini Bulma (Elementer Satır İşlemleri Metodu)

Ters Matris Yardımıyla Lineer Denklem Sistemlerini Çözme  

5. Hafta

Elementer Matrisler 

Elementer Matrislerin Tersini Bulma

Elementer Matrislerlerle Bir Matrisin Tersini Bulma

A=LU Ayrışımı (LU Decomposition)

A=LU Ayrışımı ile Lineer Denklem Sistemlerini Çözme

6. Hafta

Determinant Hesaplama

Minör ve Kofaktörler

Minör ve Kofaktörler ile nxn Matrisin Determinantını Hesaplama  

Determinant Özellikleri  

Bir Matrisin Tersinin Varolma Şartları (Singular - Nonsingular) (Tekil-Tekil Olmayan)

 Ek Matris (Adjoint Matrix)  

7. Hafta

Ek Matris Yardımıyla Ters Matris Bulma  

Cramer Metodu  

Permütasyon Matrisleri (Permutation Matrix)

Özdeğerler ve Özvektörler (eigen values-eigen vectors)  

Matrislerde Özdeğer ve Özvektör Bulma

Algebraic Multiplicity of Eigen Value (Özdeğerlerin Tekrar Sayısı)

Geometric Multiplicity of Eigen Value (Özdeğerlere Ait Özvektör Sayısı)

8. Hafta 

Köşegenleştirme (Diagonalization)  

3x3 Matrisin Köşegenleştirilmesi (Diagonalization)  

Cayley Hamilton Teoremi

Reel ve Kompleks Matris (Real and Complex Matrix)

Kompleks Matrisin Eşlenik Devriği (Conjugate Transpose)

Üniter Matris (Unitary Matrix)

Hermisyen Matrisler (Hermitian Matrices)

Hermisyen Matrislerde Özdeğerler (Eigenvalues for Hermitian Matrices)

9. Hafta

İdempotent Matris (Idempotent Matrix)

İdempotent Matrislerde Özdeğerler (Eigenvalues for Idempotent Matrices)

Vektör Nedir?  

Vektörlerin Uzunluğunu Bulma ve Birim Vektör  

Birim Vektör Olmayan Vektörü Birim Vektör Yapma  

Birim Baz Vektörler (i , j , k)  

İç Çarpım (Dot Product or Scalar product)  

İki Vektörün Diklik ve Paralellik Şartı 

İki Vektör Arasındaki Açıyı Bulma  

Dik İzdüşüm Vektörünü Bulma (Projection Vektör)  

Düzlemde Üçgenin Alanını Vektör Yardımıyla Bulma  

Vektörel Çarpım (Cross Product )  

10. Hafta

Tensör Çarpım

Kuantum programlamada Tensör Çarpım ile Qbit tanımı

Kronecker Çarpımı

Vektör Uzayı (Vector Space)  

  Alt Uzay (Subspace)  

  Lineer Birleşim  

  Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık  

  Uzayı Germe (Span)  

  Baz (Basis)  

  Boyut (Dimension)  

11. Hafta

   Koordinat Vektörü  

  Baz (Taban) Değiştirme (Change of Basis)

  Bir Matrisin Satır Uzayının Bazı (Row Space)  

  Bir Matrisin Sütun Uzayının Bazı (Column Space)  

  Bir Matrisin Rankını Bulma ve Yorumlama  

  Boş Uzayın Bazı ve Boyutu (Nullspace and Nullity)  

12. Hafta

 Doğrusal Dönüşümler (Linear Transformations)  

Doğrusal Dönüşüm Matrisi (Linear Transformation Matrix)  

Doğrusal Dönüşümün Çekirdeği (Kernel)

Doğrusal Dönüşümün Görüntüsü (Range) 

Doğrusal Dönüşümün Boşluğu ve Rankı (Nullity and Rank)  

13. Hafta

Ortogonal Küme Nedir? (Orthogonal Set)  

Ortogonal Baz (Taban) Nedir? (Orthogonal Basis)  

Ortonormal Küme Nedir? (Orthonormal Set)  

Ortonormal Baz (Taban) Nedir? (Orthonormal Basis)  

Ortogonal Tümleyen (Orthogonal Complement)  

Gram-Shmidt Metodu  

14. Hafta

QR Ayrışımı (QR Factorization)  

Ortogonal Matrisler ve Özellikleri (Orthogonal Matrix)

En Küçük Kareler Metodu (Least Squares Method)

En Küçük Kareler Metodu ile Eğri Uydurma ( Curve Fitting with Least Squares Method)

DEĞERLENDİRME SİSTEMİ

YARIYIL İÇİ ÇALIŞMALARI SAYI KATKI YÜZDESİ

Ara Sınav 1 %40

Final 1 %60

Bütünleme (Finalden kalanlar için) 1 %60

Toplam %100