Objectives of the project. The main novelty in this research project is that we focus on a special target, which concerns the analysis of anisotropic multi-phase nonlinear problems. The associated Euler equations are driven by two or several nonhomogeneous differential or nonlocal operators. The study of the interplay local-nonlocal is a key future of this project and a major objective in our work. Another highlight of this project is that we are interested in the study of phenomena described by non-standard operators.
The limitations of current approaches. A major difficulty in the anisotropic setting appears due to the changes of the ellipticity rate both to the geometry of some level sets of the modulating coefficient and due to possible degeneracies generated by the variable exponents. Another limitation of current approaches appears due to the absence of global regularity results. In our setting, major difficulties are generated by the regularity of variable exponents, which can involve the impossibility to use good test functions, because of possible non-density properties (Lavrentiev phenomenon).
Impact. Nonlinear problems make a bridge between pure and applied sciences. At the same time, anisotropy is the property of being directionally and punctually dependent, which implies different properties in different directions or points, as opposed to isotropy. For this reason, the core of the present research project is at the interplay between pure and applied nonlinear functional analysis, with a strong interference with areas such as topology, calculus of variations, mathematical analysis, asymptotic analysis, and numerical analysis. The broad impact of this project follows from the use of refined mathematical research-dependent techniques, methods and tools. The direct impact of our research refers to the first-round impacts as they coincide with the first step of spending in economic activities.
Methodology. The methodology is oriented towards the rigorous understanding whether the features of nonlinear anisotropic phenomena we describe are a limitation of mathematical approaches or just intrinsic features of the real world. The key issue in this project is to deal with the interplay between nonlinearity and anisotropy in various classes of PDEs or nonlocal problems. In this sense, we extend existing mathematical theories and we establish new methods in order to develop a suitable level of abstraction to understand better the original problems proposed in this project. At a large scale, this will be achieved by studying the analogies and differences between old and new theories. The key words of this project, namely nonlinearity and anisotropy, will distinguish the methodology of the proposal from the convenient strategies, developed in the past few decades.
The research activities within this project will take place in the framework of the Laboratory of Pure and Applied Nonlinear Analysis organized at the University of Craiova under the coordination of Professor Vicentiu D. Radulescu:
https://sites.google.com/edu.ucv.ro/pana
Additional results non-including the support of the project.
1) In 2021, Clarivate nominated (for the fourth time) the Principal Investigator a Highly Cited Researcher in the field of Mathematics. This award has been announced on the web page of the University of Craiova at
https://www.ucv.ro/media/det.php?id=2524
2) In 2021, the Principal Investigator was the co-Guest Editor (with Giuseppe Mingione) of the JMAA Special Issue "New developments in non-uniformly elliptic and nonstandard growth problems":
3) In 2021, the following monograph was the most cited book published in 2019 (186 citations, source: MathSciNet):
N.S. Papageorgiou, V.D. Rădulescu, D.D. Repovš, Nonlinear Analysis—Theory and Methods, Springer Monographs in Mathematics, Springer, Cham, 2019. xi+577 pp. ISBN: 978-3-030-03429-0; 978-3-030-03430-6
Obiectivele proiectului. Principala noutate în acest proiect de cercetare este că ne concentrăm pe o țintă specială, care se referă la analiza problemelor neliniare anizotrope cu multiple faze. Ecuațiile Euler asociate sunt descrise de doi sau mai mulți operatori diferențiali neomogeni sau nelocali. Studiul interacțiunii local-nonlocal este o trasatura cheie a acestui proiect și un obiectiv major în activitatea noastră. Un alt punct culminant al acestui proiect este faptul că suntem interesați de studiul fenomenelor descrise de mai multe clase de operatori non-standard.
Limitările abordărilor actuale. O dificultate majoră în abordarea anizotropă apare din cauza modificărilor ratei de elipticitate atât la geometria unor multimi de nivel ale coeficientului de modulare cât și din cauza posibilelor degenerări generate de exponenții variabili. O altă limitare a abordărilor actuale apare din cauza absenței rezultatelor de regularitate globală. În contextul nostru, dificultăți majore sunt generate de regularitatea exponenților variabili, ceea ce poate implica imposibilitatea de a utiliza funcții de testare bune, din cauza posibilelor proprietăți de nedensitate (fenomenul Lavrentiev).
Impact. Problemele neliniare creeaza o punte între științele pure și cele aplicate. În același timp, anizotropia este proprietatea de a fi dependent direcțional și punctual, ceea ce implică proprietăți diferite în direcții sau puncte diferite, spre deosebire de izotropie. Din acest motiv, nucleul prezentului proiect de cercetare se află în interacțiunea dintre analiza funcțională neliniară pură și cea aplicată, cu o interferență puternică cu domenii precum topologia, calculul variațional, analiza matematică, analiza asimptotică și analiza numerică. Impactul larg al acestui proiect rezultă din utilizarea unor tehnici, metode și instrumente rafinate de cercetare matematică. Impactul direct al cercetărilor noastre se referă la impactul de prim rang in desfasurarea unor activități economice.
Metodologie. Metodologia este orientată spre înțelegerea riguroasă a caracteristicilor fenomenelor anizotrope neliniare, pe care le descriem in functie de limitarile abordărilor matematice sau in functie de caracteristicile intrinseci ale lumii reale. Orientarea cheie în acest proiect este legata de interacțiunea dintre neliniaritate și anizotropie în diferite clase de ecuatii cu derivate partiale sau probleme nelocale. În acest sens, extindem teoriile matematice existente și stabilim noi metode pentru a dezvolta un nivel adecvat de abstractizare pentru a înțelege mai bine problemele originale propuse în acest proiect. La scară largă, acest lucru se va realiza prin studierea analogiilor și diferențelor dintre teoriile vechi și cele noi. Cuvintele cheie ale acestui proiect, și anume neliniaritate și anizotropie, vor distinge metodologia proiectului de cercetare de strategiile dezvoltate în ultimele decenii.
Activitățile de cercetare din cadrul acestui proiect se vor desfășura în cadrul Laboratorului de Analiză Neliniară Pură și Aplicată organizat la Universitatea din Craiova sub coordonarea profesorului Vicentiu D. Rădulescu:
https://sites.google.com/edu.ucv.ro/pana
Rezultate suplimentare care nu includ sprijinul proiectului.
1) În 2021, Clarivate l-a nominalizat (pentru a patra oară) pe directorul proiectului ca Highly Cited Researcher în domeniul matematicii. Acest premiu a fost anunțat pe pagina web a Universității din Craiova la adresa
https://www.ucv.ro/media/det.php?id=2524
2) În 2021, investigatorul principal a fost co-editor (împreună cu Giuseppe Mingione) al numărului special JMAA „Noi evoluții în probleme de creștere neuniform eliptică și nestandard”:
3) În 2021, următoarea monografie a fost cea mai citată carte publicată în 2019 (186 citări, sursă: MathSciNet):
N.S. Papageorgiou, V.D. Rădulescu, D.D. Repovš, Nonlinear Analysis—Theory and Methods, Springer Monographs in Mathematics, Springer, Cham, 2019. xi+577 pp. ISBN: 978-3-030-03429-0; 978-3-030-03430-6