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Resumo: 

A teoria dos derivadores topológicos surge como uma tentativa de realizar, em nível toposico, o antigo programa de Grothendieck de estender os derivadores para além da categoria das categorias  pequenas, alcançando o domínio dos topos e dos morfismos geométricos. Inspirada por suas cartas a Thomason, essa teoria busca formular uma estrutura que unifique aspectos homotópicos e cohomológicos em um quadro intrinsecamente topológico, no qual o raciocínio derivado é guiado por princípios geométricos.

Definimos um derivador topológico D como um 2-funtor 2-contravariante dos topos para as categorias (eventualmente grandes). Esses 2-funtores são sujeitos a certos axiomas, entre os quais a existência de adjunções derivadas — que permite definir a cohomologia de um topos em relação a D — e um princípio de localização, que se manifesta de três modos distintos: localização pontual, localização geométrica e hiperlocalização.

Para cada um desses princípios de localização, apresentarei uma solução parcial para a conjectura de Grothendieck, formulada em sua carta a Thomason, segundo a qual todo derivador poderia ser estendido de modo canônico a um derivador topológico. Mais precisamente, mostrarei que todo derivador definido por uma categoria de modelos combinatorial pode ser estendido, de forma essencialmente única, a um derivador topológico hiperlocal (resp. pontualmente ou geometricamente local) sobre o domínio dos topoi (resp. dos topoi com pontos suficientes).

Mais do que uma generalização formal, o yoga dos derivadores topológicos sugere uma nova maneira de compreender a homotopia em termos toposicos, onde as noções de espaço e forma homotópica se entrelaçam sob um mesmo princípio organizador.

Resumo:  

Este é um trabalho conjunto com Dimi Rocha Rangel.

A noção de número surreal foi introduzida por J.H. Conway em meados da década de 1970: os números surreais constituem uma classe própria linearmente ordenada $No$ que, trabalhando dentro da teoria dos conjuntos/classes  NBG, pode ser definida por uma recursão na classe $On$ de todos os números ordinais. A classe $No$ pode ser naturalmente dotada de operações de soma e produto, está conectada com o conceito de transséries e satisfaz muitas propriedades interessantes, indicando ser uma estrutura fundamental da Matemática.

Na tentativa de codificar o universo de conjuntos diretamente dentro da classe dos números surreais, encontramos algumas pistas que sugerem que esta classe não é adequada para este propósito. Formalizando cuidadosamente a definição da classe dos números pré-(surreais) (e algumas variantes), que é um estágio intermediário na construção dos números surreais de Conway, obtemos estruturas que possuem cópias de $No$, bem como a classe do universo de todos os conjuntos $V$. 

O principal objetivo deste trabalho é isolar e explorar propriedades dessas novas construções sob uma perspectiva categorial e apresentar a noção de SUR-álgebra  (resp. SUR-álgebra parcial), uma tentativa de obter uma "teoria algébrica para números surreais" nos moldes da Teoria Algébrica dos Conjuntos e o conceito de ZF-álgebra: estabelecer vínculos abstratos e gerais entre a classe de todos os números surreais e um universo de "conjuntos surreais" semelhante às relações de todos os ordinais e a classe de todos os conjuntos, que respeita e expande os vínculos entre a classe linearmente ordenada

$On$ e $No$ de todos os ordinais e de todos os números surreais. Assim, por meio de métodos categoriais, demos os primeiros passos em direção a um certo tipo de "teoria relativa dos conjuntos", neste novo contexto.

Resumo:

Este trabalho estende a clássica teoria estrutural de semigrupos inversos para o contexto mais geral de semigrupoides inversos, que podem ser vistos como categorias pequenas sem identidades. O principal resultado é uma versão multi-objeto do P-theorem de McAlister, um resultado fundamental que caracteriza semigrupos inversos E-unitários.

Para alcançar este objetivo, seguimos a abordagem de Kellendonk e Lawson, que reformularam o P-theorem em termos de ações parciais de grupos em conjuntos parcialmente ordenados. Nós generalizamos este conceito ao introduzir a noção de ações parciais ordenadas de semigrupoides inversos em conjuntos parcialmente ordenados e provamos que toda ação parcial ordenada admite uma globalização universal.

Este resultado sobre a existência de globalizações é então utilizado para estabelecer uma conexão entre as ações parciais ordenadas de grupoides e uma generalização das triplas de McAlister para um contexto multi-objeto. Como consequência, obtemos o principal teorema deste trabalho: uma versão do P-theorem para semigrupoides, que afirma que todo semigrupoide inverso E-unitário é isomorfo a um produto semidireto derivado de uma ação parcial ordenada de um grupoide sobre uma versão multi-objeto de um semirreticulado.

Apresentamos os pré-requisitos necessários sobre semigrupoides inversos, desenvolvemos a teoria de ações parciais ordenadas e suas globalizações e, por fim, aplicamos esses resultados para provar a versão multi-objeto do P-theorem.

Link para arxiv: https://arxiv.org/abs/2505.08897

Resumo:

 Categorias n-abelianas foram introduzidas por Jasso há aproximadamente dez anos, e o estudo destas categorias constitui parte da teoria que é conhecida hoje por "álgebra homológica superior". Aqui, o adjetivo "superior" vem da ideia de que categorias n-abelianas podem ser consideradas como versões "mais longas" ou "superiores" de categorias abelianas, sendo estas recuperadas quando n = 1. Neste seminário, iremos introduzir a noção de categoria n-abeliana através da teoria de representações de categorias aditivas, isto é, através de categorias de funtores. O objetivo deste seminário será, portanto, duplo. Por um lado, gostaríamos de divulgar esta área emergente que é a álgebra homológica superior. Por outro, gostaríamos de expor o potencial que a teoria de representações de categorias aditivas possui para compreender os vários tipos de categorias aditivas que existem.

Artin gluing is a technique in category theory with clear topological motivations: given a topological space X and an open set U, how can reconstruct X from U and its closed complement X\U? This notion was first introduced in SGA IV in the context of topos theory: given two toposes E and F, when can we construct a topos E' such that E and F are complementary open and closed subtoposes, respectively? Putting it differently, when can we "glue" E and F together to form the new topos E'?

Fast forward to the 1990s and we see similar constructions being used in programming language theory and type theory as a way of constructing "non-standard" models that witness global properties of formal systems. While similar in spirit, such techniques are not, strictly speaking, instances of the Artin gluing construction. The categories considered may not even be toposes. In this talk I will describe a 2-categorical reformulation of the Artin gluing construction. This unifies the different notions of gluing considered beyond "spatial" notions of categories. We show that the analogy goes deeper than it seems at first by proving a formal fracture theorem. This abstracts the notion that the glued model is fully characterized by "open" and "closed" components and their shared boundary.

Resumo: 

Um limite de um diagrama 𝑑 em uma categoria E pode ser considerado como especificando um conjunto de equações envolvendo os objetos de E. Se E tem um objeto inicial, a pergunta natural: “nosso conjunto de equações tem alguma solução?” pode ser formulada como: “o limite de 𝑑 é inicial?”. Nesse  seminário, vou apresentar condições suficientes sobre o diagrama e a categoria em questão para que exista um algoritmo eficiente para determinar se o limite de 𝑑 é inicial ou não. Entenderemos “eficiente” como fixed parameter tractable (FPT), o que, em nosso caso, equivale aproximadamente a um tempo de execução que depende de forma limitada (potencialmente exponencial) de uma noçāo adequadamente definida de “tamanho" dos objetos no diagrama, mas apenas linearmente do número de objetos no domínio de 𝑑. Esses resultados têm aplicações para determinar algoritmos de programação dinâmica rápida para CSPs generalizados (problemas de satisfação de restrições) e co-CSPs, seus duais categóricos.