Una matriz se llama totalmente positiva (resp., totalmente no negativa) si todos sus menores (determinantes de submatrices cuadradas) son positivos (resp., no negativos). Esta clase de matrices surge y juega un papel importante en varios dominios de las matemáticas, tales como la teoría de la representaciones, las álgebra de conglomerado, la combinatoria, la probabilidad y los procesos estocásticos, la física matemática, por nombrar solo algunos. El objetivo de este proyecto es proporcionar una introducción a la positividad total, haciendo énfasis en los aspectos algebraicos, combinatorios y geométricos sobre este tema.
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La meta de este proyecto es que las y los estudiantes se integren al grupo de trabajo de topología en bajas dimensiones y teoría geométrica de grupos de la Unidad Oaxaca del Instituto de Matemáticas. Para esto, durante 3 semanas estarán participando de forma virtual en una serie de lecturas con el objetivo de que individualmente desarrollen un proyecto relacionado con topología de superficies orientables y propiedades algebraicas/topológicas de su grupo de simetrías (homeomorfismos). En todo momento estarán acompañados por el investigador a cargo.
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El presente taller es preparatorio para estudiantes interesados en asistir (al menos de manera virtual) al evento con el mismo nombre en la Casa Matemática Oaxaca del BIRS en el 2023. Están invitados también estudiantes que gusten aprender las nuevas técnicas desarrolladas en el área. La teoría de bordismo equivariante es conocida y ha tenido gran desarrollo en el siglo pasado. La estructura de modulo así como la paridad del bordismo equivariante (unitario) es una pregunta que se ha traído en los últimos tiempos por Uribe. Además, tenemos el trabajo en bajas dimensiones lidereadas por Zimmermann, donde varias preguntas acerca de extensiones de acciones de grupos finitos sobre superficies siguen abiertas. En los últimos años se han trabajado y revivido dichas preguntas abiertas usando herramientas modernas.
Los ciclos en teoría de gráficas y en teoría de digráficas juegan un papel muy importante para el desarrollo de estas teorías y en sus aplicaciones. Las aplicaciones aparecen en datos de transacciones financieras, redes alimentarias, datos biológicos, redes complejas en donde los ciclos aparecen de forma natural.
El objetivo de este proyecto es estudiar la homología de caminos en teoría de digráficas y la homología de caminos cíclicos en teoría de digráficas.
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Mediante de la noción categórica de topos, se abre la puerta al estudio sintético de espacios generalizados a partir de sus relaciones funcionales y no a partir de sus elementos. En este nivel de generalización se puede razonar internamente de una manera afín a la de los intuicionistas. En estas categorías se tienen prácticamente todas las construcciones válidas en la teoría de conjuntos basada en la axiomática de Zermelo Fraenkel, con la salvedad de que no es universalmente válido el principio del tercero excluido (y por lo tanto tampoco lo es el axioma de elección).
El propósito de este proyecto es el de desarrollar la intuición necesaria para trabajar en estos topos. En particular, como ejemplo se tomarán construcciones y problemas clásicos de la geometría y el cálculo elementales para entender la natural introducción de la noción de infinitesimales en el lenguaje interno de los topos lisos.