Charlas de Investigación
Tendremos once charlas de investigación, impartidas por reconocidxs matemáticxs mexicanxs en el extranjero. El horario de las charlas puede ser consultado aquí.
La interacción entre las restricciones algebraicas y las restricciones diferenciales: fenómenos de concentración.
Los patrones finos, como las oscilaciones y las concentraciones de masa, son omnipresentes en la naturaleza, desde la micro-estructura de los materiales hasta el comportamiento de los fluidos turbulentos. Estos patrones suelen modelarse mediante ecuaciones diferenciales parciales no lineales (EDP).
La "compacidad por compensación", fruto del trabajo de Lions, Tartar y muchos otros grandes analistas, es un marco para comprender la formación de patrones finos en las EDP no lineales, que explota la interacción entre las restricciones algebraicas y las de las EDP. En este contexto, las restricciones algebraicas son restricciones sobre los posibles valores de una solución de una EDP, que pueden reducir considerablemente la formación de patrones finos arbitrarios. Esto significa que, aunque una EDP no tenga una solución explícita, podemos aprender mucho sobre su comportamiento estudiando la interacción de estas restricciones.
Mientras que el comportamiento oscilatorio se conoce bastante bien, se sabe mucho menos sobre la formación de concentraciones de masa y la forma de sus singularidades generadas. En esta charla discutiré un principio de superposición para las concentraciones que podría conducir a avances sustanciales en la intersección de varios subcampos del análisis.
Daniela Cisneros Arce (Estadística)
Deep learning-based graphical regression models for jointly moderate and extreme Australian wildfires
Recent wildfires in Australia have led to considerable economic losses and social stresses, and there is major concern that climate change will exasperate their intensity, duration, and frequency. Risk assessment is an important component of wildfire management as it facilitates resource distribution, damage mitigation and recovery efforts, and so it is crucial that we build resilient statistical methods that can reliably model extreme wildfires in different climates and locales. We develop an extreme value graphical regression model that links climate and orographical predictors to wildfire occurrence and burnt area. Whilst extreme wildfires are considered to be the most impactful, small-to-moderate wildfires can be equally as dangerous, depending on their location; hence we adopt the extended generalized Pareto distribution (EGPD) to model the response, as this simultaneously accounts for both extreme and non-extreme events. To capture complex spatial structure in the predictors, we exploit graphical convolutional neural networks (GCNNs); such deep learning models are capable of pooling information across space by representing input data as a graph. Our model is used to estimate quantiles of monthly burnt area across the entirety of Australia.
La óperad de posets 101: Los posets Wixárika
Estudiamos objetos cuya definición está vinculada a conjuntos parcialmente ordenados (posets). Informalmente, un álgebra sobre la óperad de posets es un conjunto cuyos endomorfismos contienen los endomorfismos de posets. Ejemplos notables de tales álgebras incluyen los valores zeta, los politopos de orden, y las series de barajado. El lenguaje de óperads nos proporciona herramientas para entender mejor la combinatoria de estos objetos.
En esta charla describiremos un ejemplo no trivial de subóperad "Los posets Wixárika", junto con sus álgebras asociadas. Este ejemplo es lo suficientemente complejo para mostrar las particularidades del campo, sin adentrarnos en tecnicismos.
The Dissimilarity Dimension: Sharper Bounds for Optimistic Algorithms
The principle of Optimism in the Face of Uncertainty (OFU) is one of the foundational algorithmic design choices in Reinforcement Learning and Bandits. Optimistic algorithms balance exploration and exploitation by deploying data collection strategies that maximize expected rewards in plausible models. This is the basis of celebrated algorithms like the Upper Confidence Bound (UCB) for multi-armed bandits. For nearly a decade, the analysis of optimistic algorithms, including Optimistic Least Squares, in the context of rich reward function classes has relied on the concept of eluder dimension, introduced by Russo and Van Roy in 2013. In this talk we shed light on the limitations of the eluder dimension in capturing the true behavior of optimistic strategies in the realm of function approximation. We remediate these by introducing a novel statistical measure, the “dissimilarity dimension”. We show it can be used to provide sharper sample analysis of algorithms like Optimistic Least Squares by establishing a link between regret and the dissimilarity dimension. To illustrate this, we will show that some function classes have arbitrarily large eluder dimension but constant dissimilarity. Our regret analysis draws inspiration from graph theory and may be of interest to the mathematically minded beyond the field of statistical learning theory. This talk sheds new light on the fundamental principle of optimism and its algorithms in the function approximation regime, advancing our understanding of these concepts. (https://arxiv.org/abs/2306.06184 )
Tiempos de parada simultáneos
Una aplicación de los tiempos de parada es el modelado de llegadas aleatorias. En muchos modelos, una hipótesis estándar es asumir que, dada una filtración subyacente, los tiempos de parada son condicionalmente independientes. Aunque esta hipótesis es muy útil, a veces es demasiado fuerte. En esta charla presentaremos dos maneras con las que se pueden construir familias de tiempos de parada que no son necesariamente condicionalmente independientes. Esto permite que los dos tiempos de parada sean iguales con probabilidad positiva. La primera manera es usando una construcción de Cox y la segunda es usando distribuciones fásicas. También presentaremos una serie de resultados que exploran algunas propiedades de estos modelos y una aplicación a riesgo de crédito.
Empaquetamientos de apolonio
Los empaquetamientos de Apolonio son configuraciones de circulos en el plano que se construyen mediante un procedimiento geométrico recursivo. Estas configuraciones gozan numerosas propiedades. En esta charla daremos une introducción basica de esta teoria. Presentaremos nuevas construcciones en el plano y en el espacio, una generalización del conocido teorema de Descartes y una aplicación reciente en teoria de nudos que como consecuencia ofrece soluciones a una ecuacion diofántica.
Ángel David Ríos Ortiz (Geometría Algebraica) Université Paris-Saclay
Making Algebraic Geometry Explicit
Algebraic Geometry is the study of solutions to polynomial equations. However, more often than not, constructions of interesting objects in this field do not proceed directly from equations. In this talk, we will explore some examples demonstrating how to recover explicit equations from constructions arising in Hyperkahler Geometry and Geometric Group Theory.
Érika Roldán (Geometría discreta, Topología estocástica, teoría de la complejidad) (Max-Planck-Institute for Mathematics in the Sciences)
Topology and Geometry of Random Cubical Complexes
In this talk, we explore the expected topology (measured via homology) and local geometry of two different models of random subcomplexes of the regular cubical grid: percolation clusters, and the Eden Cell Growth model. We will also compare the expected topology that these average structures exhibit with the topology of the extremal structures that it is possible to obtain in the entire set of these cubical complexes. You can have a look at some of these random structures here (https://skfb.ly/6VINC) and start making some guesses about their topological behavior.
Pablo Suárez Serrato (Geometría aplicada) Instituto de Matemáticas UNAM
Visiones de la cuarta dimensión
La clasificación de 2-variedades fue completada con el teorema de uniformización. La de 3-variedades se concretó con el teorema de geometrización de Thurston, demostrado por Perelman y Hamilton. Las variedades de dimensión 5 se pueden entender usando teoría de cirugía y tienen una cantidad finita de estructuras diferenciales. La brecha en nuestra comprensión entonces, está en la dimensión 4. Aquí, en la categoría topológica Freedman demostró que se pueden usar las técnicas de cirugía en el caso simplemente conexo (grupo fundamental trivial) y Freedman-Teichner expandieron esto para grupos fundamentales de crecimiento a lo más sub-exponencial. En contraste, Donaldson demostró que existen 4-variedades lisas y compactas que admiten una cantidad infinita de estructuras diferenciables.
La investigación de las propiedades de distintas familias de 4-variedades lisas continúa hoy en día. Después de una introducción panorámica, explicaré resultados de la existencia de estructuras de Poisson en 4-variedades lisas, en colaboraciones con García-Naranjo y Vera , y con Torres Orozco. Así como nuevas obstrucciones a la existencia de métricas de Einstein (con curvatura de Ricci constante) y de métricas con curvatura escalar positiva, en colaboraciones con Contreras Peruyero. Finalmente, presentaré una construcción reciente mía de flujos cuya dinámica es compleja (en el sentido de ser Turing completa), en cualquier 4-variedad lisa compacta y orientable.
Modeling Infectious Diseases
In public health, epidemic models are commonly used to evaluate potential scenarios involving allocation of resources or the transmission of diseases. In this session, I will present development and adaptation of mathematical methods for investigating epidemic outbreaks, dengue and COVID-19, vaccine distribution allocations, and inferring epidemic model parameters from two data sources: wastewater and cases.
Contando soluciones coloreadas, generando amibas y atrapando números enteros
La teoría de Ramsey es el estudio de la existencia de patrones monocromáticos en estructuras arbitrariamente coloreadas y suficientemente grandes. Nos interesa estudiar la teoría de Ramsey en varios contextos. Uno de ellos fue desarrollado por Issai Schur, quien demostró que existe un mínimo entero s(r) tal que toda r-coloración de los enteros en [1, s(r)] contiene una solución monocromática a la ecuación x + y = z. Un problema natural es contar el número de soluciones monocromáticas que surgen en r-coloraciones de los enteros en [1, n] cuando n ≥ s(r). En nuestro trabajo damos una cota superior para coloraciones con 3 y 4 colores mejorando las cotas dadas por Thanatipanonda en 2009. También exploramos el problema análogo para la ecuación ax + ay = z usando el método desarrollado por Datskovsky en 2003. Estudiamos también problemas tipo Ramsey en el enrejado. Dado un conjunto de puntos en el enrejado de dimensión d, Z^d, decimos que el conjunto admite una partición de Radón si podemos partir el conjunto en 2 partes de tal manera que las envolventes convexas de ambas partes se intersectan en un punto del enrejado. Nos interesa resolver este problema para dimensión 3. Por último, estudiamos las gráficas llamadas amibas locales que tienen ciertas propiedades algebraicas determinadas por reemplazos de aristas que mantienen la estructura de la gráfica. Nos interesa determinar el mínimo número de reemplazos de aristas que es necesario para demostrar que la gráfica es amiba local.