Mi objetivo en esta charla es presentar algunas de las integrales que surgieron en la primera mitad del siglo XX y subrayar algunas de las semejanzas y diferencias que hay entre ellas.

Hermann Weyl, en A Half-Century of Mathematics escrito en 1951, pretende dar cuenta de las matemáticas en lo que iba del siglo y sobre la teoría de la integral y de la medida de Lebesgue, señala que:

“I must mention the, in all probability final, form given to the idea of integration by Lebesgue at the beginning of our century. […] Before Lebesgue one first defined the integral for continuous functions; the notion of measure was secondary; it required transition from continuous to such discontinuous functions as $\chi(P)$. Lebesgue goes the opposite and perhaps more natural way: for him measure comes first and the integral second.”

Existen más de cien integrales hasta la fecha, por lo que el comentario de Weyl sobre la forma final de la integral parece bastante estricto. En esta charla compararé dos integrales en particular: la integral de Denjoy y la integral de Daniell y mencionaré algunos puntos generales sobre lo que se considera una integral debe cumplir para poder ser llamada como tal.

En esta charla comenzaremos presentando un problema combinatorio sobre matrices binarias cuadradas llamado “el problema de las matrices de Erikson". Dicho problema ejemplifica un resultado típico en la Teoría de Ramsey. Exploraremos variaciones naturales del problema, en donde buscamos probar la existencia de cuadrados de suma cero en lugar de cuadrados constantes. En el camino, aprovecharemos para presentar las filosofías detrás de la teoría de Ramsey y de la teoría de Ramsey de suma cero, enfatizando sus diferencias y similitudes. Finalmente, esbozaremos la prueba del siguiente teorema: si n es lo suficientemente grande, cada matriz de nxn con entradas en {-1,1} donde la diferencia entre el número de 1s y el número de -1s está acotada contiene un cuadrado de suma cero (también llamado balanceado) excepto para un tipo particular de matrices. Este es un trabajo conjunto con Edgardo Roldán-Pensado y Alma Arévalo.

El propósito de la plática es explicar, omitiendo los detalles técnicos y a grandes razgos, de que trata la conjetura "optimista" de Lekili y Polishchuk sobre categorías de Fukaya asociadas a superficies. Nos enfocaremos en el aspecto algebraico de la conjetura, en particular en la relación entre dichas categorías de Fukaya y la teoría de representaciones de álgebras, así como en ejemplos concretos.

The classification of finite simple groups, achieved in the eighties, is one of the most spectacular achievements in mathematics, combining the efforts of hundreds of researchers. Its proof amounts to roughly 15,000 pages. Current revisions of this result aim to bring back to less than 10,000 pages the proof of this amazing result. Simple groups play in group theory the role of prime numbers in number theory. They are the building blocks of groups as the primes are the building blocks of numbers.

The classification gives 18 infinite families and 26 groups that are called sporadics, the largest one being the Monster or Friendly Giant, a group of order 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000, roughly 8x 10^{53}.

Geometric interpretations of the finite simple groups have been discovered over decades and Jacques Tits' theory of buildings is so far the most unified geometric way of seeing these groups. Only the alternating and the sporadic groups are not covered by Tits' theory.

In this talk, we will focus on polyhedra and polytopes. These very natural geometric objects have been studied for millennia. The most famous ones are probably the five platonic solids, competing with the truncated icosahedron, also known as the buckminsterfullerene.

We will introduce polytopes in an abstract way. We will then focus on two classes of polytopes. Those that have maximum level of symmetry (the regular ones) and those that have all rotational symmetries but no mirror symmetries (the chiral ones).

We will then make the link between these objects and special sets of generators of groups. A regular polytope has an automorphism group generated by involutions. This group is a smooth quotient of a Coxeter group. Similary a chiral polytope has a group generated by elements (not necessarilyinvolutions) and therefore these geometric objects can be classified using their automorphism group.

The finite simple groups that can appear as automorphism groups of regular polytopes have been classified. We will talk briefly about that classification. In the chiral case, this classification is not complete yet. We will explain where we stand nowadays.

The talk will be accessible to a large audience. We do not intend to enter into technical details.

El estudio de estilos musicales usando métodos matemáticos permite proporcionar herramientas en la resolución de diversos problemas musicológicos y cognitivos. Discutiremos, entre otros temas:

•Esclarecimiento de autorías de obras musicales.

•Proponer cronologías en la composiciones de un mismo autor.

•Determinar la cercanía estilística de diferentes reconstrucciones de piezas incompletas.

Para ello tomamos ejemplos que van desde la música inglesa renacentista hasta la música del siglo XX.

En esta platica se presentan algunos resultados sobre la existencia de soluciones periódicas conocidas como coreografías y trenzas del problema de n-cuerpos. En particular explicaremos como obtener trenzas a partir de una configuración central no-degenerada. La idea principal es reemplazar un cuerpo en una configuración central de n cuerpos por un par de cuerpos que giran uniformemente alrededor de su centro de masa.

Una familia importante de flujos en una variedad compacta de dimensión 3 son los flujos de Reeb. Estos han sido extensamente estudiados en los últimos 30 años, se sabe por ejemplo que siempre tienen órbitas periódicas e incluso dos. En la charla presentaré resultados recientes para conjuntos densos de flujos de Reeb sobre el numéro de órbitas periódicas y las secciones de Birkhoff.

En modelos termodinámicos finitos, el principio variacional finitario garantiza la existencia y unicidad de los estados de equilibrio, de las medidas de Gibbs que pueden ser simuladas con algoritmos como dinámica de Glauber, la cual es un tipo de simulación Monte Carlo de cadenas de Markov. Bajo esta premisa y como prueba de concepto, en esta charla presentaremos al “Escalascopio”, una aplicación equipada con un poderoso motor de búsqueda termodinámica. Para describir su construcción intrínseca, nos sumergiremos en universos de composiciones y particiones de enteros y sus funciones generadoras, de sistemas dinámicos simbólicos y de partículas junto con sus potenciales de interacción definidos en base a las propiedades musicales de las escalas.

Los modelos cosmológicos permiten estimar de manera teórica la edad del Universo y así poder contrastar con las observaciones astronómicas para inferir cierta información del Universo. Uno de los modelos más sencillos es el Einstein-de Sitter ya que, la geometría plana del espacio-tiempo, el hecho de no considerar efectos relativistas (constante cosmológica Λ = 0) y la métrica Friedmann-Robertson-Walker en la que se basa, facilitan los cálculos matemáticos para su deducción. Según este modelo, bajo la hipótesis de que no hay presión ejerciéndose sobre el Universo y que este está constituido solo de materia bariónica, se infiere que la edad del Universo, medida desde la ocurrencia del Big-Bang hasta nuestros días, es de 9,67 mil millones de años. Sin embargo, dicha medición no concuerda con la edad que estimó el satélite Planck en 2015, misma que es el referente cosmológico actual. Por lo que, para ajustar ambas estimaciones, se modificó la densidad de materia bariónica y se obtuvo una constante de Hubble H0 = 47.242 km/s/Mpc, misma que no concuerda con el valor más actual estimado en 2018 (H0 = 64,0 km/s/Mpc). De modo que al introducir una constante cosmológica (Λ 0) en las ecuaciones de Friedmann se deduce un nuevo modelo cosmológico: el modelo Einstein-de Sitter Modificado, con el que se obtiene una estimación de 13,98 mil millones de años para la edad del Universo y que resulta compatible con los valores publicados por Planck Collaboration en 2015

La integral de Young (de una función con respecto a otra) se puede introducir de diferentes maneras. En esta plática estudiaremos tres enfoques para definirla. A saber,usaremos la idea original de Young para

tratar con funciones de p-variación finita, el método algebraico dado por Gubinelli y la definición de integral considerada por Zähle mediante el cálculo fraccionario.