Un grupo se dice localmente indicable si todos sus subgrupos finitamente generados no triviales admiten algún morfismo no nulo a los enteros. En las últimas décadas el estudio de estos grupos ha adquirido una gran relevancia en áreas como dinámica de grupos, por su relación con los grupos ordenables a izquierda, y en topología, por su relación con problemas de asfericidad. Es sabido que los grupos de nudos son localmente indicables (esto fue probado por Howie a principios de la década del 80) pero el problema permanece abierto para una clase más general de grupos, que son los grupos de LOTs (árboles orientados y etiquetados). Estos grupos admiten presentaciones tipo Wirtinger (que generalizan a las presentaciones de Wirtinger de los nudos clásicos) y aparecen naturalmente al estudiar los grupos fundamentales de ciertas variedades de dimensión 4.

Contaré algunos de los problemas relacionados con estos grupos y su relación con la conjetura de asfericidad de Whitehead y mostraré algunos resultados que obtuvimos recientemente en colaboración con Agustín Barreto, sobre la indicabilidad local de grupos que admiten presentaciones con la homología del círculo.

Un grupo se dice localmente indicable si todos sus subgrupos finitamente generados no triviales admiten algún morfismo no nulo a los enteros. En las últimas décadas el estudio de estos grupos ha adquirido una gran relevancia en áreas como dinámica de grupos, por su relación con los grupos ordenables a izquierda, y en topología, por su relación con problemas de asfericidad. Es sabido que los grupos de nudos son localmente indicables (esto fue probado por Howie a principios de la década del 80) pero el problema permanece abierto para una clase más general de grupos, que son los grupos de LOTs (árboles orientados y etiquetados). Estos grupos admiten presentaciones tipo Wirtinger (que generalizan a las presentaciones de Wirtinger de los nudos clásicos) y aparecen naturalmente al estudiar los grupos fundamentales de ciertas variedades de dimensión 4.

Contaré algunos de los problemas relacionados con estos grupos y su relación con la conjetura de asfericidad de Whitehead y mostraré algunos resultados que obtuvimos recientemente en colaboración con Agustín Barreto, sobre la indicabilidad local de grupos que admiten presentaciones con la homología del círculo.

La teoría de Morse discreta es una teoría combinatoria que permite simplificar la estructura de un CW-complejo (regular) módulo equivalencia homotópica, en términos de las celdas críticas de funciones de Morse definidas sobre el complejo. En esta charla, presentaré un refinamiento de esta teoría que garantiza no solo una equivalencia homotópica, sino también una equivalencia homotópica simple (vía colapsos y expansiones combinatorias), con una descripción explícita de la reducción. Este resultado da el marco teórico adecuado para el estudio de distintos problemas en teoría combinatoria de grupos y análisis topológico de datos. Mostraré una aplicación que permite demostrar que algunos potenciales contraejemplos a la conjetura de Andrews-Curtis cumplen la conjetura. Además, este método también se puede extender a filtraciones de CW-complejos, ofreciendo un algoritmo eficiente para calcular el grupo fundamental persistente de conjuntos de puntos en términos de presentaciones de grupos.

Esta charla está basada en: Fernández, X. "Morse theory for group presentations." Transactions of the AMS (2023, to appear).

En 2021, Burrul, Libedinsky y Plaza demostraron que la conjetura de invarianza era cierta para el caso Ã_2. En su paper, los autores proporcionan una descripción totalmente geométrica para entender los intervalor [x, y] en Ã_2 con el orden de Bruhat. En esta charla mostraré algunos avances usando un enfoque geométrico para la aproximación al problema de clasificación de intervalos de Bruhat, en el caso de grupos de Weyl afines de tipo Ã_2- 

Dada un elemento en el monoide de trenzas positivas, podemos formar un nudo Legendriano tomando la (-1)-cerradura Legendriana de ésta trenza. Asociado a este nudo, tenemos muchos invariantes algebraicos con distintos niveles de sofisticación. Uno de éstos invariantes es la variedad de aumentaciones, que se define como la variedad de homomorfismos del álgebra diferencial graduada de Chekanov-Eliashberg al álgebra diferencial graduada trivial. En la charla, construiremos esta variedad de manera más algebraica, utilizando configuraciones de banderas en C^n. La variedad de aumentaciones tiene propiedades interesantes: es suave, afín y, de manera importante, admite una estructura de conglomerado, definida en trabajo conjunto con Casals, Gorsky, Gorsky, Le y Shen. Definiremos ésta estructura de conglomerado y, si el tiempo lo permite, mencionaremos aplicaciones que van en ambas direcciones: de la teoría de álgebras de conglomerado a la teoría de nudos, y de la teoría de nudos a la de álgebras de conglomerado. 

En un álgebra celular con una familia de elementos de Jucys-Murphy que cumplen una condición de separación, es posible construir de manera abstracta una nueva base ortogonal llamada base seminormal. En esta charla realizaremos una construcción concreta de la base seminormal para el álgebra de Temperley-Lieb como álgebra celular usando herramientas combinatoriales y estudiaremos algunas de sus propiedades para este contexto en el caso semisimple. También estudiaremos lo que sucede en el caso de no cumplirse la condición de separación, esto es, veremos si es posible extender las construcciones previas para el caso no semisimple. 

Sea G(ℓ, 1, n) un grupo de reflexiones complejas, cuyas representaciones irreducibles están indexadas por ℓ-particiones, es decir una sucesión de ℓ particiones con n cajas en total . Sea H(ℓ, n) el álgebra de Hecke afín degenerado de tipo G(ℓ, 1, n) definido en [1], o también llamado álgebra de Hecke graduado generalizado en [2]. El objetivo principal de esta charla es definir los H(ℓ, n)-módulos irreducibles S(λ\µ), para ℓ-particiones λ, µ y mostrar que para cierto subalgebra u de H(ℓ, n) todo H(ℓ, n)-módulo u-diagonalizable puede ser obtenido como uno de estos. Veremos que esta clasificación tiene una aplicación al álgebra de Cherednik racional asociado al grupo G(ℓ, 1, n) ya que esta posee un subálgebra isomorfo a H(ℓ, n) [3].

[1] Ram, A. and Shepler, A.V., Classification of graded Hecke algebras for complex reflection groups, Comentarii Mathematicii Helvetici, Vol. 78, 308-334.

[2] Dezelee, C. Generalized aded Hecke algebra for complex reflection group of type G(r, 1, n).

[3] Fishel, S., Griffeth, S., Manosalva, E. Unitary representations of the Cherednik algebra; V ∗-homology Math.Z. 299 (2021), no. 3-4, 2215-2255.

El mapping class group Mod(S) de una superficie S es el grupo formado por todas las clases de isotopía de los difeomorfismos de S. En este contexto, el problema de realización de Nielsen pregunta cuando un subgrupo finito de Mod(S) puede actuar en la superficie S por difeomorfismos, esto es, si un subgrupo finito de Mod(S) puede ser levantado de manera isomorfa a un subgrupo de Diff(S). Si la superficie es orientable, S. Kerchkoff dio una respuesta afirmativa a este problema. El objetivo principal de esta plática es dar un breve panorama de las soluciones de dicho problema, poniendo énfasis en el caso de superficies no orientables N con k puntos marcados. Adicionalmente y como una aplicación, clasificaremos las clases de conjugación de subgrupos de orden un primo impar p de Mod(N;k).