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Del 8 de enero al 7 de febrero de 2024
Aspectos geométricos y algebraicos de la teoría de Yang-Mills
Sergio Holguín, Juan Torres y Kenett Martínez
La teoría de Yang-Mills fue inicialmente desarrollada durante la segunda mitad del siglo XX en el marco de la física teórica. Aún cuando el interés inicial en el desarrollo de la misma, fue obtener una descripción precisa de tres (de las cuatro) ``interacciones fundamentales'' en la naturaleza, rápidamente fue descubierto por físicos y matemáticos que dicha teoría tenía múltiples intersecciones con la geometría, la topología y el álgebra. Lo cual derivó en un desarrollo paralelo de la teoría de Yang-Mills en matemáticas. El propósito principal de este proyecto es estudiar con algún detalle algunos aspectos geométricos y algebraicos básicos de dicha teoría.
La teoría de bordismo es una teoría clásica de topología algebraica que clasifica variedades hasta por una cierta relación de equivalencia. Podemos entender que dos variedades son ‘bordantes’ si podemos pasar continuamente de una a otra utilizando sólo un grado de libertad adicional a la dimensión de la variedad. El máximo éxito de esta teoría es el Teorema de Thom, el cual da una solución al problema geométrico de la clasificación de variedades hasta bordismo, mediante un procedimiento homotópico. Dicha solución encuentra una estructura algebraica que tiene toda la estructura de todas las variedades con todas las dimensiones hasta por la relación de bordismo. Nos enfocaremos en la generalización de dicho problema para variedades con acciones de grupos (finitos) donde nos preguntamos lo mismo: cuando una acción sobre una variedad es bordante? lo que significa es que continuamente podemos pasar a otra variedad conservando de cierta forma la acción. En particular tomaremos el caso de tres variedades con acciones libres y buscaremos un invariante que clasifique cuando podemos desvanecer la acción a la variedad vacía utilizando acciones posiblemente con puntos fijos.
Cubrientes ramificados de superficies
Bruno A. Cisneros de la Cruz, Nestor Colín Hernández, Leidy Johanna González Cely
En matemáticas y en topología en particular, uno de los principales problemas es el de clasificación, ya sea de superficies, de cubrientes o bien de grupos actuando en determinadas supeficies. En este proyecto buscaremos estudiar los cubrientes ramificados y algunas herramientas para resolver algunas preguntas, tales como: el problema de Hurwitz, caracterizar acciones de grupos en superficies y relacionar todo esto con los grupos modulares de superficies. Todo esto, promoviendo la integración de los estudiantes en la investigación de topología en dimensiones bajas y teoría geométrica de grupos.
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El objetivo de este proyecto es dar un panorama general del Análisis topológico de datos y particularmente de la homología persistente. Veremos propiedades de ésta y entenderemos cómo encaja dicha área en el proceso del análisis de datos. Como proyecto final, las y los estudiantes presentarán un trabajo donde desarrollen algunas generalizaciones de los conceptos estudiados, o bien, donde analicen algún conjunto particular de datos con las técnicas vistas.
Representación de espacios cuánticos sobre espacios de Hilbert
Fredy Díaz García
En la formulación matemática de la mecánica cuántica es importante conocer las representaciones de ciertas *-algebras sobre espacios de Hilbert. En la versión q-deformada de la mecánica cuántica, los grupos cuánticos han sido los objetos de interés. En este pequeño proyecto se propone dar una introducción a las representaciones "bien-comportadas" sobre espacios de Hilbert de algunos espacios cuánticos, estos últimos siendo *-álgebras dadas por generadores y relaciones. Más específicamente, nos enfocaremos en el plano complejo cuántico O(C_q), R^3 cuántico O(R^3_q), la esfera cuántica estándar O(S^2_q) y el grupo cuántico O(SU_q(2)).
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