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Curso: Luis Paris - Universidad de la Borgoña, Dijon, Francia
Conferencista 1: Jesús Rodríguez - CIMATConferencista 2: Guillaume Gandolfi - Universidad de CaenConferencista 3: Alejandra Trujillo - CIMATConferencista 4: Christian Hidber - CCM Conferencista 5: Johanna González - IMATE OaxacaConferencista 6: Miguel Alejandro Xicoténcatl - CINVESTAV
Estudiante 1: Alfredo Eduardo Flores Serrano - IMATE Juriquilla Estudiante 2: Leydi Guadalupe Hernández López - IMATE Oaxaca Estudiante 3: José Ángel Frías García Mario - IMATE México Estudiante 4: Anayeli Tomás Álvarez - CCM Estudiante 5: Iván Genaro Salinas Pacheco - IMATE Oaxaca Estudiante 6: Nestor Colín Hernández - CINVESTAV Estudiante 7: Joan Carlos Segura Aguilar - IMATE Juriquilla
Curso: Grupos modulares de superficies no orientables
Luis Paris - Universidad de la Borgoña, Dijon, Francia
En esta clase adoptaremos la definición siguiente. Sea M una superficie, esta puede ser orientable o no, puede tener borde o no, y no es necesariamente conexa. Denotemos Homeo(M) el grupo de homeomorfismos de M. Dotamos a Homeo(M) de la topología llamada ``topología compacto-abierta'' (que explicaremos). Entonces la componentes conexas de Homeo(M) forman un grupo llamado el mapping class grupo de M, denotado por Mod(M).
El tema central de este curso es el estudio de Mod(M), principalmente con M conexa y no orientable. El curso esta destinado a no expertos del tema. Dedicaremos la primera mitad a preliminares sobre la topología de las superficies y la relación de isotopía entre curvas. Dedicaremos la segunda mitad a un resultado clave del tema: la clasificación de Nielsen-Thurston de los elementos de Mod(M). Al final mostraremos algunas consecuencias de esta clasificación en particular en las que se refieren a los automofísmos de Mod(M).
Conferencias
La universalidad en estructuras de contacto
Jesús Rodríguez - Centro de Investigación en Matemáticas, Guanajuato, México
En esta plática revisaremos la prueba de Roger Casals y John B. Etnyre sobre la existencia de un enlace transversal Universal. Su resultado es una extensión a la universalidad topológica de 3-variedades
Vassiliev invariants and Birman’s conjecture
Guillaume Gandolfi
Vassiliev invariants is a certain class of invariants of knots and braids whose connection with singular knots and singular braids has been established by Birman.
On one hand, the braid groups are known to be Artin-Tits groups and on the other hand, they are also subgroups of virtual braid groups, the braided counterpart of virtual knots introduced by Kauffman. Recently, a notion of singularity have been defined for both the Artin groups (by Corran) and the virtual braid groups (by Caprau, De la Pena and McGahan), which led naturally to the extension of the notion of Vassiliev invariants for these groups.
In this talk, I will explain how the theory of Vassiliev invariants is defined for classical braid groups, virtual braid groups and Artin groups and show that they are connected through a family of particular subgroups of virtual braid groups.
Dimensión virtualmente cíclica del grupo modular de la esfera con puntos marcados
Alejandra Trujillo - Centro de Ciencias Matemáticas, Morelia, México
Sea G un grupo. Una familia de espacios clasificantes EVCG para la familia de subgrupos virtualmente cíclicos de G aparecen en la Conjetura de Farrell-Jones acerca de la K-teoría algebraica de anillos de grupos. Por ello es siempre deseable tener modelos para EVCG con buenas propiedades geométricas, una de ellas es la dimensión. El mínimo número natural, d, para el cual existe un modelo d-dimension para EVCG es llamado la dimensión virtualmente cíclica de G.
En esta charla veremos cotas para la dimensión virtualmente cíclica del grupo modular de la esfera con n puntos marcados, en particular calcularemos la dimensión virtualmente cíclica para n igual a 5 o 6.
La cohomología del grupo modular de la botella de Klein con puntos marcados
Christian Hidber Cruz - Centro de Ciencias Matemáticas, Morelia, México
En está plática calcularemos la cohomología de BDiff(K), el espacio clasificante del grupo de difeomorfismos de la botella de Klein K, más aún demostraremos que BDiff(K) tiene el tipo de homotopía de BZ_2 x BO(2). Finalmente, usando el resultado anterior, calcularemos la cohomología mod 2 del grupo modular de K con p puntos marcados.
Cubrientes ramificados de la esfera en la esfera: mosaicos y árboles vs constelaciones y trenzas
Johanna Leidy González Cely - Instituto de Matemáticas de la UNAM, Oaxaca
Los cubrientes ramificados de la esfera en la esfera pueden ser identificados topológicamente de dos maneras: flexible y rígida. La equivalencia rígida está dada por un diagrama triangular conmutativo, mientras que la flexible está dada por un diagrama cuadrado conmutativo.
La equivalencia rígida se reduce a clasificar mosaicos tipo ajedrez y árboles asociados a ellos (W. Thurston resolvió el caso genérico). Por otro lado, estudiar la equivalencia flexible se reduce a estudiar la acción del grupo de trenzas en el espacio de constelaciones y pasaportes.
En esta charla presentaremos los conceptos descritos anteriormente y del conteo de clases de equivalencias flexibles y rígidas.
Formas modulares y cohomología de espacios clasificantes
Miguel Alejandro Xicoténcatl Merino - Centro de Investigación y Estudios Avanzados del IPN
Las formas modulares aparecen en geometría hiperbólica, en la teoría de curvas elípticas, así como en la solución de problemas elementales en teoría de números. Por otro lado, la cohomología de grupos se introduce en topología algebraica en conexión con la cohomología de los espacios clasificantes BG de grupos (discretos) G. Uno de tales grupos es el “mapping class group” o grupo modular de una superficie de género g, cuya cohomología se usa para clasificar a los haces fibrados con fibra tal superficie. En el caso g=1 en que la superficie es el toro T, las clases características están dadas por la cohomología de BDiff+(T), el espacio clasificante de los difeomorfismos de T que preservan orientación. Sorprendentemente, la cohomología racional de dicho espacio está dada en términos del anillo de formas modulares.
EXPOSICIÓN DE ESTUDIANTES
Teorema de Lickorish-Wallace.
Leydi Guadalupe Hernández López - UABJO - IM UNAM Oaxaca
El teorema de Lickorish-Lickorish Wallace me dice que los enlaces y las variedades de dimesión 3 están relacionadas por medio de 1-cirugias y veremos cuales son los resultados principales para dar una idea de la demostración de este teorema.
La conjetura de Neuwirth para algunos nudos satélites.
José Ángel Frías García - IM UNAM CDMX
La conjetura de Neuwirth establece que para cualquier nudo no trivial K en la 3-esfera, existe una superficie cerrada S que contiene a K como una curva no separante y tal que la intersección de S con el exterior del nudo es incompresible y frontera-incompresible. Presentamos una demostración de la conjetura para una familia de nudos satélites con patrón de enlace racional.
Cohomología de Farrell de Grupos Modulares.
Nestor Colín Hernández - CINVESTAV CDMX
Describiremos los métodos de Y. Xia y Q. Lu para determinar la cohomología de Farrell del grupo modular de una superficie orientable de género g con y sin puntos marcados. Por brevedad, nos concentrarémos en el caso particular en que g = (p-1)/2. Mencionaremos también como adaptar estos resultados a superficies no orientables.
(co)Homología de Khovanov, los beneficios de complicar las cosas.
Alfredo Eduardo Flores Serrano
Resumen: Veremos la construcción de la (co)Homología de Khovanov, un potente y novedoso invariante de nudos y enlaces obtenido a partir de la "categorificación" del polinomio de Jones.
Mostraremos algunas de sus propiedades básicas y aplicaciones.
El número de tránsito de un nudo
Joan Carlos Segura Aguilar
En esta plática definiremos un nuevo invariante de nudos, el cual llamaremos "el número de tránsito de un nudo". Lo compararemos con dos invariantes muy conocidos en el área como lo son el número de desanudamiento y el número de túnel de un nudo. De igual forma veremos como se comporta este invariante respecto a la suma conexa de nudos.
Rigidez Topológica del Grafo de Schmutz.
Anayeli Tomás Alvarez
El Grafo de Schmutz G(S) de una superficie es un grafo simplicial asignado a una superficie S, cuyos vértices son curvas no separadoras de una superficie S y dos curvas no separadoras forman una arista si se intersecan una vez, este objeto fue descubierto por Schmutz, quien probó que cualquier automorfismo (simplicial) de G(S) está inducido por un homeomorfismo de S. En esta charla, respondemos la pregunta siguiente: Dadas dos superficies S y S', y un morfismo de grafos f de G(S) a G(S'), ¿qué condiciones son suficientes para que f esté inducido por un homeomorfismo?
Problema de la palabra en grupos de Artin-Tits de tipo esférico
Iván Genaro Salinas Pacheco - IM UNAM Oaxaca
Los grupos de Artin-Tits son extensiones de grupos de Coxeter. En particular, los grupos de Coxeter finitos son grupos generados por reflexiones y los grupos de Artin-Tits asociados se dicen de tipo esférico. Daremos una solución al problema de la palabra en los grupos de Artin-Tits de tipo esférico estudiando la acción de su grupo de Coxeter asociado sobre un espacio vectorial real.
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