La Topología Algebraica es el  área de las matemáticas que estudia espacios “topológicos” mediante invariantes algebraicos. Entre ellos podemos encontrar las componentes conexas, la característica de Euler, el grupo fundamental, la homología, entre otros. El análisis topológico de datos (TDA) utiliza técnicas de la teoría de computación para ver cuales de estos invariantes pueden ser implementados de manera computacional. La Homología Persistente es el método más popular para estudiar las nubes de datos y les asocia de manera inteligente una estructura triangular de la cual podemos extraer características que persisten a través del tiempo y que nos dan información importante de la nube de datos. TDA está experimentando avances significativos desde el advenimiento de las inteligencias artificiales como ChatGPT, Geminis, DeepSeek. Estas AI son excelentes en la generación y depuración de código además de sus capacidades de análisis de datos complejos y acceso a información en tiempo real. El objetivo del taller será implementación de proyectos de TDA teórico y práctico utilizando la ayuda de estas AIs para programar en Python y SageMath. 

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Este proyecto explora la “geometría moderada”, acorde a la visión propuesta a inicios de los años 70 del siglo pasado por Alexander Grothendieck en su manuscrito Esquisse d’un programme. Entre las metas de este enfoque se encuentra estudiar objetos geométricos “bien comportados”, evitando fenómenos patológicos (como las curvas de Peano), con el propósito de obtener resultados de finitud en áreas y contextos muy diversos. Nos adentraremos particularmente en las estructuras o-minimales; una generalización natural de los conjuntos semi-algebraicos (definidos por igualdades y desigualdades de polinomios en conjuntos euclidianos) y los conjuntos semi y sub-analíticos (que podrían entenderse como una versión local de los anteriores), los cuales surgen en áreas como el análisis real (y complejo), la teoría de números, y las ecuaciones diferenciales, por mencionar algunas instancias.

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En este proyecto exploraremos las propiedades fundamentales de los grupos de Coxeter de tipo finito y euclidiano, pensados como grupos lineales, y a partir de sus interpretación geométrica revisaremos su relación con sus grupos de Artin asociados.

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El presente proyecto tiene como objetivo introducir a las y los estudiantes a la teoría de Bass–Serre desde una perspectiva topológica, y a algunas aplicaciones de la misma. Esta teoría establece una conexión fundamental entre las propiedades (algebraicas) de un grupo y sus acciones en  árboles (un objeto geométrico).

Al finalizar, los participantes podrán presentar sus resultados a través de una ponencia, un escrito o un póster, lo que les permitira desarrollar sus habilidades tanto matemáticas como de comunicación científica.

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En el presente proyecto se propone guiar a los estudiantes involucrados sobre la construcción de operadores de tipo Dirac satisfaciendo ciertas condiciones y usando técnicas puramente algebraicas y de teoría de representación del  álgebra de Lie $\mathfrak{sl}2$, la cual es muy manejable para hacer cálculos explícitos. Principalmente, se planea usar argumentos combinatorios y de álgebra lineal para abordar las condiciones impuestas al operador de Dirac.

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