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Grupos y Geometría: acciones, dimensión y dualidad
Porfirio L. León Álvarez (porfirio.leon@im.unam.mx), Néstor Colin (ncolin@im.unam.mx) y Rita Jiménez Rolland (rita@im.unam.mx).
Uno de los problemas principales en matemáticas es la clasificación de objetos (espacios vectoriales, grupos, superficies, etc.) bajo ciertas relaciones de equivalencia. En particular, en teoría de grupos, nos interesa clasificar los grupos hasta isomorfismo. Sin embargo, este es un problema extremadamente difícil y, en muchos casos, inabordable.
Para simplificar este estudio, la teoría geométrica de grupos ofrece una herramienta poderosa: clasificar los grupos hasta cuasi-isometría (C.I.), lo cual es un tipo de equivalencia que preserva las propiedades geométricas a gran escala. Esta aproximación se basa en el análisis de cómo los grupos actúan sobre espacios métricos. En lugar de trabajar únicamente con propiedades algebraicas, estudiamos cómo los grupos “se comportan” geométricamente al actuar en estos espacios, buscando así deducir propiedades algebraicas del grupo a partir de su acción.
El presente proyecto tiene como objetivo introducir a los estudiantes en alguno de los siguientes temas clave de la teoría geométrica de grupos:
1. Teoría de Bass-Serre
2. El teorema de Švarc–Milnor
3. Dimensión asintótica
4. Grupos de dualidad
Al finalizar, los participantes podrán presentar sus resultados a través de un ensayo o un póster, lo que les permitirá desarrollar sus habilidades tanto matemáticas como de comunicación científica.
Los geómetras algebraicos estudian los conjuntos solución de colecciones finitas de ecuaciones polinomiales. A menudo, el objetivo es entender las propiedades básicas de estos conjuntos tales como conexidad, suavidad, dimensión, etc. Los ejemplos más comunes e importantes de estos conjuntos están dados por soluciones de colecciones finitas de ecuaciones lineales. En este caso, muchas de las preguntas centrales sobre estos conjuntos se contestan de manera elemental en un curso de álgebra lineal.
Cuando uno analiza los conjuntos solución de ecuaciones de grado más alto, la situación cambia drásticamente. Dichos conjuntos pueden no tener una estructura como la de espacio vectorial o de grupo. A diferencia del caso lineal, pueden tener varias componentes conexas y su dimensión puede ser difícil de estimar. El estudio de estos conjuntos concentra la mayor parte de la investigación en geometría algebraica y serán nuestros objetos de estudio de este proyecto.
El objetivo de este proyecto es brindar una inmersión a la investigación en geometría algebraica. Los estudiantes involucrados en este proyecto se integrarán durante 3 semanas al grupo de investigación en geometría algebraica de Oaxaca: estudiarán un tema selecto del área, asistirán y participarán en el seminario del grupo y discutirán matemáticas regularmente con los demás miembros de él.
Una meta del proyecto es que los estudiantes tengan una idea de lo que es hacer investigación en esta área de las matemáticas.
Mediante de la noción categórica de topos, se abre la puerta al estudio sintético de espacios generalizados a partir de sus relaciones funcionales y no a partir de sus elementos. En este nivel de generalización se puede razonar internamente de una manera afín a la de los intuicionistas. En estas categorías se tienen prácticamente todas las construcciones válidas en la teoría de conjuntos basada en la axiomática de Zermelo Fraenkel, con la salvedad de que no es universalmente válido el principio del tercero excluido (y por lo tanto tampoco lo es el axioma de elección).
El propósito de este proyecto es el de desarrollar la intuición necesaria para trabajar en estos topos. En particular, como ejemplo se analizará la interpretación de las nociones elementales de conexidad, discretez y de homotopía. Para ello se trabajará intuitivamente en las nociones de topos y de demostración constructiva.
A partir del interés de les estudiantes, se trabajará en la presentación de exposiciones de subtemas seleccionados, así como la posibilidad de realizar artículos de divulgación. ́
Un Conglomerado de Álgebra, Combinatoria, Geometría y Topología
Lara Bossinger (lara@im.unam.mx) y Alfredo Nájera Chávez (najera@im.unam.mx).
Las álgebras de conglomerado (también llamadas álgebras cluster) son estructuras algebraicas, con un gran sabor combinatorio, definidas en el año 2000. Estos objetos se han vuelto muy populares pues se ha descubierto que juegan un papel relevante en ramas de las matemáticas tan diversas como el álgebra, la geometría, la teoría de números, la topología y la física matemática entre otras. Este proyecto tiene 2 objetivos: por un lado, iniciarse en la teoría de las álgebras de conglomerado y entender sus propiedades fundamentales; por otro lado, entender algunas de las relaciones entre la teoría de las álgebras de conglomerado con la combinatoria, la geometría, la teoría de representaciones y la topología. A continuación describimos 4 líneas de investigación que las y los estudiantes podrán seguir:
1. Triangulaciones, árboles y carcajes.
2. Teoría de representaciones y el fenómeno de Laurent.
3. Álgebras de conglomerado y superficies trianguladas.
4. La Grassmanniana.
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