Modelo

A ideia básica é encontrar uma curva (simples) que descreva (com uma certa tolerância) um conjunto de dados sobre os casos acumulados (diariamente e/ou semanalmente) de Covid-19. O modelo tem como base a função tangente hiperbólica, uma competição entre exponenciais crescentes e decrescentes, como candidata natural para descrever estas curvas. Uma vez determinada, esta curva fornecerá as taxas de crescimento (rapidez e aceleração) da situação atual dos casos. Os detalhes matemáticos estão descritos no texto Covid19Brasil (o texto Covid19 mostra uma análise similar para alguns países em todas as regiões). Este modelo produziu quatro conjecturas e um conjunto de recomendações, descritas abaixo. A estratégia consiste em usar casos de Covid-19 de países que conseguiram estabilizar/controlar o processo de contaminação para estudar as propriedades da função modelo que possam ser universais, ou seja, que possam ser encontradas também nos casos de Covid-19 em desenvolvimento em outros países. Uma vez estabelecida tais propriedades, poderemos analisar a situação de outros casos, oferecendo mais uma forma de análise, principalmente visual. Importante frisar que estamos usando casos no sentido de casos de contaminação incluindo mortes, curados e ainda infectados.

Exemplo

As figuras abaixo ilustram o uso da função tangente hiperbólica para descrever os casos de Covid-19 na Nova Zelândia. As Figuras 1 e 2 mostram as curvas que descrevem o total de casos (eixo vertical) acumulados diariamente e semanalmente (eixo horizontal), respectivamente. Estas curvas apresentam dois platôs, no início (lado esquerdo, inferior) e no final (lado direito, superior). O platô final indica a estabilização do processo (quando não há mais casos novos). Entre estes platôs fica o ponto de inflexão, meio caminho até à estabilização. Os detalhes mostram o desvio médio quadrático (rms) para as últimas curvas (acúmulos nos últimos dias), uma medida de quão bom foi a obtenção desta curvas (quanto menor o rms, melhor).

Fig. 1: Casos diários.

Z99(n): curva descrevendo os casos acumulados até o dia 99.

Fig. 2: Casos semanais.

Z15(n): curva descrevendo os casos acumulados até a semana 15.

As Figuras 3 e 4 mostram as taxas de crescimento, a rapidez V e a aceleração A, derivadas das curvas anteriores. A rapidez V (ou velocidade) mede a taxa de surgimento de novos casos e é máxima no ponto de inflexão. A aceleração A mede a taxa de variação da rapidez e é nula no ponto de inflexão. Note que até o ponto de inflexão, a aceleração é positiva, ocasionando aumentos gradativos na rapidez. Depois do ponto de inflexão, a aceleração é negativa, ocasionando reduções gradativas na rapidez até atingir a estabilização. Estas taxas de crescimento, portanto, constituem indicativos muito vívidos da situação atual dos casos acumulados. Estas curvas serão ditas completas quando apresentarem os lados esquerdo e direito próximos de zero. Os detalhes mostram o comportamento dos pontos de inflexão para as últimas curvas. Alinhados horizontalmente indicam uma possível estabilização.

Fig. 3: Taxas diárias.

V: velocidade. A: aceleração.

Fig. 4: Taxas semanais.

V: velocidade. A: aceleração.

Curvas

Zn: curva descrevendo os casos acumulados até o dia (ou semana) n.
rms: desvio médio quadrático (quanto menor, melhor a descrição da curva Zn).
V: rapidez, taxa de crescimento da curva Zn.
A: aceleração, taxa de crescimento da rapidez V.
Ponto de inflexão (A=0, V máxima): meio caminho até à estabilização.

Conjecturas

Conjectura 1: convergência monotônica indica uma possível estabilização.

Conjectura 2: diminuição no desvio médio quadrático (rms) indica uma possível estabilização.

Conjectura 3: taxas descritas por curvas completas indicam uma possível estabilização.

Conjectura 4: oscilações nos dados podem indicar a presença de múltiplas ondas de contaminação.

Conjectura 5: pontos de inflexão estáveis (linha horizontal) indica uma possível estabilização.

Recomendações

Como ler as curvas ajustadas aos casos:
- Observe quão distante estão as últimas curvas;
- Observe a intensidade e a frequência das oscilações;
- Observe quantos dias (semanas) restam para uma possível estabilização;
- Observe os desvios médios quadráticos (rms).
Como ler as curvas das taxas de crescimento:
- Observe a intensidade da rapidez (V);
- Observe se a rapidez V atingiu seu máximo ou não;
- Observe o comportamento do ponto de inflexão:
- Observe o sinal da aceleração (A):
  - A>0: a rapidez V está tentando atingir seu máximo;
  - A=0: a rapidez V está no seu valor máximo (ponto de inflexão);
  - A<0: a rapidez V está diminuindo e uma estabilização pode ser visualizada.
- Observe o comportamento do ponto de inflexão:
  - linha horizontal indica uma estabilidade próxima;
  - linha inclinada indica a presença de novos casos.

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