알지오매스로 테셀레이션 만들기(2)

1960년대부터 수학자들은 비주기적 타일링을 연구하기 시작했습니다. 1963년 미국의 수학자 로버트 버거는 20,426가지의 도형을 사용하여 비주기적 타일링이 가능하다는 것을 증명하였습니다. 그러나 이 방법은 너무 많은 도형을 필요로 하여 실용적이지 않았습니다.

1974년 로제 펜로즈는 2개의 도형만을 사용하여 비주기적 타일리을 구현하는 방법을 발견했는데, 이때 사용된 도형은 다음과 같습니다.

비주기적 타일링에서 7가지 패턴을 찾아볼까요?

펜로즈 타일링이 갖고 있는 수학적, 과학적 의미에 대해 알려드리겠습니다.(Claude 3 Opus 대화 결과)

[펜로즈 타일링이 갖는 수학적 의미]

1. 비주기성: 펜로즈 타일링은 평면을 빈틈없이 채우면서도 주기적인 패턴을 갖지 않습니다. 이는 기존의 주기적 타일링과는 다른 새로운 개념을 제시했습니다.

2. 준결정: 펜로즈 타일링은 준결정(quasicrystal)의 2차원 유추입니다. 준결정은 결정과 비결정의 중간 형태로, 장거리 질서는 있지만 병진 대칭성은 없는 구조입니다.

3. 자기유사성: 펜로즈 타일링은 자기유사성(self-similarity)을 보입니다. 즉, 작은 부분을 확대해도 전체 구조와 유사한 패턴이 나타납니다.

4. 골든 비율: 펜로즈 타일링에는 골든 비율(golden ratio)이 내재되어 있습니다. 타일의 크기와 각도가 골든 비율과 관련되어 있어 심미적으로도 매력적입니다.

[펜로즈 타일링이 갖는 과학적 의미]

1. 준결정 물질: 펜로즈 타일링은 준결정 물질의 구조를 이해하는 데 도움을 줍니다. 1984년 준결정이 실제로 발견된 후, 펜로즈 타일링은 이를 설명하는 중요한 모델이 되었습니다.

2. 물리학: 펜로즈 타일링은 양자 역학, 통계 역학 등 다양한 물리학 분야에서 연구되고 있습니다. 예를 들어, 펜로즈 타일링을 이용해 양자 시스템의 에너지 준위를 모델링하는 연구가 진행되었습니다.

3. 재료 과학: 펜로즈 타일링의 구조는 새로운 물질 설계에 영감을 줍니다. 준결정 물질은 특이한 전기적, 열적, 기계적 성질을 가지고 있어 다양한 응용 가능성이 있습니다.

4. 컴퓨터 그래픽: 펜로즈 타일링은 컴퓨터 그래픽에서 비주기적 텍스처를 생성하는 데 사용됩니다. 이는 자연스러운 패턴을 만드는 데 유용합니다.

펜로즈 타일링은 수학과 과학 분야에서 중요한 개념으로 자리 잡았습니다. 비주기성, 자기유사성, 준결정 등 새로운 아이디어를 제시하며 다양한 분야에 영향을 주었습니다. 앞으로도 펜로즈 타일링은 수학, 물리학, 재료 과학 등에서 활발히 연구될 것으로 기대됩니다.