Tämä sivusto sisältää Juha Virtasen materiaalit Stadin ammattiopiston matemaattisten aineiden opetukseen. Painotus on sähkölinjalla.  Tästä loputtoman viihdyttävästä ja ajattelun ovia avaavasta kokonaisuudesa käsittelemme ensimmäisenä joitakin matematiikan peruskäsitteitä ja lainalaisuuksia. 

  1. Palopuhe ja pari olennaista käsitettä

 Ensinnäkin käsitteet vastaluku ja käänteisluku,

• Luvun a vastaluku on -a

 Tästä johtuen ja määritelmästä seuraa, että 

 Luvun 5 vastaluku on -5 ja luvun 2z/b vastaluku on -2z/b

• Luvun a käänteisluku on 1/a

  Tästä johtuen ja määritelmästä seuraa, että 

 Luvun 5 käänteisluku on 1/5=0,2 ja luvun 2z/b käänteisluku on b/(2z)

 Nämä käsitteet tuntuvat kenties yhdentekevältä matemaaattiselta sillisalaatilta, jonka hallitsemisesta ei ole mainittavaa hyötyä maailmassa.  Ne kuitenkin avaavat ovia mm. peruslaskutoimitusten (Yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskut) ja lukuteorian syvällisempään ymmärtämiseen ja sitä kautta kenties jopa nirvanaan saakka. Lukuteoriaa pohtiessa on toki oltava varovainen, sllä historia on osoittanut, että suurin osa loogikoista (Matematiikan osa-alue, joka pohdiskelee alan perimmäisimpiä kysymyksiä) ajautuu ennemmin tai myöhemmin mielisairaalaan.

 Esimerkkinä vastaluvun ja käänteisluvun käsitteiden merkityksestä korkeammassa matematiikassa esiintyy käsite kommutointi, joka tarkoittaa hieman yksinkertaistettuna sitä että jokin matemaattinen operaatio voidaan suorittaa kummin päin hyvänsä muuttamatta lausekkeen totuusarvoa.  Esim. peruslaskutoimituksista yhteenlaskussa

a+b=b+a 

riippumatta a:n ja b:n numeroarvosta. Esim. 

3+4=4+3=7.

Täten peruslaskutoimituksista yhteenlasku kommutoi

 Vaan miten lie vähennyslaskun laita? Pitääkö paikkansa, että  a-b=b-a eli kommutoiko vähennyslasku? Entä loput peruslaskutoimitukset eli kerto- ja jakolasku?  Arvon Lukijaa pyydetään tässä miettimään asiaa hetki, sillä matematiikassa on pohjimmiltaan kyse aivotreenistä. Aivan samoin kuin salitreenissä raaka totuus on, että työ on tehtävä itse jotta tuloksia ilmenisi. 

 Edelleen salianalogiaan viitaten matematiikan arvoa elämässä miettiessä on hyvä käsittää seuraava tosiasia:

 Matematiikan hallitseminen on kuin penkkipunnerrus. Se ei ole taito josta olisi itsessään käytännössä minkäänlaista hyötyä vaan hyöty tulee saavutetun lihasmassan/päättelykyvyn soveltamisesta muihin elämäntilanteisiin. Tämä ei toki tarkoita etteivätkö penkkipunnerrus tai matematiikan pohtiminen voisi olla itsessään ERINOMAISTA, joskin usein tuskallista  toimintaa. Mutta kuten kliseinen ja tässäkin yhteydessä harvinaisen paikkansapitävä sananlasku kuuluu:

   No pain. No gain.

  Tai matemaattisesti ilmaistuna

  Pain=Gain

  MIkäli tällä palopuheella oli minkäänlaista tehoa tekstin lukija lie jo päätynyt seuraavaan tulokseen:

Yhteenlasku ja kertolasku kommutoivat, vähennys- ja jakolasku eivät. Huomaa kuitenkin, että vähennyslasku ja jakolasku tuottavat käännettyinä operaatioina jo tutut käsitteet:

• a-b=c ja b-a=-c, joten käännettynä vähennyslasku tuottaa operaation alkuperäisen vastauksen vastaluvun

• a/b=c ja b/a=1/c joten käännettynä operaationa jakolasku tuottaa alkuperäisen vastauksen käänteisluvun

 Sattuuko aivoon? Tykittääkö ohimossa? Hyvä. 

 2. Aksioomat

Matematiikan rakenne on kumulatiivinen, eli koko kaikki rakentuu tiettyjen usein itsestäänselvien peruslainalaisuuksien päälle. Näitä peruslakeja kutsutaan aksioomiksi. Algebrassa, jota pidemmälle amismatikassa ei sanottavasti edetä vallitsee mm. seuraavanlaisia aksioomia:

 i) a(b+c)=ab+ac 

Kirjaimilla kaavoja kirjoitettaessa kertomerkkiä ei useinmiten merkitä. Tämä siis tarkoittaa a kertaa b:n ja c:n summa on yhtä suuri kuin a kertaa b plus a kertaa c.

 Esim. 3*(4+2)=3*4+3*2=18

 Ihminen tai abstraktiin ajatteluun kykenevä muu olento saattaa tässä vaiheessa miettiä että mitä helvetin iloa tästäkin on, sillä sulut voi aina laskea ensin. Vaan kun ei. 

 Esim. polynomissa 2(3x+4) sulkuja ei voi laskea ensin, sillä emme tiedä mikä x on. Yhtälönratkaisussa tulee kuitenkin HYVIN usein vastaan tilanteita jossa mikään ei etene ellei yhtälöä kykene sieventämään muotoon 2(3x+4)=6x + 8.

ii) a + 0=a

 Nolla on nykyisin käytössä olevassa arabialaisessa lukujärjestelmässä niin tavallinen käsite, että harvoin tulee ajatelleeksi kuinka omituinen luvuksi se oikeastaan on. Nolla kun ei ole mitään ja jos johonkin lisätään ei mitään eli ei lisätä mitään niin silloin sen jonkin arvo ei luonnollisesti muutu ja

 4+0=4, samoin kuin 4-0=4

eli sama pätee vähennyslaskulle a-0=a.

 Antiikin kreikassa, jonka matematiikkaan omamme suurin osin pohjautuu ei nolla ollut käytössä lainkaan, vaan käytössä olivat vain luonnolliset luvut eli positiiviset kokonaisluvut  1,2,3 jne. Luonnollisia lukuja kutsutaan luonnollisiksi kaiketi siksi, että niillä  on tavallaan selkeät vastineensa tosimaailmassa.  Voi olla 1 kynä, 5 kynää tai 7 kanaa. Voi tietty olla myös 0 kynää ja 0 kanaa, kuten allekirjoittaneella tällä hetkellä onkin, mutta silloinhan tilanne on täysin sama!! Tämä johtaa algebralliseen aksiooman numero 3.

iii) a*0=0

eli

 4*0=0

Yksi peruslaskutoimitus on kuitenkin vielä käsittelemättä, nimittäin jakolasku. Joskin on aika selvää että ei mitään jaettuna millä hyvänsä arvolla on ei mitään eli 0/a=0, niin  a/0 on kieltämättä MELKO ERIKOINEN tapaus. Sillä mitä se voisi tarkoittaa?  Siis jos pitäisi  kontrollittomassa hyvän tahdon puuskassa jakaa satku kahdelle pummille niin tokihan molemmat laitapuolen kulkijat saisivat siitä siloiset 50 €:n setelit kouraansa. Mutta mitä jos pummeja ei ole ensinkään? Kuinka käy satkun? 

Tilanne taitaa silloin olla se, että satku on pidettävä itse. Ja näinhän se on. Ratkaisua laskuun a/0 ei ole olemassa, tai tarkemmin matemaattisesti ilmaistuna sitä ei ole määritelty.

iv) a/0 = Ei määritelty 

Lukujoukkoja voidaan edelleen laajentaa negatiivisilla luvuilla, joilloin päädytään kokonaislukujen joukkoon Z. Luonnollisten lukujen  joukkoa N kutsutaan kokonaislukujen joukon osajoukoksi ,  koska kaikki sen sisältämät luvut kuuluvat myös kokonaislukujen joukkoon.  Negatiivisten lukujen käyttö on nykypäivänä sen verran arkipäiväistynyt, ettei niidenkään syvempää olemusta tule juuri pohdittua. Mutta onhan kyseessä omituinen käsite sinänsä. 

On helppo kuvitella kedolle käyskentelemään 2 lammasta, katse tyhjänä ja ruohoa mussuttaen, mutta mitä tarkoittaisi -2 lammasta kedolla? 2 antilammasta? 

Ilmeisesti antilampaiden täytyisi koostua antimateriasta, sillä 2+(-2)=0, joten lampaat ja antilampaat selvästi annihiloivat toisensa. Fysiikkaa tuntevat voisivat tässä vaiheessa huomauttaa, että massa on energiaa ja energia ei suinkaan häviä materian ja antimaterian annihilaatiossa, joten tulos on kaikkea muuta kuin nolla. Itse asiassa energiaa vapautuisi tässä tapauksessa voimaltaan useaa ydinpommia vastaavan räjähdyksen verran. Mutta kuka nyt fyysikoita kuuntelisi. Vai onko tulkinta lampaineen ja antilampaineen kenties lähtökohtaisesti väärä? Ja onko antilampaankin katse yhtä tyhjä ja ruohonsietokyky samaa luokkaa kuin positiivisilla aisapareillaan? Kuka tietää?

Negatiivisilla luvuilla on pitkä historia, ja kuten niin suuressa osassa matematiikkaa niiden pohja on asiassa joka on kiehtonut ihmismieltä eniten halki vuosisatojen. Eli  rahassa ja tarkemmin ottaen  kirjanpidossa. Velkoja merkittiin 200 EAA Kiinassa negatiivisilla luvuilla, joita kuvasivat mustat palkit positiivisten lukujen ollessa punaisia palkkeja.

Negatiivisiin lukuihin pätevät peruslakutoimitusten kautta seuraavat aksioomat:

v) a+(-b)=a-b

vi) a-(-b)=a+b

vii) a*(-b)=-ab

viii) (-a)*(-b)=ab

Asianlaitaa voidaan ajatella ja perustella monesta näkökulmasta. Eniten hämmästystä herättänevät kuitenkin viimeiset kaksi aksioomaa, eli aksioomat vii) ja viii), joiden mukaan kahden negatiivisen luvun tulo on positiivinen, ja negatiivisen ja positiivisen luvun tulo on negatiivinen.  Sama pätee muuten jakolaskuunkin, mutta väitteen perusteet jäävät edelleen hämärän peittoon. No. Asian hahmottamisessa voi auttaa vanha kunnon tietokonelogiikka.

 Koodikielen totuuslogiikassa positiiviset arvot merkitsevät "kyllä" ja negatiiviset "ei". Siten aksiooma vii) lukisi kielellä ilmaistuna "kyllä ei". Jos vastaus kysymykseen siis kyllä on ei, tulos on varmaankin ei ja siten negatiivinen. Jos sen sijaan vastaus ei ole ei, siis on "ei ei" , kuiten aksioomassa viii) niin pakkohan sen on olla kyllä.    

3. Jokunen ERITTÄIN OLENNAINEN sana eksponenteista

Eksponentit ovat vain tapa kirjoittaa kertolasku, mutta niissä on puolensa.  Ensinnäkin ne ovat lyhyempi tapa kirjoittaa tietyn tyyppisiä, varsin yleisiä kertolaskuja. Onhan selkeästi niin, että  yhtälöissä 34 =3*3*3*3 ja 43 =4*4*4, puhumattakaan 109  = 10*10*10*10*10*10*10*10*10 yhtälön vasen puoli on sekä selkeämpi, että sormille kevyempi versio samasta laskusta.  Erityisesti eksponenttien hallinta on olennaista fysiikassa ja kemiassa ja sitä kautta nykytekniikassa, sillä käsiteltävät luvut ovat usein hyvin suuria tai erittäin pieniä. Esim. pienimmät transistorit ovat nykyisin levydeltään luokkaa 10-8  m = 0,00000001 m ja toisaalta kovalevyjen tilat lasketaan jo terabiteissä (1 Tb=1012 b=1000000000000 b). Ei  vaadi suurta neroutta ymmärtää, että kokoluokan hahmottamiseen ja puhtaasti laskennallisiin toimenpiteisiin eksponenttimerkintä on  selkeämpi ja yksinkertaisesti helpompi tapa ilmaista sama asia. Eksponenteillaon myös tiettyjä ominaisuuksia, jotka helpottavat laskemista huomattavasti ja jotka ovat perusteltavissa suhteellisen yksinkertaisesta perusalgebraa hyödyntäen. Ensinnäkin mille tahansa luvuille a, m ja n pätee seuraava sääntö:

i) am*an =am+n     

 Tarkastellaan tätä lausetta esimerkin avulla. Kun nyt tuli brassailtua lauseiden helposta perusteltavuudestakin.

Esim. 

23*24 =(2*2*2)*(2*2*2*2), eikö?

Koska kyseessä on vain tekijäyhtälö, (eli yhtälö jossa on vain kerto- tai jakolaskuja), sulut voidaan poistaa samantien ja siten

  2*2*2*2*2*2*2=27

 ja lauseke i) selkeästi ja todistetusti pitää kutinsa ainakin tässä tapauksessa. Asiaa hieman puntaroimalla sen kyllä näkee pätevän mille tahansa kokonaisluvuille melko helposti ja Lukijaa pyydetäänkin tässä kokeilemaan sitä myös parissa itsenäisesti valitussa tapauksessa. Tämän tehtyään rohkea Lukija saattaisi jopa yltyä todistaman itsenäisesti seuraavan jatkolausekkeen:

i) am/an =am-n 

 Eksponenttimerkintöjen hämmästyttävimpiin ja useimmiten väärinlaskettuihin muotoihin kuuluu negatiivinen eksponentti. Siis muoto  a-m  Sillä mItä tämä voisi tarkoittaa? Kymmenen vuoden opetuskokemuksella voin sanoa, että laskuun 3-2  80% kokeen tekijöistä raapustaa vastaukseksi -9, joka on kertakaikkisen väärä , joskin näennäisesti jotenkuten looginen vastaus. Lukijan on syytä olla kuulumatta tuohon hölmöyksiin taipuvaiseen joukkoon esim. ajattelemalla seuraavaa logiikkaa;

Kuten jo todistettu  am*an =am+n    ja toisaalta kuten ensimmäisessä luvussa todettiin a+(-b)=a-b. Nämä kaksi yhdessä johtavat siihen, että  am*a-n =am+(-n)  = am-n

Right?

Eli esim.  25*2-3 =25+(-3)=25-3=22

Correct? Näin täytyy olla, tai muuten jo todistamamme aksioomat eivät pitäisi paikkaansa tässä tapauksessa ja niidenhän ON PIDETTÄVÄ PAIKKANSA, olivat luvut a, b, m ja n mitkä hyvänsä,

No mutta. Koska 25 =2*2*2*2*2 ja toisaalta 22 =2*2, nyt täytyy siis olla, että kakkosista kolmea häviää johonkin kerrottaessa luvulla 2-3

2*2*2*2*2*2-3 =2*2

Yhtälön ratkaisuksi käy siten

x=2-3  = 1/(2*2*2)

Ja mikäli Lukija vaivautuu koittamaan samaa logiikkaa parille muulle arvolle jotuu hän toteamaan, että kaikille luvuille täytyy päteä seuraava negtaiivisen eksponentin määritelmä, jotta aksiooma i) pitäisi paikkansa:

 ii) a-m =1/am

Erityisesti luvun kymmenen tapauksessahan tämä on hyvinkin mielenkiintoista, jopa käyttökelposta, sillä sehän tarkoittaa suoraan, että 10-m =1/10m =ykkönen, jonka edessä on m nollaa. Esim.  10-5= 0,00001.

Tässä vaiheessa aivoepistolaa ja käyttäen tismalleen samaa logiikkaketjua kuin negatiivisten eksponenttien tapauksessa lukija voi nyt todentaa itselleen myös seuraavat ekponentteihin liittyvät aksioomat:

iii) a0 =1

iv)  a1 =a

 sekä, noudattaen oikeastaan aksiooman i) todistuksessa käytettyä logiikkaa:

 v) an*bn =(ab)n 

 vi) an/bn =(a/b)n

Linkkejä:

https://www.youtube.com/watch?v=_TW6iswaCOI

  1 Basics

Ensimmäisen asteen yhtälöllä tarkoitetaan yhtälöä, jossa on vain yksi tuntematon (Useinmiten x), eikä lainkaan tuntemattoman eksponentteja. Esim.

2x+1=4x-3

     on ensimmäisen asteen yhtälö. Yhtälö

5x6 + 3x2=24

sen sijaan on kuudennen asteen yhtälö, sillä suurin siinä esiintyvä eksponentti on arvoltaan 6.

Ensimmäisen asteen yhtälön ratkaisu perustuu menetelmiin, joilla voidaan operoida molemmille puolille yhtäsuuruusmerkkiä ja joita käytetään järjestelmällisesti kunnes toisella puolella on jäljellä enää x. Olennaista on ymmärtää, että lähes kaikkia mahdollisia operaatioita voidaan käyttää muuttamatta yhtälön totuusarvoa, kunhan operaatio tehdään MOLEMMILLE PUOLILLE. Nyt loppupeleissä esim. Yhtälö

(3x+2)/4x=4

sanoo vain että oikealla puolella oleva lauseke saa saman arvon kuin vasemmalla puolella oleva eli arvon 4. Yksinkertaistettuna lauseke voitaisiin siis kirjoittaa:

4=4

Kun tehdään jokin operaatio molemmille puolille yhtälöä merkitään oikealle puolelle  kaksi vierekkäistä viivaa, II. Siten merkintä

4=4 II +2

tarkoittaa että molemmille puolille yhtälöä lisätään numero 2. Koska lisääminen tehdään molemmille puolille yhtälö asettuu muotoon 

6=6 

eli totuusarvo säilyy

Totuusarvo säilyy myös muissa peruslaskutoimituksissa, kunhan ne vain tehdään molemmille puolille

6=6 II -3

3=3 II *3

9=9 II / 2

4,5=4,5 

2 Details

Ratkaistaan ensin joitakin perustapauksia. Maailman varmasti yleisin tapaus on tekijäyhtälö 

  ax=b

jossa a ja b ovat mitä tahansa lukuja. Se, että kirjoitetaan kaksi kirjainta peräkkäin, kuten vasemmalla puolella ax tarkoittaa a kertaa x. Kertomerkkiä ei yleensä kirjoiteta, sillä fyysikot ja matemaatikot kuuluvat ihmiskunnan laiskempaan populaation osaan. Tämän muotoisia yhtälöitä ovat esim.

4x=8

6x=42

 9,345=2,7x

 Kertolasku on laskutoimituksena helppo käsiteltävä sillä se ns. kommutoi. Tämä kuulostaa  ubermonimutkaiselta matemaattiselta siansaksalta, mutta kyseessä on harvinaisen yksinkertainen laskutoimituksen ominaisuus. Jos laskutoimitus kommutoi se voidaan suorittaa missä järjestyksessä hyvänsä. Koska

3*4=4*3 

kertolasku siis kommutoi.  Nyt siis

ax=xa

ja siten yhtälöt 

x*5=98

ja 

5x=98  ovat oikeasti sama yhtälö ja ratkaistaan samalla tavalla. Nimittäin seuraavalla tavalla:

5x=98 II :5 

5x/5=98/5

Numerot 5 kumoutuvat vasemmalta puolelta ja sinne jää vain x. Tänmähän oli tismalleen mitä mitä haettiinkin. Niinpä

x=98/5=19,6

Yleisemmin olivat a ja b mitä tahansa reaalilukuja

ax=b II:a => x=b/a

ja KAIKKI ax=b muotoiset yhtälöt on samantien ratkaistu. Samoin keinoin toinen kommutoiva operaatio eli yhteenlasku voidaan ratkaista seuraaasti:

a+x=b II-a

 a-a+x=b+a

x=b-a

Ja KAIKKI a+x=b muotoiset yhtälöt on ratkaistu. 

Miinuslasku ei sensijaan kommutoi, koska 4-2=2, mutta 2-4=-2. Nämä ovat toistensa vastalukuja, mutta samoja lukuja ne eivät missään tapauksessa ole.   On kehitettävä kaksi eri ratkaisukaavaa:

i) x-a=b II +a

 x-a+a=x=b+a

ii) a-x=b II-a

   -x=b-a II:(-1)

 x=-(b-a)=a-b

Myöskään jakolasku ei kommutoi, sillä 2/4=0,5 ei ole sama luku kuin 4/2=2, vaikkakin vastaukset ovat toistensa käänteislukuja. Eli kaavoja on taas kehitettävä kaksi kpl

i) x/a=b II * a

x=ab

ii) a/x=b II*x

a=bx II:b

a/b=x

 Voidaan todeta, että näillä kaavoilla pötkii jo aika pitkälle ja suuri osa sähköalan laskuista on jo tehtävissä, mutta saattaa tilanne toki olla monimutkaisempikin. Logiikka ei tosin toki muutu mihinkään mutta operaatioita on tehtävä useampia.

Esimerkkejä:

2x+4=5x-2 II+2

2x+6=5x II -2x

6=3x II :3

2=x 

(3x+2)/2x=5 II*2x

3x+2=10x II-3x

2=7x II:7

x=2/7

Linkkejä:

http://www.aivoapina.fi/opi/ensimmaisen-asteen-yhtalo/

https://opetus.tv/ylakoulu/matematiikka/yhtalot-1/ensimmaisen-asteen-yhtalo/

http://www02.oph.fi/etalukio/opiskelumodulit/manmath/yhtalot/yht1/yht1.html

1. Toisen asteen yhtälö

 Yhtälöistä puhuttaessa toisen asteen yhtälö tarkoittaa siis yhtälöä, jossa korkein eksponentti on 2.

Esim. 

x2 + 3x=4

 3x2 =0

Yhtälön ratkaisujen määrä riippuu sen asteesta varsin yksinkertaisella tavalla. Ensimmäisen asteen yhtälöllä on yksi ratkaisu, toisen asteen yhtälöllä on kaksi ratkaisua, kolmannen kolme jne. Siten yhtälöllä 

  3x2 =12 

on kaksi ratkaisua (Nimittäin 2 ja -2)

Kun taas yhtälöllä

x7 + 3x=4

ratkaisuja on peräti 7 kpl. 

Ratkaisut voivat kuitenkin olla imaginäärilukuja, joita ei ammattiopisto- tai edes lukiomatikassa käsitellä ja eräissä erityistapauksissa ratkaisua ei ensimmäisen asteen yhtälöillekään ole lainkaan.  Erittäin ikäväksi asian tekee myös se, että  varsinaisia ratkaisukaavoja korkeampien asteiden yhtälöille ei ole olemassakaan. Toisen asteen yhtälö on kuitenkin vielä kiva ja miellyttävä yhtälö, sillä sen saa aina saatettua muotoon  ax2 + bx + c=0  ja sen jälkeen se voidaan aina ratkaista ratkaisukaavalla:

 Niinkuin näkyy ratkaisukaava ei ole aivan simppelein mahdollinen, vaikka toki sen käyttäminen on vain numeroiden istuttamista pakoilleen. Useinmiten tilanne on kuitenkin myös toisen asteen yhtälöiden kanssa yksinkertaisempi, sillä kaikkia termejä a, b, c ei välttämättä yhtälössä ole tai matemaattisesti ilmaistuna niiden arvo saattaa olla 0. Tällöin laskeminen helpottuu huomattavasti. Tarkastellaan ensin tilannetta kun 

1. b=0, eli yhtälö on muotoa ax2 + c =0  

Nyt ensimmäisen asteen x-termiä ei ole eksynyt mukaan sotkemaan asioita ja laskut voidaan ratkaista aivan kuten ensimmäisen asteen yhtälöt. Kunhan loppuun muistetaan ottaa neliöjuuri ja lätkäistä myös negatiivinen ratkaisu mukaan. 

Esim.

 3x2 =42 II :3 

x2 =16

x=+-√16=+4 tai -4

5x2 - 180 = 0 II +180

5x2 = 180 II :5

x2 = 36

x=+-√36=+6 tai -6

2. c=0, eli yhtälö on muotoa ax2 + bx=0 

Sinänsä ei ehkä tunnu erityisen helpottavalta, että yhtälön ainoasta x:ttömästä termistä on nyt päästy eroon. Tämä kuitenkin sallii monenlaisen kikkailun, sillä x:llä jakaminen ei nyt tuota murtolukua. Lisäksi voidaan heti todeta, että toinen ratkaisuista on väistämättä tämäntyyppisessä yhtälössä 0.                                                                                                           Toisen ratkaisun löytämiseksi voidaan todeta että 

ab=0 

vain siinä tapauksessa että jompikumpi tekijä, a tai b on nolla. Matemaattisesti asia ilmaistaisiin näin:

ab= 0  <=> a=0 v b=0 

Nyt mikä tahansa yhtälö 

 ax2 + bx=0 

voidaan hajoittaa tekijöihin

x(ax+b)=0

ja edellisen nojalla täytyy olla, että joko x=0 tai ax+b=0. Koska lisäksi on tiedossa että ratkaisuja on korkeintaan kaksi täytyy toisen ratkaisuista olla yhtälön 

ax+b=0 

ratkaisu.

Esim.

3x2 + 6x=0 

x(3x+6)=0

x=0 tai 3x+6=0

3x+6=0 II-6

3x=-6 II:3

x = -2 

Eli x=-2 tai x=0

3. Täydellinen toisen asteen yhtälö ax2 + bx + c=0 

Sellainenkin ikävä päivä on kuitenkin väistämättä edessä, että vastaan tulee täydellinen toisen asteen yhtälö. Silloin ei auta muu kuin käyttää koko ratkaisukaavaa ja toivoa parasta.

Esim.

3x2 + 6x - 2=0 

x= (-6 + - √(36-4*3*(-2)))/(2*3)=

(-6+-√60)/6

x= -6 + √60/6 tai -6 -√60/6

Joka olisi ns. oikea vastaus matemaattisesti, koska kyseiset arvot ovat irrationaalilukuja, eikä niitä voida loppumattomine desimaaleineen tuon paremmin tarkasti määritellä. Käytännön töissä kuitenkin tarvitaan useinmiten pyöristetty arvo,  tässä tapauksessa esim.:

x= -6 + 1,3 tai -6 - 1,3

x= -7.3  tai  x= -4,7

Linkkejä:

• https://www.youtube.com/watch?v=3il-NiSoxBI

• https://www.youtube.com/watch?v=qReDTLlaPEo

• https://fi.wikipedia.org/wiki/Toisen_asteen_yht%C3%A4l%C3%B6

2. Yhtälöpari

Maailmassa ei ole kertakaikkiaan mitään syytä olettaa, että tuntemattomia suureita olisi yhtälöissä vain yhtä laatua. Päinvastoin esim. virtapiirilaskuissa törmää tuon tuostakin tilanteeseen, jossa tuntemattomia on useampia. Useimmiten tuntemattomia nimetään kirjaimilla x,y,z... Jälleen matematiikka osoittaa pohjimmaisen yksinkertaisuutensa, sillä mikäli yhtälön tuntemattomille halutaan yksiselitteiset ratkaisut tuntemattomien määrä sanelee tarvittavien yhtälöiden määrän. Lisäksi yhtälöt eivät saa olla toisistaan ns. lineaarisesti riippuvaisia. Mitä tämä tarkoittaa? No. tarkastellaan yhtälöä:

2x+4y=14

Mahdollisiksi ratkaisuiksi kelpaisivat esim. x=1, y=3 tai x=5, y=1. Itse asiassa kiinnitetään jommalle kummalle tuntemattomista x tai y mikä tahansa arvo niin myös toiselle määräytyy välittömästi arvo.  Siten ratkaisuja yhtälölle on olemassa ääretön määrä.  

Olkoon x=6, silloin

12+4y=14 II-12

4y=2 II:4

y=2/4=1/2=0,5

Tai

Olkoon y=5, silloin

2x+20=14 II-20

2x=-6 II:2

x=-6/2=-3

Tilanne on vaillinainen ja ärsyttävä. Se ei myöskään yhtään parane mikäli peliin lisätään yhtälö, joka on itse asiassa samainen yhtälö, mutta kerrottuna jollain vakiolla. Tätä tarkoitetaan linaarisella riippuvuudella. Eli yhtälöparilla

2x+4y=14

4x+8y=28

On edelleen samat ääretön määrä ratkaisuja. Kuten ensimmäisen asteen yhtälöiden yhteydessä todettiin, vakiolla kertominen ei muuta yhtälötä tai sen ratkaisuja miksikään. Mutta kuinkas on laita jos lisätään toinen yhtälö, joka EI ole lineaarisesti riippuvainen ensimmäisestä?

2x+4y=14

5x-y=2

Nyt maailma on järjestyksessä ja x voi saada tasan arvon 1 ja y arvon 3. Muut ratkaisut on likvidioitu toisen yhtälön toimesta. Sama pätee myös laajemmassa merkityksessä eli yhtälön tuntemattomien määrän kasvaessa. Mikäli ensimmäinen yhtälö olisi 2x+5y-z=8 yksiselitteiseen yhtälönratkaisuun tarvittaisiin kolme toisistaan lineaarisesti riippumatonta yhtälöä. Perus- ja ammattikoulussa ei kuitenkaan käsitellä kuin kahden tuntemattoman yhtälöitä, joita kutsutaan hieman harhaanjohtavasti yhtälöpareiksi.

Yhtälöparien ratkaisu perustuu aivan samoihin menetelmiin kuin ensimmäisen asteen yhtälöidenkin. Vaikka tuntemattomia onkin nyt kaksin kappalein, yhtälöitä voidaan edelleen manipuloida tekemällä sama peruslaskutoimitus molemmille puolille yhtälöä.  Olkoon

3x+2y=13

5x-4y=7

Nyt täytyy huomioida, että ylempi yhtälö toteaa, että molemmilla puolet yhtälöstä saavat arvon 13. Jos siis haluamme plussata luvun 13 molemmille puolille alempaa yhtälöä:

5x-4y=7 II +13

Voimme mainiosti käyttää lukua 13 oikealle puolelle ja yhtälömuotoa 3x+2y vasemmalle puolelle. Tämä johtaa tulokseen:

5x-4y+3x+2y=7 + 13  <=>   8x-2y=20

Näppärää muttei järin hyödyllistä, sillä tälläkin yhtälöllä on äärettömän monta ratkaisua. On kuitenkin AINA mahdollista kehittää kerroin joka hävitää joka x:n tai y:n yhtälöstä niiden yhdistyessä kokonaan,- Tällöin jäljelle jää yksinkertainen ja ennenkaikkea yksiselitteinen ensimmäisen asteen yhtälö. Tässä tapauksessa jos ylempi yhtälö kerrotaan kahdella;

3x+2y=13  II *2

5x-4y=7

6x+4y=26

5x-4y=7

Ja kun yhtälöt sitten yhdistetään:

11x= 33 II:11

x=3

Nyt x:llä on arvo ja y:n ratkaisu vaatii enää x:n arvon sijoittamista jompaan kumpaan yhtälöön. Valitaan yhtälöparin ylempi osapuoli, joka muokkautuu nyt ratkaistavaan muotoon:

9+2y=13 II-9

2y=4 II:2

y=2

Proseduuri vaikuttaa monimutkaiselta ja ikävältä, mihinkäänhän siitä ei pääse. Mutta ei kukaan ole sanonut että elämän kuuluisi olla erityisen kivaa.  Otetaan vielä esimerkki ja kehitetään samantien kaava, jolla ensimmäisen vaiheen voi aina ratkaista.

3x+5y=28 

5x+4y=38

Nyt yhtä kerrointa x:n tai y:n suhteen ei näyttäisi olevan olemassakaan, mutta  mitä jos kerromme molemmat yhtälöt? Olisiko olemassa ratkaisu, joka pätisi aina? Tätä varten on helpointa jälleen käyttää kirjaimia, sillä nehän voivat symbolisoida mitä lukuja tahansa. Yleisesti ottaen mikä tahansa yhtälöpari voidaan esittää muodossa:

a1x +b1y=c1

a2x +b2y=c2

No tuota, millä kertoimella saisimme esim. luvut  a1 ja a2  väistämättä kumoamaan toisensa kun ne lasketaan yhteen?Olisiko ideaa tehdä niistä toistensa vastalukuja? Silloinhan ne kumoutuvat väistämättä. Tämä temppu voidaan tehdä seuraavasti: Kerrotaan ylempi yhtälö a2 :lla ja alempi   -a1 :llä, eli  a1:n vastaluvulla.

a1x +b1y=c1 II*a2

a2x +b2y=c2 II*(-a1 )

a1a2x +b1a2y=c1 a2

-a2a1x -b2a1y=-c2a1

Tarkkana nyt!! Älä anna kirjainryteikön hämärtää kirkasta logiikkaa, joka eteesi aukeaa. Nyt termit 

a1a2x ja -a2a1x 

OVAT toistensa vastalukuja ja kumoutuvat pois. Jäljelle jää:

 b1a2y-b2a1y=c1 a2-c2a1

joka sekavasta ulkomuodostaan huolimatta on vain yksinkertainen ensimmäisen asteen yhtälö. Ennen kaikkea meillä on nyt analyyttinen ja aina pätevä ratkaisukaava johon vain lätkiä arvoja y:n selvittämiseksi. Katsotaan proseduuri kuitenkin vielä numeroyhtälön tapauksessa, jos se olisi sitä kautta helpommin ymmärrettävissä

3x+5y=28  II*5

5x+4y=38 II*(-3)

15x+25y=140

-15x-12y=-114

13y=26 II:13

y=2

Miraclous!! Marvelous!! Yhtälöpari on nyt käytännössä ratkaistu, sillä jäljellä on enää y:n sijoittaminen jompaan kumpaan yhtälöistä. Valitaan vaikka ylempi 

3x+5y=28

Koska y=2 niin

3x+10=28 II-10

3x=18 II:3

x=6

  Ja yhtälöpari ratkaistu

Linkkejä:

• http://materiaalit.internetix.fi/fi/opintojaksot/5luonnontieteet/matematiikkal/mb6/yhtalopari/yhtalopari

• https://opetus.tv/maa/maa1/yhtaloparit/

• http://www02.oph.fi/etalukio/opiskelumodulit/manmath/keryht/yhtrala/yhtrala.html

Matemattisesti ajateltuna geometrian tehtävät ovat toki vain sarja ratkaisuaan odottavia yhtälöitä,. Eli teknisesti mitään uutta jo esitetyn ulkopuolelta  ei tarvita, paitsi tietenkin itse kaavat. Jotkut geometrian kaavoista ovat kuitenkin sen verran helposti perusteltavissa, että niitä on hyvä tarkastella hieman tarkemmin. Lähdetään liikkeelle yksinkertaisimmasta mahdollisesta muodosta, nimittäin suorakulmiosta. Kuten yleisesti tiedossa ja helpohkosti perusteltavissa, suorakulmion pinta-ala voidaan määritellä :

A=a*b

Miksi näin on?  

Koska dimensio. 

Sivut a ja b on syytä ilmaista jossain pituuden mittayksikössä, koska ne mittaavat tai mallintavat objektin ulottuvuuksia reaalimaailmassa, Olkoon se tässä pituuden virallinen SI-yksikkö metri. Nyt molemmat sivut voidaan aina jakaa tietyksi määräksi dimension yksiköitä, eli metrejä, joka taas muodostaa suorakulmion päälle ruudukon, josta neliömetrit ovat selkeästi laskettavissa.  Esim. tässä ab=5m*3m=15 m^2  

Olemme nyt kaksiulotteisen geometrian ytimessä. Suorakulmio on kaksi-ulotteinen kappale, tai oikeammin sellaisen malli. Tilanne on erikoinen sikäli, että kaksiulotteisia kappaleita ei kolmiulotteisessa maailmassa voi mitenkään olla oikeasti olemassa. Vaikka suorakulmio piirrettäisiin kuinka ohuelle paperille hyvänsä tai projisoitaisiin ilmaan kuvalla on silti tietty paksuus. Jo itse näkemisen ilmiö fysikaalisena tapahtumana vaatii kolme ulottuvuutta. Silti ihmisen käsityskyvylle kaksiulotteinen mallintaminen tuntuu usein jopa helpommalta kuin kolmiulotteinen. Meillehän aistittavia tilaulottuvuuksia on 3 kpl, mutta tämä ei ole ihan niin ilmiselvää kuin lähtökohtaisesti kenties luulisi. Einsteinin mukaan tilaulottuvuuksia on 4, joista yksi on aika ja säieteorioissa niitä oletetaan olevan peräti 11. Tai välillä 9 ja joskus 13. Säieteoreetikot eivät ole kauhean yksimielisiä tästä osasta teoriaa eivätkä mistään muustakaan. 

Suunnikkaasta taas saadaan suorakulmio leikkaamalla toinen sen päätykolmioista irti ja liimaamalla se toiselle puolelle, joten kaavaa ei tarvitse vaihtaa lainkaan ja A=ah

Puolisuunnikkaaksi kutsutaan nelikulmiota, jonka kaksi vastakkaista sivua ovat keskenään samansuuntaiset.  Sen pinta-ala saadaan kertomalla näiden sivujen pituuksien keskiarvokorkeudella eli A=(a+b)/2*h.  Tämä on toki edelleen perusteltavissa suorakulmion pinta-alan (ja kolmioiden) avulla, mikä jääköön jälleen Lukijan harteille. Huomioi, että neliö, suorakulmio ja suunnikas ovat  tämän määritelmän mukaan vain erityisen symmetrisiä puolisuunnikkaita.

Tässä on hieman turhankin tyylitelty ympyrä. Ympyrän koko geometria on samantien täysin  määritelty kun tiedetään sen säde r, eli matka ympyrän keskipisteestä kehälle. Eli on olemassa vain yhdenlaisia ympyröitä, joilla on tietty säde. Samantien tulee määriteltyä myös ympyrän halkaisija eli D. Kuten kuvasta näkyy D=2r ja D:tä havainnollistaa tässä nyt hamppuköysi.

Nyt kysymys kuuluu kuinka monta kertaa hamppuköysi mahtuu ympyrän kehän ympäri? Tämä on avainajatus joten mitään ei saa jäädä epäselväksi. Siksi on parempi hieman inttää ja ilmaista kysymys parilla eri tapaa. Siis kuinka monta D-pituista köydenpätkää tarvitsen kiertääkseni ympyrän ympäri? Montako köydenpätkää kehälle mahtuu?  Tätä voi myös testata helposti itse esim. narunpätkällä ja paperilla ja kynällä. Vastaus lienee kuitenkin ajattelevalle lukijalle jo ilmiselvä:

Halkaisija D mahtuu kehälle n. 3,14 kertaa eli matemaattisesti ajateltuna kehän pituus eli C=3,14D=Pii*D=Pii*2r. Tai käyttäen formaalimpaa symboliikkaa (ja toista kotimaista): 

Tästä voidaan edelleen johtaa ympyrän pinta-alalle, pallon tilavuudelle ja vaikka mille kaavat, mutta ne vaativat differentiaalilaskentaa joka on valitettavasti tämän kurssin ulottumattomissa. Se on kuitenkin selvä että kaikissa näissä pii on läsnä ja pysyy. Ja se että löydät kyseiset kaavat harjoittelumonisteen kaavakokoelmista. Kaavojen muistamisen tai lunttaamisen ulkopuolella tehtävät kuitenkin ovat ja pysyvät yhtälönratkaisuna. Usein sanallisina sellaisina.  

Esim. 1. Jari Petteri istuskelee tympääntyneenä pyöreän uima-altaan reunalla,  patjalla ilakoivilla tytöillä sensijaan näyttäisi olevan toistaiseksi hauskaa.   Jos  Jari-Petteri päättää oikoa jalkojaan kävelemällä altaan ympäri, esimerkiksi laimentaakseen tyttöjen intoa ns. otsajäätelöllä, kuinka pitkän matkan hän joutuu kulkemaan? Olkoon ympyränmuotoisen altaan pinta-ala 45 m2 ja Jari-Petteri tehköön siis kokonaisen kierroksen saavuttaaksen uhkaavan hahmon lähestyessä paniikinomaisesti  pakoon äyskäröivät tytöt.

No. Kaiken tympeyden seasta olisi nyt syytä kaivaa esiin relevantti informaatio, josta Jari Petterin kävelymatka, eli ympyrän piiri voidaan laskea. Relevantti informaatio näissä koostuu annetuista numeraalisista arvoista, joita tässä tapauksessa on tasan yksi eli 45 m2, joten hämäyksen mahdollisuutta ei ole olemassa. (Joskus tehtäviin on syötetty myös sen kannalta epärelevantteja arvoja, joihin tässä tapauksessa kuuluisi vaikkapa altaan syvyys.) Sitten vain valitaan sopivat kaavat. Nyt ympyrän tapauksessa pinta-ala voidaan laskea kaavasta:

Ja korvaten pii likiarvolla 3,14 päästään yhtälöön

45=3,14x2 

Tämä on varsin simppeli toisen asteen yhtälö, josta voidaan edellä käydyn mukaan ratkaista x:n eli säteen arvoksi (Muista neliöjuuri!!)

x=3,4

Sitten tämä vain tungetaan piirin yhtälöön eli kerrotaan 2 piillä ja saadaan 

X=2*3.14*3.4=21.35

Ja jos halutaan olla vielä täydellisiä lisätään perään oikea yksikkö vastauksen perään, eli

v: 21.35 m

Trigonometriset perusfunktiot sin, cos ja tan on tapana esittää koulun oppimateriaaleissa hiukan harhaanjohtavasti suorakulmaisen kolmion avulla. Vaikkakin funktioita voidaan toki kolmioiden kanssa käyttää, on trigonometristen funktioiden sin x ja cos x määrittelyjoukko (eli luvut jotka voit lausekkeeseen x:n paikalle syöttää) ääretön sekä positiiviseen, että negatiiviseen suuntaan. Tämä ei sovi kolmiotulkinnan kanssa yhteen lainkaan.  Suorakulmaisen, kuten kaikkien muidenkin maailman kolmioiden kulmien summa on näet 180 astetta. Tästä taas väistämättä seuraa, että  terävien kulmien summan täytyy olla 90 astetta. eikä olisi mitään tolkkua puhua esim. 5900 asteen kulmasta kolmiossa. Sellainen voi kuitenkin hyvin olla trigonometriassa olemassa ja syöttämällä laskimeen kyseinen kulma saadaan sinin arvoksi  n. 0.64. 

Mitä sin x ja muut trigonometriset funktiot ns. aikuisten oikeasti sitten tarkoittavat? Parempi lie käydä peruskoulunäkökulma läpi jotta oikea tulkinta olisi helpommin sisäistettävissä. Suorakulmaisen kolmion tapauksessa trigonometriset funktiot voidaan määritellä seuraavasti:

sin (kulma)=Kulman vastakkainen kateetti/hypotenuusa

cos(kulma)=Kulman viereinen kateetti/hypotenuusa

tan(kulma)=Kulman vastakkainen kateetti/kulman viereinen kateetti.

 Alta löytyvän kuvan kolmiossa siten:

Mutta mikä on vektori? No. Puhuttaessa fysikaalisesta maailmasta eikä vain matematiikasta törmäämme usein suureisiin joilla on suuruuden lisäksi suunta. Voidaan sanoa että monetkaan fysikaalisesti merkittävät suureet, kuten nopeus ja voima eivät kertakaikkiaan tule kunnolla määriteltyä jollei niihin liitetä suuntaa. Vektori on siten matemaattinen olio, jolla on tietty suuruus (Tai resulantti) ja joka lisäksi osoittaa johonkin suuntaan. Tekniikan näkökulmasta esim. sähkö- ja magneettikentät ovat tällaisia olioita. Erotuksena näistä fysiikassa oliota, joille ei tarvita suuntaa niiden täydelliseen määrittelyyn kutsutaan skalaareiksi. Tällaisia ovat mm. lämpötila ja massa.

Graafisesti vektorit piirretään nuolina koordinaatistoon. Tällöin nuolen pituus kuvaa sen resultanttia ja suunta tietenkin suuntaa. Komponenttimuodolla tarkoitetaan numeerista ulkoasua, jossa x:n suuntaista projektiota nimetään kirjalimella i ja y_n suuntaista projektiota kirjaimella j. Siten esim. alakuvan vektori A voitaisiiin kirjoittaa myös A=3i+2j, jota kutsutaan vektorin komponenttimuodoksi. On tärkeää huomata, että vektorin lähtöpisteellä ei ole tässä mitään merkitystä. Vektori on matemaattinen olio, joka sisältää informaation tasan sen pituudesta ja suunnasta, ei lähtöpisteestä.    Trigonometrian avulla komponenttimuodosta voidaan kehittää kyllä myös vektorin pituus käyttäen pythagoraan lakia ja lisäksi kulma käyttäen trigonometristen funktioiden käänteisfunktioita arcsin ja arccos. Komponenttimuoto on kuitenkin usein kätevämpi tapa käsitellä vektoreita. 

Edelleen vektoreille voidaan kehittää oma algebransa, ts. määritellä niille yleisimmät laskutoimitukset.

1) Skalaarilla kertominen: Vektori voidaan kertoa/jakaa millä tahansa luvulla yksinkertaisesti kertomalla/jakamalla  komponentit erikseen. Esim. 3 A tuottaisi sitten uuden samansuuntaisen, mutta kolme kertaa pidemmän vektorin 3A=9i+6j .

2) Vektoreita voidaan lisätä toisiinsa/vähentää toisistaan yksinkertaisesti käsittelemällä komponentit erikseen. Olkoon vektori B=4i-j. Nyt A+B= 7i+j ja A-B= -i + 3j. Huomioi samalla, että skalaarin lisääminen vektoriin ei tarkoita mitään.  Esm. A+3 on järjettömän oloinen laskutoimitus, sillä skalaarit ja vektorit elävät omissa avaruuksissaan. Vektoreita voidaan myös kertoa toisillaan kahdellakin eri tavalla, mutta nämä toimenpiteet jäävät tämän kurssin ulkopuolelle. Jos tämän lukija haikailee niiden perään suosittelen jatko-opiskelun harkitsemista.

Talous on siimä mielessä erikoinen käsite että sen substanssi, eli raha, kiinnostaa kaikkia, mutta teoria ei ketään. Paitsi ehkä niitä joille raha kasautuu. Tällä voisi olettaa olevan jonkunlaista korrelaatiota juurikin kyseisen kasautumisen kanssa. 

 Sanomattakin on selvää että asiaa aiheesta riittää useiden koulutusalojen verran, mutta tyydymme tässä selvittämään vain pari peruskäsitettä erityisesti yrittäjän kannalta hyödyllisistä aihepiireistä. Nykyajan mantrahan kuuluu että klassinen palkkatyö jää historiaan ja kaikista tulee yrittäjiä ennemmin tai myöhemmin. 

1. Verot

Suomessa verotusoikeus lepää kolmen erillisen instanssin hartioilla. Nämä ovat valtio, kunta ja kirkko. Jälkimmäistä ei toki tarvitse maksaa mikäli ei kyseisen uskomusjärjestelmän  institutionaaliseen piiriin kuulu. Kirkollisvero ja kunnallisvero ovat varsin simppeleitä laskettavia koska molemmat ovat ns. tasaveroja, eli eivät riipu tuloista. Valtionvero taasen on aidosti progressiivinen, eli riippuu erittäin suurelta osin tuloista.  Efektiivisesti eli käytännössä kunnallisveroon kuitenkin liittyy vähennyksiä, joiden takia esim. pienituloisimmat maksa sitä lainkaan. Emme kuitenkaan huomioi niitä tässä jottei menisi liian monimutkaiseksi. 

Keskimääräinen Vallilasta (tai mistä muualta tahansa) valmistunut sähköasentaja tienaa Suomessa n. 3000 €/kk. Olkoon hänen nimensä vaikka Pentti, kaverien kesken Pena. Käytämme nyt Penan rahat Suomen verotusjärjestelmän läpi ja teemme tilannearvion. Tätä varten tarvitsemme ensin valtion tuloveroasteikon. Kuten alla:

Ansiotulolla taulukossa tarkoitetaan vuosituloa, joka lie siten ensin laskettava:

3000 €/kk*12 kk/vuosi= 36000 €

Tämä osuu taulukon toiseen ansioluokkaan 28700-47300 ylhäältä päin katsottuna. Nyt hölmömpi luulisi että veroprosentti on siten 17,25 % koko roskalle ja Pena maksaisi valtiolle veroa prosenttilaskukaavan mukaan 36000/100*17,25%= 6210 € vuodessa. WRONG!! Hölmömpi ei nyt tule ottaneeksi huomioon mitään taulukossa muuten mainittua. Kuten määritettä "Vero alarajan ylittävästä tulon osasta".  Tämä nimittäin tarkoittaa, että kyseinen 17,25% ei mene koko summasta vaan summasta joka ylittää alarajan 28700. Lasketaan:

(36000-28700)/100*17,25%=1259,25 €

RIGHT!!

Tänäh on kuitenkin vielä lisättävä vero alarajan kohdalla eli 578 €, joka on siis vero jonka Pena maksaisi jos tienaisi TÄSMÄLLEEN 28700 €. Eli lopullinen summa valtiolle on siten:

 1259,25 € + 578 €=1837,25 €

Joka taas kuukausittain tekee

1319,75 €/12 kk=153,10 €

Kuinka onnellinen mies Pena olisikaan jos tässä olisi kaikki. Hänellehän jäisi käteen hulppeat about 2850 € mällättäväksi. Sillä sietäisi hurvitella ja vaikka matkustaa Eurooppaan joka viikonloppu. Vaan kun ei.  Seuraavaksi kunta vaatii omansa. Suomen kuntien ja seurakuntien tuloveroasteikko on mittava PDF, jonka löydät täältä

Pena kuten monet kaltaisensa asukoon Vantaalla ja olkoon osin laiskuudesta ja osin kuolemanpelosta johtuen kirkon jäsen. Taulukosta nähdään siten että kokonaisveroksi muodostuu 19% +1%=20%. Koska kyseessä on tasavero tämä voidaan laskea suoraan kuukausipalkasta:

3000 €/100 * 20%= 600 €.

Oikeassa elämässä tästä menisi vielä eläkemaksuja ja vastaavia 100-200 € riippuen Penan iästä ja siitä kuuluuko hän ammattiliittoon yms. Mutta ei huomioida niitä nyt vaan todetaan, että palkasta käteen jäävä osuus pakollisten verojen jälkeen on n. 2300 €. Tämä tarkoittaisi että suomalainen veroaste keskituloiselle olisi hieman alle 25%. Sehän ei ole kovin paha, eihän? Vaan kun päätelmä on jälleen WRONG! Kun tuloverot on vähennetty ja palkka kahahtanut tilille Pena kävelee kauppaan tuhlaamaan raskaalla työllä hankittua omaisuuttaan. Silloin  kuvioihin astuu ALV eli arvonlisävero.

Suomessa yleinen arvonlisäverokanta on 24%, mutta esim. elintarvikkeisiin ja kulttuuritapahtumiin sovelletaan alennettuja kantoja 14% ja 10%. Jokaisenhan on kuitenkin syötävä ja käytävä silloin tällöin teatterissa.   Riippuen kulutustottumuksista Penan ostoksista ALV:iin menee joka tapauksessa n. 20%, eli tosiasiassa suomalaisen keskituloisen verotusaste on jonkun verran yli 40%.

 Lähes puolet Penan ansioista menee siten heti kättelyssä hänestä riippumattomiin ja hänelle tuntemattomiin kuluihin, joiden jaosta hän ei voi päättää kuin korkeintaan välillisesti äänestämällä samanmielisiä ehdokkaita. Harvemmin etenkään suomalaiset tätä kyseenalaistavat, mutta kyllä kysymys onko tämä oikein tai järkevää tai edes mihin nämä rahat menevät ns. kysymisen arvoinen on. 

ALV-verot ovat yrittäjälle erittäin olennainen osa kirjanpitoa ja myös puhtaasti tulosta. Paha kyllä ALV on myös ehkä maailman enioten väärin laskettu vero ja tämä käy lähes väistämättä juurikin yrittäjän kukkarolle. Kas kun. Sanotaan että Pena on taidoillaan rakentanut oheisen kuvan sähkömööpelin, josta hän haluaa nyt ostajalta 200 €.

1,24x=200

Joka on (toivottavasti) tuttu perusmoutoinen 1. asteen yhtälö ja veroton hinta ratkaistaan siten 200 €/1,24= 161,29 €. Eli ALV:n osuus ei suinkaan ole 48 € vaan 200 €-161,29 €=38.71 €.

Miksi tämä on tärkeää? Minäpä kerron.

Yrittäjänä maksat/vähennät kuukausittain ALV:n verohallinnolle. Kysymyksessä on varsin simppeli proseduuri jossa kirjaudut omaveroon ja ilmoitat verohallinnolle yksinkertaisesti paljonko maksat ALV:ia tai paljonko haluat sitä palautuksena. Yrittäjänähän sinulla on oikeus vähentää yritystoimintaan hankittujen tuotteiden tai palveluiden ALV:t, ts. verohallinto maksaa ne sinulle takaisin. Luultavasti kukaan ei tule missään vaiheessa tarkistamaan ALV-maksujesi oikeutta ja jos maksat jatkuvasti ALV:ia 48 € 38,71 € sijaan olet yksinkertaisesti sanottuna hyvin pian ulkona markkinoilta. Kaputt. Finished. Eli ALV:n oikein laskeminen ei tod. ole mikään sivuseikka vaan yritystoiminnan elinehto. On kuitenkin otettava huomioon, että tänään aloittavista stratup-yrityksistä pystyssä kahden vuoden päästä on enää alle puolet.   Yrittäjyys ei ole riskitöntä missään olosuhteissa. Yrittäjyys on useinmiten uhkapeliä. Siksi se kai onkin niin addiktoivaa.    

2. Joitakin peruskäsitteitä sekä lyhyesti että kaikkea muuta kuin lyhyesti.

Inflaatio-rahan arvon aleneminen. Yleisesti ottaen talouden toimivuuden kannalta pieni inflaatio on aivan bueno ja jopa kannatettava asia, sillä se tekee säästämisen kannattamattomaksi. Onhan selvää että jos tilillä lilluva raha on arvoltaan vähäisempi huomenna kuin tänään ei sitä kannata siellä pitää. 

Talous järjestelmänä taas pyörii parhaiten rahan liikkuessa. Onhan selvää että jos ihmiset pitävät rahojaan säästössä ns. pahan päivän varalle ne eivät kulkeudu talouden toimijoille eli loppupeleissä ihmisille itselleen. Miten niin? No.  

Sanotaan että kuvitteellisessa asuntoyhtiö Ulvila 7:ssä asuu 20 ihmistä ja lisäksi asuntoyhtiön kivijalassa toimii leipomo Hiiva, josta asukkaat ostavat kaiken leipänsä. Seuraa sota, rutto ja kaikinpuolin taloudellinen epävarmuuden aika josta säikähtäneinä Ulvila 7:n asukkaat pistävät patjan väliin säästöön 30% kuukasittaisista tuloistaan. Koska kyseinen 30% on jostain säästettävä ihmiset myös tiputtavat pois  aamiaispöydästään paahtoleivän, joka tiputtaa leipomo Hiivan myyntiä edelleen 30%.

 Nyt on Leipomolla tenkkapoo, sillä kustannuksia olisi myös tiputettava 30%, jotta toiminta voisi jatkua. Yleisesti ottaen suurimpia kulueriä Suomen kaltaisessa yhteiskunnassa ovat mittavat henkilöstökustannukset. Suomalainen firma maksaa työntekijöilleen palkan n. 1,5-kertaisena, sillä eläke- ja vakuutusmaksut ovat varsin tuntuvat. Sanotaan että Leipomossa oli yhteensä 10 työntekijää, joista puolet asui Ulvila 7:ssä.  Helpoin tapa leikata kuluja etenkään kun leivänleipojia ei enää tarvita niin montaa on siis irtisanoa 3 työntekijää, joista kesimäärin 1,5 on Ulvilan omia asukkaita. Heillä on tämän jälkeen säästössä patjan välissä jokunen satanen, mutta tuloja ei enää ole. 

Tilanne on ikävä kaikille osapuolille, koska kaikki osapuolet ovat tavalla tai toisella mukana taloudessa.  

Asuntovastikkeet jäävät entisiltä leipureilta maksamatta, joka korottaa muiden asuntovastikkeita. Heillä ei myöskään ole enää varaa ostaa iltaleipääkään joten leipomon tulot laskevat entisestään ja pidemmällä aikavälillä irtisanomisia on jatkettava tai vuokraa talo-yhtiölle laskettava joka taas nostaa Ulvilan vuokria . Seuraa kenties myös häiriötekijöitä sillä kuten Pelle Miljoona asian ilmaisee "Työttömän päivä on yhtä piinaa, siksipä moni meistä juokin paljon viinaa". Kaikenkaikkiaan tämä johtaa siihen että Ulvilan asunto-osakkeiden hinnat laskevat ja siihen asetetut investoinnit menettävät arvoaan.  Saattaapa käydä jopa niin että toisten asukkaiden patjanvälit rupeavat näyttämään houkuttelevilta etenkin päiväsaikaan kun he ovat töissä ja rikollisuus puhkeaa rehottamaan. 

 Tätä esimerkinomaista spekulaatiota voisi toki jatkaa loputtomiin päätyen yhä suurempiin katastrofeihin. Talous on kuitenkin lähes loputtoman monimutkainen, matemaattisesti ajateltuna kaoottinen systeemi jossa pienet alkuehtojen muutokset voivat aiheuttaa suuria muutoksia tai suuret kuolla omia aikojaan vailla havaittavia seuraamuksia. Eli ennustettavuus on parhaimmillaankin vaikeaa. Voisihan toki nimittäin olla että joku Ulvilan asukkaista omistaa huomattavan määrän patjatehtaan osakkeita tai työttömäksi jäänyt sektio kehittää rahataskullisen patjainnovaation. Joka tapauksessa se on talouden kannalta selvää että rahan on liikuttava tavalla tai toisella ja kaikki vaikuttaa kaikkeen ja kaikkiin. Toisen tappio ei useinkaan ole toisen voitto.

Pieni inflaatio on siis siedettävä asiantila, mutta hyperinflaatio, eli erittäin voimakas inflaatio erittäin tuhoisa asiantila taloudelle. Tätä kirjoittaessa sen kanssa kamppailee mm. Venezuela, jossa vuotuinen inflaatio on 625%. MItä tämä tarkoittaa? 

Harva tietää mutta ns. Euron juusto on hampurilainen, jota ei muualla päin maailmaa tavata. Se lanseerattiin aikoinaan luultavasti siksi että Mäkkäri halusi ajaa Hesburgerin pois markkinoilta päästämällä markkinoille tuotteen joka oli hinnoiteltu niin selkeästi alakanttiin ettei vastapuoli siihen pystyisi vastaamaan. Kuvitellaan kuitenkin että Euron juuston saisi Venezuelassa tänään juurikin yhdellä Eurolla ja tarkkaillaan sen hintakehitystä kymmenen vuoden ajanjaksolla inflaation pysyessä samana. Vuoden päästä Euron juusto kaiketi maksaisi:

1 €/100*625%= 6,25 €.

  Nyt kokenemattomampi kuvittelisi, että kymmenen vuoden päästä se siten maksaisi 10*6,25 €=62,5 €. Huikea hinnanousuhan tuollainenkin toki olisi, mutta ei valitettavasti lähelläkään totuutta. Kas kun kahden vuoden päästä prosentti otetaan uudesta hinnasta eli hinta kahdenkin vuoden päästä olisi jo: 

6,25 €/100*625%=39,06 €

On kertakaikkiaan hyödyllinen harjoitus kehittää tästä yksinkertaisehko korkoa korolle-kaava, joka pätee yleisesti myös esim. pankkitalletuksiin ja menee näin:

A*(%/100)^n=B

Jossa A on alkuarvo, % on vuosittainen prosenttimuutos ja n vuosien määrä. Tällä tavalla Euron juustolle saadaan kymmenen vuoden päähän hinta:

1€*(625/100)^10=90 949 470,18 €

Kuten amerikkalaiset asian ilmaisisivat "That is one expensive ****** burger", jossa sanan ****** voi täyttää valitsemallaan kirosanalla. On melko selvää ettei valtiontalous voi elää tällaisessa tilanteessa kovin kauaa jo pelkästään siksi että seteleitä täytyisi olla koko ajan painamassa uudestaan, koska vanhoilla summilla ei enää tee mitään. Koska kaikki tuotteet maksavat käytännössä jo huomenna enemmän kuin tänään  asiakkaat haluavat ostaa mitä hyvänsä heti kun rahaa käsiinsä saavat eikä myyjien toisaalta kannata myydä mitään koska raha jonka he illalla käteensä saavat on jo menettänyt huomattavan osan arvostaan aamulla. No se hyvä puoli on että säästöjä ei varmasti synny ja raha todella liikkuu. 

Deflaatio-rahan arvon kasvaminen. Yleisesti ottaen huonommaksi taloudelle kuin inflaatio, sillä lisää talletuksia ja siten estää rahan liikkumista.

BKT eli bruttokansantuote-Tietyn maan (Kansan) kotimaisen tuotannon mitta, jota käytetään yleisesti mittaamaan kansojen taloudellista hyvinvointia. Voidaan laskea mm. palkoista ja siten kunkin maan keskipalkka on tietyin rajauksin johdettavista BKT:stä.

Vaihtotase-Kansan kaupankäyntiä ulkomaiden kanssa kuvaava luku on yksinkertainen vähennyslasku, periaatteessa Tulot - menot. Usein puhutaan vaihtotaseen pakkasen puolella olemisesta, jolla tarkoitetaan tilannetta jossa ulkomailta tuotujen hyödykkeiden ja palvelujen  hinta on suurempi kuin sinne vietyjen. Tämä ei tietenkään ole kauhean hyvä asia, sillä siinä vaiheessa valtion menot ylittävät tulot ihan kuin yksilönkin tapauksessa. Ei voi tuhlata enempää kuin tienaa, Suu säppiä myöten ja mitä ikinä vanha kansa keksiikään horista. 

Indeksi-Jatkuva hintavertailu, jonka pohjalta inflaatio lasketaan. Käytännössä vain hieman yksinkertaistaen virkamies kävelee kauppaan ja ostaa saman ostoskorin joka vuosi. Jos vaikka hedelmiä sisältävä ostoskori on kallistunut 10%, hedelmien inflaatio on 10%.   

Tilastot ja niihin liittyvät käsitteet, sivistyneemmältä nimeltään statistiikka lienee matematiikan osa-alueista se johon törmää mediassa useimmin. Harvemmin käsitteiden tarkempaa sisältöä tai  määritelmää tulee kuitenkaan mietittyä. Matematiikan osa-alueista tilastotiede on myös se jolta työllistytään parhaiten ja Helsingin yliopistolla sille on oma laitoskin. On näet vaikea keksiä missä ammatissa lammasfarmarista urheiluvalmentajan kautta pörssimeklariin tilastollisella analyysilla ei olisi käyttöä.

Käsitteet

Jotta tilastollisia käsitteitä voitaisiin havainnollistaa olisi kai hyvä ensin kehittää tilasto. Olkoon se tässä vaikka StadinAO:n matematiikan kurssin arvosanajakauma. TIlastohan ei ole muuta kuin sarja numeroita, joka tässä tapauksessa voisi olla esim. seuraavanlainen:

3,1,0,5,3,2,1,2,2,5

Ei siten kauhean hyvin menestynyt vuosikerta , mutta täysin kelvollinen tilastolliseen analyysiin. Tilasto ei sanottavasti välitä, tilasto vain on. Tässä nimenomaisessa tapauksessa voitaisiin tilastoa kuvata , jopa määritellä  seuraavin käsittein

1. Frekvenssi f voidaan kiinnittää mihin tahansa lukuun ja kertoo yksiselitteisesti montako kyseistä lukuarvoa statistiikassa ilmenee. Koska arvoa 1 on tilastossa 2 kpl 

f1= 2

2. Suhteellinen frekvenssi f% kertoo saman asian, mutta prosentteina. Koska arvoja on yhteensä 10 kpl f1%=20 %

3. Summafrekvenssi f+ kertoo kuinka monta tiettyä arvoa ja sitä alempia arvoja on yhteensä. Koska aineistossa on myös 1 kpl nollaa f1+=3

4. Moodi Mo on aineiston tyyppiarvo eli aineiston tyypillisin arvo. Eli arvo jota aineistossa esiintyy eniten. Tässä aineistossa Mo=2, esiintyyhän arvo 2 kokonaista 3 kertaa.

5. Mediaani Md on järjestetyn aineiston keskimmäinen arvo. Ennen sen laskemista tulisi aineisto siten järjestää. Kas näin:

0,1,1,2,2,2,3,3,5,5

Josta keskimmäiseksi jää 2 kpl arvoa 2. Eli Md=2. Sivumennen sanottuna jos aineistossa on parillinen määrä arvoja, eivätkä 2 sen keskimmäistä arvoa ole samoja mediaani on näiden kahden arvon keskiarvo. 

Toisena sivuhuomautuksena useat tilastollsiet arvot, esim. keskipalkka lasketaan useinmiten mediaanin avulla. Tämä johtuu esim. siitä että aineiston sisäiset vaihtelut eivät pääse vaikuttamaan niin paljoa mediaaniin kuin keskiarvoon. Jos ajatellaan esim. kuukausittaista palkanjakoa  Jorma Ollilan, kolmen siivoojan ja yhden ammattikoulun opettajan kesken se näyttäisi about tältä:

2000 €, 1900 €, 2300 €, 4200 €, 135800 €

6. Keskiarvolla Ka laskettuna  tämä tuottaisi 

(2000+1900+2300+4200+135800)/5=29420 €

 joka kyllä sinänsä lämmittäisi sekä siivoojan että StadinAO:n opettajan sielua, mutta on valitettavan kaukana totuudesta.  Toinen vaihtoehto jonka avulla aineiston epätasaisuus voidaan huomioida on  keskihajonta, tai sen matemaattisesti hieman yksinkertaisempi lähes identtinen kaksonen 

7. Keskipoikkeama

Keskipoikkeama kertoo kuinka paljon aineisto keskimäärin poikkeaa keskiarvosta. Se on siis laskettava keskiarvona itsekin ja vaatii keskiarvon tuekseen. Kyllä, kuulostaa monimutkaiselta, muttei sitä varsinaisesti ole.  Ainakaan liian. Ehkä vähän on.

Nyt varsinaisen aineiston, eli kurssiarvosanojen keskiarvoksi voidaan laskea  (0+2*1+3*2+2*3+2*5)/10=2,4. Poikkema voidaan laskea vähentämällä yksittäinen arvo ja keskiarvo toisistaan ja ottamalla saadun luvun itseisarvo. Vähemmän kapulakielellä tämä tarkoittaa että poikkeama ei voi olla negatiivinen . Siten esim. 0 poikkeaa keskiarvosta 2,4 ja arvo 5 poikkeaa 2,6,. Tästä keskipoikkeama saadaan laskemalla kaikkien arvojen poikkeamat yhteen ja ottamalla niistä keskiarvo seuraavasti:

(2,4+2*1,4+3*0,4+2*0,6+2*2,6)/10=1,28

8. Edelleen hajontaan liittyen puhutaan joukon vaihteluvälistä V. Puhdas vaihteluväli tarkoittaa lukuparia, jotka koostuvat joukon pienimmästä ja suurimmasta arvosta, jotka merkitään usein sulkuihin Tässä esimerkissä vaihteluväli kirjoitettaisiin siten V=(0,5)

9. Viimeisenä ja joltain kantilta ehkä vähäisimpänäkin mainitaan vielä vaihteluvälin pituus. Kuten vektorien kanssa resultanttia eli vektorin pituutta kuvattaessa myös vaihteluvälin pituutta merkitään usein kahdella viivalla symbolin ympärillä, eli tässä tapauksessa I V I. Koska suurin arvo on 5 ja pienin nolla tämä saa nyt arvon I V I=5-0=5.