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TRAGUARDI
L’alunno
Si muove con sicurezza nel calcolo scritto e mentale con i numeri naturali e sa valutare l'opportunità di ricorrere a una calcolatrice (traguardo scuola primaria).
Riesce a risolvere facili problemi in tutti gli ambiti di contenuto, mantenendo il controllo sia sul processo risolutivo, sia sui risultati.
Descrive il procedimento seguito e riconosce strategie di soluzione diverse dalla propria (traguardo scuola primaria)
Ricerca dati per ricavare informazioni e costruisce rappresentazioni (tabelle e grafici).
Ricava informazioni anche da dati rappresentati in tabelle e grafici (traguardo scuola primaria)
Legge e comprende testi che coinvolgono aspetti logici e matematici (traguardo scuola primaria)
Descrive il procedimento seguito e riconosce strategie di soluzione diverse dalla propria (traguardo scuola primaria)
Costruisce ragionamenti formulando ipotesi, sostenendo le proprie idee e confrontandosi con il punto di vista di altri (traguardo scuola primaria)
OBIETTIVI DI APPRENDIMENTO
Eseguire le quattro operazioni, leggere e scrivere numeri naturali e decimali finiti usando la notazione polinomiale e quella scientifica.
Comprendere il significato di elevamento a potenza e le proprietà di tale operazione. Elevare a potenza numeri naturali. Comprendere il significato di radice quadrata come operazione inversa dell’elevamento al quadrato.
Risolvere problemi e modellizzare situazioni diverse.
Descrivere con un’espressione numerica la sequenza di operazioni che fornisce la soluzione di un problema.
Interpretare, costruire e trasformare formule che contengono lettere per esprimere in forma generale relazioni e proprietà.
OBIETTIVI MINIMI
Eseguire le quattro operazioni con i numeri interi.
Leggere e scrivere numeri naturali e decimali finiti usando la notazione polinomiale.
Comprendere il significato di elevamento a potenza e le proprietà di tale operazione. Elevare a potenza numeri naturali
Risolvere problemi e modellizzare situazioni diverse
ATTIVITÀ
Rappresentare il numero con particolare attenzione al valore posizionale delle cifre e al senso dello zero. Rappresentare i numeri sulla retta orientata.
Scoprire, verificare ed utilizzare le principali proprietà delle operazioni aritmetiche.
Eseguire in maniera significativa e corretta le quattro operazioni e l’elevamento a potenza nell’insieme dei numeri naturali anche utilizzando il calcolo mentale. Risolvere espressioni aritmetiche.
Risolvere problemi utilizzando le quattro operazioni. Confrontare problemi simili per ragionare su una classe di problemi.
Introdurre al ragionamento algebrico. Produrre argomentazioni in base alle conoscenze acquisite sui concetti di proprietà e di definizione.
Esprimere il concetto di potenza, calcolare le potenze di 10 ed usarle per esprimere numeri molto grandi e molto piccoli.
Sostenere le proprie convinzioni, portando esempi e controesempi adeguati e utilizzando concatenazioni di affermazioni e accettare di cambiare opinione riconoscendo le conseguenze logiche di una argomentazione corretta
IL PERCORSO
La scoperta dei numero comincia da bambini molto piccoli e viene strutturata alla scuola primaria dove gli studenti apprendono ad operare con essi partendo da contesti reali. Il percorso continua alla scuola secondaria di primo grado dove però, pur partendo sempre da situazioni reali, gli studenti vengono via via guidati alla progressiva astrazione dei concetti e dei processi. In questo percorso sul numero si affrontano nuovamente alcuni concetti fondamentali già affrontati come la scrittura posizionale e polinomiale, le operazioni e le loro proprietà, tuttavia questa volta si richiede un passaggio successivo, sia a livello di formalizzazione che di argomentazione.
Ad ogni passaggio del percorso occorre ancorare le nuove conoscenze a quelle precedentemente acquisite. Queste ultime costituiscono un bagaglio importante che permette al docente di presentare agli studenti i concetti sotto forma di situazioni problematiche che generano domande e discussioni. Alla spiegazione seguita da esercizi svolti utilizzando algoritmi calati dall'alto, si preferisce costruire contesti che possano dare significato ai nuclei tematici affrontati.
Ad esempio le proprietà delle operazioni non vengono presentate come "dogmi" da imparare a memoria e come algoritmi da seguire, ma come deduzioni logiche basate sull'osservazione e sulla sperimentazione. Dall'analisi di casi particolari si procede poi verso la generalizzazione, ed è così nasce l'esigenza di formalizzazione; questo diventa così uno dei tanti momenti che fanno emergere la necessità di possedere un linguaggio specifico condiviso da utilizzare per argomentare in modo efficace quanto dedotto.
Quello dell'argomentazione è forse l'aspetto più innovativo che gli studenti si trovano ad affrontare. In un primo momento essi imparano ad argomentare utilizzando gli esempi e a verbalizzare costrutti logici sequenziali (ad esempio "se è vero questo, all'ora è vero anche quest'altro"), successivamente vengono gradualmente condotti ad una forma di argomentazione che utilizza il linguaggio algebrico, in cui i numeri sono sostituiti dalle lettere e le verbalizzazioni dalle formule.
Trovate tabelle, schede e materiale vario, utile per il recupero di studenti fragili , riguardanti questa Unità Didattica nella cartella al link qui di seguito. Il link è attivo solo se si è effettuata la log in con l'account @donmilani.wikischool.it.
Gli esterni potranno richiedere l'accesso ai materiali tramite e-mail, specificando nome, cognome e scuola di appartenenza
FASE 1
A COSA SERVE LA MATEMATICA? (LABORATORIO)
Si sottopone agli studenti, individualmente o a coppie, la scheda "La matematica per non fare i calcoli". Gli studenti devono risolvere il quesito che si trova nella prima pagina, mentre la seconda pagina servirà successivamente a raccogliere i risultati.
Al termine si analizzano le risposte e viene fatta una discussione sulle strategie utilizzate per svolgere il compito. I principali tipi di strategie usate vengono riportate da ciascun studente sulla seconda pagina della scheda.
Ciò che emerge è che chi conosce la matematica può applicare strategie che gli permettono di svolgere meno calcoli. I concetti che si possono affrontare in questo contesto sono il contare e le operazioni come processi facilitatori.
FASE 2
INSIEMI NUMERICI E SCRITTURA POSIZIONALE
Dopo aver riepilogato le conoscenze acquisite durante la scuola primaria sulla scrittura dei numeri, si procede con una discussione approfondita che include concetti come la distinzione tra numero e cifra, nonché il nome e il valore delle cifre in base alla loro posizione. Vengono proposti esempi pratici in cui si scrivono alcuni numeri usando le parole, chiedendo agli studenti di tradurli sia in cifre che viceversa.
Questi concetti sono generalmente familiari alla maggior parte degli studenti, quindi ci si concentra sulle eventuali difficoltà di comprensione, specialmente per gli studenti con BES, che potrebbero trovare la lettura dei numeri più complessa.
Per agevolare il recupero per coloro che incontrano difficoltà, viene proposta la scheda "Scrivere i Numeri Grandi" (vedi link alla scheda qui a destra).
Si introduce l'insieme dei numeri naturali (N): caratteristiche e ordinamento (crescente e decrescente) sia con la retta dei numeri che con i simboli maggiore e minore. Può essere di aiuto la presentazione qui a lato dove si affrontano questi concetti con difficoltà crescente.
Nel caso in cui gli studenti non conoscano il concetto di "insieme" è utile fare una breve discussione in cui spiegarlo insieme al concetto di sottoinsieme, unione di insiemi e intersezione, senza necessariamente entrare troppo in dettaglio. A tale scopo può essere utile prendere alcune parti del video sugli insiemi inserito qui a lato.
Durante la discussione sugli insiemi numerici diversi da N, si affronta il concetto di "numeri con la virgola" e "numeri senza virgola", introducendo contemporaneamente il concetto di insieme numerico e la sua rappresentazione. Utilizzando esempi concreti, si illustrano le relazioni tra gli insiemi, partendo da esempi di appartenenza a gruppi diversi per arrivare alla rappresentazione di un insieme appartenente a un altro. Si discute quindi dell'insieme dei numeri naturali, delle sue caratteristiche e della sua relazione con l'insieme dei numeri decimali.
L'argomento sugli insiemi dei numeri decimali viene affrontato in modo più sommario, con l'intenzione di approfondirlo successivamente durante la trattazione delle approssimazioni e in classe seconda, quando si parlerà di frazioni. Al momento, ci si concentra sulla definizione dei numeri decimali, sulla loro rappresentazione, sulla loro posizione sulla retta numerica e soprattutto sulla loro capacità di essere ordinati, come previsto nella fase 3 del percorso didattico.
Scrivere_i_numeri_grandi.docx.pdf
FASE 3
ORDINAMENTO DEI NUMERI DECIMALI
Si inizia con un rapido ripasso su quanto già conosciuto sui numeri decimali che cosa rappresentano, nomenclatura degli ordini delle cifre della parte decimale. Si definisce l'insieme dei numeri decimali come l'insieme di tutti i numeri che si possono ottenere dividendo due numeri naturali.
Si introducono i simboli di confronto maggiore, minore, maggiore o uguale e minore o uguale per effettuare confronti prima tra due numeri naturali e poi tra due decimali. Si sollecita una riflessione su come si determina se un numero è più grande di un altro.
Questo è un confronto che tutti gli studenti sono generalmente in grado di fare per i numeri naturali, anche se spesso non sono consapevoli dei passaggi mentali che compiono per effettuare tale confronto. L'esplicitazione di questi passaggi è utile per il successivo approccio ai numeri decimali.
Sulla lavagna vengono scritte alcune coppie di numeri decimali, inclusa una coppia con la stessa parte intera ma parti decimali diverse, una con la stessa parte intera e gli stessi decimi ma con centesimi diversi, e una con le stesse cifre decimali ma parti intere diverse. Gli studenti vengono poi incoraggiati a discutere su come determinare quale numero sia il più grande e quale il più piccolo della coppia. Dopo la discussione, si procede a scrivere insieme un algoritmo per il confronto tra due numeri.
Si introduce il concetto di algoritmo e le regole per la sua rappresentazione mediante diagramma di flusso. Si scrive la prima parte dell'algoritmo insieme agli studenti e si chiede loro di continuare a svilupparlo individualmente, per poi confrontarsi e valutare insieme quanto prodotto. È possibile fornire agli studenti un esempio di algoritmo sviluppato in classe per illustrare il concetto (vedi figura a lato).
Infine, si affronta il posizionamento dei numeri decimali sulla retta numerica. Si inizia chiedendo agli studenti di posizionare numeri decimali su rette numeriche già costruite e successivamente si li sollecita a costruire le rette numeriche scegliendo un'adeguata unità di misura in base ai numeri da rappresentare.
FASE 4
LE OPERAZIONI
Gli studenti già conoscono le quattro operazioni perciò si può cominciare con un generale ripasso sulle definizioni, i significati, la scrittura e il linguaggio specifico. Si può volendo procedere con la realizzazione di una rappresentazione che schematizzi i termini specifici delle quattro operazioni (come si chiamano i termini e il risultato), mettendo in relazione operazioni dirette e inverse.
Partendo da degli esempi si chiede poi agli alunni di riflettere sul diverso ruolo che hanno l'uno e lo zero nelle quattro operazioni. Con quanto emerso, si completa lo schema precedentemente realizzato.
Si consegnano delle schede operative sulle operazioni con i numeri decimali che facilitano il corretto ordinamento in colonna. Le schede sono utili specialmente per rinforzare gli alunni in difficoltà.
In una lezione successiva si iniziano ad introdurre le proprietà delle operazioni . Anche in questo caso, la discussione sarà finalizzata alla produzione di una rappresentazione schematica di quanto emerso.
E' importante affrontare la discussione nell'ottica argomentativa, ovvero deducendo insieme e dimostrando una proprietà a partire da prove ed esempi piuttosto che calando dall'alto regole e definizioni. L'obiettivo non è solo che gli studenti sappiano riconoscere ed applicare le proprietà, ma che siano anche in grado di argomentare su ciascuna di esse. Qui con argomentare si intende il saper spiegare/definire, utilizzando il linguaggio specifico e gli esempi, le caratteristiche e l'applicabilità delle proprietà.
Ripartendo dal concetto di insieme numerico, la riflessione finale è improntata sulle operazioni interne ed esterne all'insieme dei numeri naturali.
FASE 5
TEST DI VERIFICA
Verifica sui numeri, ordinamento, confronto, operazioni e proprietà.
Dopo la correzione in classe si prepara un test di recupero personalizzato che prevede che ciascuno svolga soltanto gli esercizi sugli argomenti che nella verifica non risultano acquisiti.
FASE 6
APPROSSIMAZIONI
Si sottopongono agli studenti delle situazioni problematiche reali in cui emerga la necessità di approssimare: ad esempio chiedendo di effettuare delle misure o di suddividere gli alunni della classe in gruppi o dividere in parti uguali la lunghezza di un oggetto nel caso in cui il risultato della divisione sia un numero periodico ecc.). Poniamo ad esempio di chiedere quanto misura un oggetto usando i quadretti del quaderno come unità di misura, oppure utilizzando un righello che riporti solo i centimetri, se l'oggetto non misura precisamente un multiplo del quadretto o del centimetro, gli studenti dovranno necessariamente scegliere di fare un'approssimazione nel riportare la misura. Da qui si può iniziare la discussione sul significato dell'approssimazione e sulla scelta se approssimare per eccesso o per difetto.
Partendo sempre da esempi ma questa volta numerici (poniamo di voler approssimare ai decimi un certo numero), si ricerca insieme la procedura per l'approssimazione e si scrive sul quaderno sottoforma di diagramma di flusso.
Esempio di diagramma per le approssimazioni
Approssimare.pdfFASE 7
TEST DI VERIFICA
Verifica sulle approssimazioni.
Dopo la correzione in classe si prepara un test di recupero personalizzato che prevede che ciascuno svolga soltanto gli esercizi sugli argomenti che nella verifica non risultano acquisiti.
FASE 8
PRIORITA' DELLE OPERAZIONI
Si parte scrivendo alla lavagna una piccola espressione con due operazioni chiedendo ai ragazzi di risolverla. L'espressione dovrà essere composta da una addizione seguita da una moltiplicazione: ad esempio 5 +3 x 2 =? Si discute quindi dei risultati ottenuti.
Alcuni studenti hanno già risolto delle espressioni alle elementari e ricordano la priorità delle operazioni, altri invece no, ma difficilmente sanno spiegare il perché. A questo scopo occorre far vedere come la moltiplicazione sia l'abbreviazione di una somma ripetuta, la sottrazione l'operazione opposta dell'addizione e la divisione quella opposta alla moltiplicazione.
A questo punto sono utili alcuni esercizi di consolidamento con semplici espressioni senza parentesi da svolgere utilizzando correttamente la diversa priorità delle quattro operazioni.
Successivamente si introducono le parentesi come modo per modificare la priorità. Si possono confrontare ad esempio le due scritture 5 + 3 x 2= e (5+3) x 2 = al fine di verificare che il risultato è diverso e poi confrontare 5 + 3 x 2 = e 5 + (3 x 2) = per verificare che danno lo stesso risultato. Dopo qualche esempio di questo tipo si mostrano i diversi ordini di parentesi e il relativo grado di priorità.
Prima di concludere la lezione si fa un riassunto di quanto detto e si mostra (oppure si consegna oppure si fa trascrivere ) la tabella PEMDAS, molto utile per ricordare le regole sulla priorità. Occorre qui specificare che la "E" in PEMDAS sarà chiarita in lezioni successive.
Per casa si assegnano esercizi sulle espressioni con le parentesi.
L'ultimo aspetto trattato in questa fase riguarda la formalizzazione di una espressione a partire dalla forma verbale e viceversa. Si esercitano gli alunni con frasi alla lavagna da trasformare in espressioni, aiutandoli a focalizzarsi sulle parole da trasformare in numeri e simboli sottolineandole con colori diversi (un colore per le parole che indicano le operazioni e un altro colore per quelle che indicano i numeri).
Questa attività è molto importante per consolidare quanto appreso sulla priorità e sulla nomenclatura delle operazioni (somma, fattore, dividendo ecc.).
Una volta che gli studenti hanno preso dimestichezza, si può proporre il gioco "Dall'espressione al testo" (vedi link qui a destra). Il gioco prevede la suddivisione in coppie e la consegna di un foglietto con una semplice espressione a uno dei due membri della coppia. Questo non deve far vedere al compagno quanto scritto nel foglietto ma deve dettare al compagno l'espressione sottoforma di testo che questo dovrà poi tradurre nell'espressione da scrivere sulla scheda (vedi scheda relativa). Allo scadere del tempo (10 minuti), si ritirano i foglietti e la scheda e si fa il confronto per vedere quali coppie sono riuscite a riscrivere l'espressione. Si invitano le coppie che hanno sbagliato a rivedere quanto hanno fatto e ad individuare gli errori commessi.
FASE 9
TEST DI VERIFICA
Verifica sulle espressioni: saper svolgere un'espressione, conoscere e saper spiegare/dimostrare le regole sulla priorità delle operazioni.
Dopo la correzione in classe si prepara un test di recupero personalizzato che prevede che ciascuno svolga soltanto gli esercizi sugli argomenti che nella verifica non risultano acquisiti.
FASE 10
LE POTENZE
Si introduce il concetto di potenza come abbreviazione di una moltiplicazione ripetuta, si fa uno schema con la nomenclatura delle sue parti (base, esponente). Basandosi sulla definizione si passa quindi al calcolo del valore di una potenza conoscendo base ed esponente. Si sottopongono poi anche esercizi in cui si ricava l'esponente data la potenza e la base, oppure si ricava la base a partire dalla potenza e dall'esponente.
Non di rado molti studenti sono inclini ad confondere le potenze come il risultato di una somma ripetuta anziché di una moltiplicazione ripetuta. E' utile ribadire la differenza e fare uno schema alla lavagna in cui confrontare le due situazioni e barrare quella sbagliata con un croce rossa.
Ora è possibile riprendere lo schema PEMDAS sulla priorità delle operazioni potendo dare un significato alla "E" dell'elevamento a potenza e utilizzarlo per svolgere delle espressioni con le potenze.
Dopo alcuni esercizi di consolidamento si sottopone agli alunni il problema del batterio che si divide: si spiega che un batterio, nelle giuste condizioni, può dividersi ogni 20 minuti, quindi ad ogni divisione le cellule raddoppiano. Si disegna alla lavagna un diagramma ad albero in cui si rappresentano le duplicazioni (vedi schema qui a destra). Osservando il grafo è possibile far notare come, nel primo passaggio da una sola cellula se ne ottengono due e poi quattro nel secondo e così via. Ad ogni passaggio le cellule della fase precedente sono moltiplicate per 2: ogni fase può quindi rappresentarsi con una potenza di 2. Dopo un'ora sono state fatte 3 duplicazioni e quindi avremo 2 alla terza cellule. Si chiede quindi agli alunni di calcolare quante cellule ci saranno dopo 2 ore e si discute poi tutti insieme quello che è stato calcolato da ciascuno.
Prima di terminare, può essere utile fa notare come le due cellule alla fine della prima replicazione corrispondano a 2 alla prima, mentre la sola cellula di partenza corrisponda a 2 alla zero (vedi scheda Problema del batterio che si divide). Questo è un modo intuitivo per parlare delle potenze con esponente uno e esponente zero senza aver fatto ancora le proprietà delle potenze.
PROPRIETA' DELLE POTENZE
Solitamente si approcciano le proprietà delle potenze partendo dal prodotto di due potenze con stessa base e scrivendole nella loro forma non abbreviata di moltiplicazioni ripetute. In questo modo diventa intuitivo per gli alunni comprendere la relativa proprietà (prodotto di potenze con la stessa base). Una volta fatta dedurre la regola ai ragazzi, insieme si cercano le parole corrette per scrivere la definizione. Si presenta così l'occasione di riflettere sulle caratteristiche di una definizione matematica, mettendone in evidenza gli aspetti essenziali.
A questo punto si fa notare come è possibile scrivere una formula generalizzata che vada bene per tutte le moltiplicazioni tra potenze con la stessa base. Si mostra la possibilità di utilizzare le lettere al posto dei numeri (d'altronde formule come quella delle aree dei poligoni più semplici le hanno già viste e utilizzate alle elementari) chiarendo bene le regole di questo tipo di scrittura (lettere uguali indicano cose uguali, si usano le minuscole, tra lettere e numeri si può sottintendere il segno della moltiplicazione, in taluni casi occorre specificare l'appartenenza delle lettere a determinati insiemi numerici ecc.). Premesso ciò, si chiede agli studenti, suddivisi in coppie o piccoli gruppi, di provare a pensare e a scrivere una formula per la suddetta proprietà. Al termine si confrontano le idee di tutti e si scrive la formula corretta e condivisa.
Il passaggio successivo è quello che riguarda la dimostrazione della proprietà. Si chiarisce che per dimostrare una regola o verificare la validità di una formula, possono essere utilizzati due metodi, quello degli esempi e quello algebrico. Nel primo caso si fanno alcuni esempi, anche "estremi", per concludere che la regola vale sempre fino a prova contraria. Il secondo caso, più sicuro e elegante, comporta la dimostrazione utilizzando la scrittura generalizzata con le lettere. Si fanno così degli esempi numerici e si chiede ai ragazzi di proporne altri prendendo in considerazione eventuali casi particolari. La dimostrazione algebrica viene fatta coinvolgendo gli studenti nel suggerire i vari possibili passaggi e discutendo ogni passaggio logico.
Seguendo un procedimento simile (deduzione da esempi, scrittura della definizione e dimostrazione) è possibile affrontare tutte e cinque le proprietà delle potenze. Lo svolgimento di espressioni in cui utilizzare le proprietà, li aiuterà ad allenarsi a riconoscerle e a utilizzarle.
Il passo successivo è quello di sfruttare quando appreso sulle dimostrazioni per comprendere le potenze con esponente zero e quelle con esponente negativo.
Infine si tratta la notazione esponenziale applicata ai grandi numeri e ai numeri piccolissimi in contesti reali come le grandi distanze astronomiche o le dimensioni delle cellule.
FASE11
TEST DI VERIFICA
Verifica sulle potenze e le loro proprietà: elevare a potenza, conoscere definizioni formule e dimostrazioni delle proprietà delle potenze, svolgere un'espressione utilizzando le proprietà delle potenze. Per le dimostrazioni gli alunni sono liberi di scegliere la dimostrazione per esempi o quella algebrica.
L'insegnante corregge la verifica senza comunicare la valutazione, gli alunni si scambiano le verifiche, l'insegnante alla lavagna fa la correzione e ognuno corregge la verifica di un altro. Terminata la correzione, vengono ridate le verifiche ai legittimi proprietari e si chiede di effettuare un'autovalutazione in cui ognuno metta in evidenza punti di forza, punti di debolezza, possibili strategie di miglioramento. In una lezione successiva, si somministra nuovamente la verifica perché ognuno possa dimostrare di aver superato le proprie difficoltà.
INDICATORI DI VALUTAZIONE
Matematica 1 - Conoscere: Riconosce i numeri naturali e le proprietà delle quattro operazioni. Rappresenta i numeri ordinati sulla retta reale. Svolge le quattro operazioni e le potenze, attraverso il calcolo mentale e in colonna. Sa utilizzare la calcolatrice per controllare il risultato
Matematica 2 - Risolvere problemi: Traduce una situazione reale in un problema di calcolo con le quattro operazioni, individua dati e informazioni nel testo, gestisce l’ordine logico nelle operazioni, controlla e valida la risposta
Matematica 3 - Argomentare: Usa il linguaggio specifico per formulare ipotesi e congetture sul processo risolutivo. Verbalizza il ragionamento seguito.
COMPETENZE VALUTATE
Competenza 3 - Competenza matematica e competenze di base in scienza e tecnologia: le sue conoscenze matematiche e scientifico-tecnologiche gli consentono di analizzare dati e fatti della realtà e di verificare l’attendibilità delle analisi quantitative e statistiche proposte da altri. Il possesso di un pensiero logico-scientifico gli consente di affrontare problemi e situazioni sulla base di elementi certi e di avere consapevolezza dei limiti delle affermazioni che riguardano questioni complesse che non si prestano a spiegazioni univoche.
NOTE
BIBLIOGRAFIA
"Sviluppare la metacognizione nel problem solving: un percorso di ricerca didattica nella scuola secondaria di primo grado" di D.Pietrapiana e S.Donadio; Didattica della matematica. Dalla ricerca alle pratiche d’aula Online www.rivistaddm.ch, 2020 (8), 115 - 140, DOI: 10.33683/ddm.20.8.6
Indicazioni Nazionali Scuola Secondaria di Primo Grado
"Thinking Mathematically: Integrating Arithmetic & Algebra in Elementary School" di Thomas P. Carpenter, Megan L. Franke, Nicholas C. Johnson
"The Mathematical Mindsets: Unleashing Students' Potential through Creative Math, Inspiring Messages and Innovative Teaching" di Jo Boaler
"NCTM's Standards for Mathematical Practice: How to Ignite Mathematical Thinking and Learning" di Diane J. Briars e National Council of Teachers of Mathematics
"Classroom Discussions in Math: A Facilitator's Guide to Support Professional Learning of Discourse and the Common Core, Grades K–6" di Suzanne H. Chapin e Catherine O'Connor
"Routines for Reasoning: Fostering the Mathematical Practices in All Students" di Grace Kelemanik, Amy Lucenta e Susan Janssen Creighton
"What's Math Got to Do with It?: How Teachers and Parents Can Transform Mathematics Learning and Inspire Success" di Jo Boaler
"Mathematical Argumentation in Middle School-The What, Why, and How: A Step-by-Step Guide with Activities, Games, and Lesson Planning Tools" di Ted H. Hull, Don S. Balka e Ruth Harbin Miles
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