Takahiro Hasebe(Hokkaido University)

Title: Cyclic monotone independence: random matrix models and operator models

Abstract: Cyclic monotone independence is an active research topics in free probability. It was named in the work of Collins, Hasebe, Sakuma abstracting moment calculations of Shlyakhtenko. The name comes from its similarity to monotone independence which is one of the five main independences in noncommutative probability. Indeed, the direct connection of monotone independence and cyclic one was found in Arizmendi, Hasebe and Lehner, and also by Cebron, Dahlqvist and Gilliers. In a series of talks I will explain results around cyclic monotone independence. The talk will be based on the following articles:

(1) B. Collins, T. Hasebe and N. Sakuma, Free probability for purely discrete eigenvalues of random matrices, J. Math. Soc. Japan 70, No. 3 (2018), 1111-1150. arXiv:1512.08975

(2) O. Arizmendi, T. Hasebe and F. Lehner, Cyclic independence: Boolean and monotone, Algebr. Combin., to appear. arXiv:2204.00072

(3) B. Collins, K. Fujie, T. Hasebe, F. Leid and N. Sakuma, Fluctuations of eigenvalues of a polynomial on Haar unitary and finite rank matrices. arXiv:2309.15396

Interested readers can also consult:

(4) G. Cébron, A. Dahlqvist, F. Gabriel, Freeness of type B and conditional freeness for random matrices. arXiv:2205.01926

(5) G. Cébron, N. Gilliers, Asymptotic cyclic-conditional freeness of random matrices. arXiv:2207.06249

(6) D. Shlyakhtenko. Free probability of type B and asymptotics of finite rank perturbations of random matrices. Indiana Univ. Math. J., 67:971–991, 2018.

(7) O. Arizmendi and A. Celestino, Polynomial with cyclic monotone elements with applications to Random Matrices with discrete spectrum. Random Matrices: Theory and Appl. 10, No. 02, 2150020 (2021)

(8) B. Collins, F. Leid, and N. Sakuma. Matrix models for cyclic monotone and monotone independences. arXiv:2202.1166.

(9) K. Fujie and T. Hasebe, in preparation.

Carlos Vargas Obieta

Título: Probabilidad Libre B-Valuada y Matrices Aleatorias 

Resumen: Las primeras relaciones entre matrices aleatorias y probabilidad libre se establecieron en 1991 (Voiculescu). La generalizacion de independencia/probabilidad libre a independencia/probabilidad libre B-Valuada comenzo en 1995 (Voiculescu). Los fundamentos para el estudio combinatorio de ambas fueron sentados por Speicher en 1994 y 1998, respectivamente.

Hoy en dia se cuenta con una gran cantidad de ejemplos de modelos de matrices aleatorias que se describen con algun tipo de independencia libre B-valuada. 

En este mini-curso abordaremos algunos de los ejemplos mas importantes en esta lista. 

Comenzaremos con ejemplos escalares sencillos, incrementando paulatinamente la complejidad del modelo y de la instancia de independencia B-valuada.

Mario Díaz (UNAM)

Título: Método de Stein en Probabilidad Libre

Resumen: El llamado método de Stein es una técnica importante en la teoría de teoremas límites que ha cobrado popularidad en años recientes. En esta plática revisaremos el método de Stein clásico y presentaremos un análogo natural en el contexto de probabilidad libre. Esta plática está basada en trabajo conjunto con Arturo Jaramillo (CIMAT).

Daniel Muñoz George 

Título: Cumulantes libres de orden alto en matrices complejas de Wigner.

Resumen: En esta platica vamos a hablar de los momentos y cumulantes de orden alto en el contexto de matrices

aleatorias. Para esto introduciremos brevemente el concepto de las particiones permutaciones que no se

cruzan introducidas por Collins, Mingo, Sniady y Speicher [2]. De manera análoga a la relación momentos-

cumulantes vía las particiones que no se cruzan vamos a definir los cumulantes libres de orden alto a través

de las particiones permutaciones que no se cruzan. Posteriormente abordaremos un modelo en concreto

que es el de matrices complejas de Wigner. Hablaremos de sus momentos y cumulantes de primer, segundo

y tercer orden [1, 3] y daremos condiciones suficientes para la existencia de ordenes superiores.

James  Melbourne (CIMAT)

Título: Discrete Cube Slicing and related anti-concentration inequalities.

Josue Vazquez (CIMAT-UAS)

Título: Independencia BMT: entrelazando lo booleano, mónotono y tensorial.

Resumen. En esta presentación introduciremos la noción de independencia BMT la cual provee de un entorno que permite construir entrelazamientos arbitrarios de tres nociones de independencia de la probabilidad no conmutativa: booleana, monótona y tensorial. Entrelazamientos arbitrarios de estas independencias son codificadas a través de una gráfica dirigida de tal manera que los vértices representan variables aleatorias y para cualesquiera dos vértices se tiene que no arista dirigida entre ellos representa independencia booleana, exactamente una arista dirigida representa independencia monótona y dos aristas dirigidas con direcciónes opuestas representan independencia tensorial. Está noción de independencia generaliza a la independencia BM de Wysoczanski. Esta presentación se basa en trabajo en conjunto con  Octavio Arizmendi y Saul Mendoza. 

Arturo Jaramillo Gil (CIMAT)

Título: Versiones cuantitativas del teorema de Breuer Major libre 

Resumen: El teorema de Breuer Major clásico establece condiciones generales para garantizar la gaussianidad asintótica de funciones de una serie de tiempo conjuntamente Gaussiana. La presente charla explora la contraparte libre de dicho teorema. De manera más precisa: para un promedio normalizado de variables conjuntamente semicirculares filtradas por un polinomio, demostramos semicircularidad asintótica. Discutiremos adicionalmente el trabajo hasta ahora realizado en torno a la estimación de dicha tasa de convergencia, así como algunas posibles extensiones. Como ingrediente principal, se utilizarán las contrapartes libres del método de Malliavin Stein, el cual relaciona integrales de Wigner múltiples,  cálculo de Malliavin no conmutativo  y teoremas límite. 

Josue Ríos Cangas (UAM)

Título: Estados estacionarios en modelos de trasporte cuántico de N-niveles de energía 

Resumen: Los sistemas abiertos de trasporte cuántico de N-niveles de energía se pueden modelar a través de semigrupos cuánticos de Markov de tipo límite de acoplamiento débil y con estructura Gorini-Kossakowski-Sudarshan y Lindblad. En esta charla presentamos una caracterización de todos los estados invariantes que poseen estos modelos y su soporte máximo. Esto permite estudiar dominios de atracción y comportamiento asintótico sobre sub-álgebras hereditarias.

Arno Siri Jegousse (UNAM)

Título: Estimación de la medida Lambda en los coalescentes.

Resumen: En esta charla, expondré una técnica para inferir el modelo de coalescencia con colisión múltiple a partir de datos genéticos tomados en un solo momento. Los coalescentes son modelos aleatorios que ahora son aceptados por la comunidad para representar el árbol genealógico de una población. Su medida característica proporciona información sobre la evolución de la población, como reproducción sesgada, selección, cuellos de botella... Esta técnica consta de dos pasos: 1) estimar las tasas de coalescencia a partir de los datos genéticos y, en particular, el llamado espectro de frecuencia de sitio ponderado, y 2) estimar la medida característica Lambda del coalescente gracias a un método de estimación no paramétrico basado en polinomios de Bernstein. Esta estimación es útil para inferir el mejor modelo para representar el árbol genealógico de una población, pero también funciona bien para rechazar los modelos genealogicos comúnmente utilizados (como los Beta-coalescentes, el coalescente de Kingman...). También se puede establecer el error de consistencia que genera este método.