Temario

CAPÍTULO I. Introducción.

1. Dos problemas que fundamentan al Cálculo:

Tangente a una curva

Velocidad de un cuerpo en movimiento.

CAPÍTULO II. Conjuntos.

1. ¿Qué es un conjunto?
2. Operaciones entre conjuntos.
3. El conjunto de los números naturales.

CAPÍTULO III. INDUCCIÓN MATEMÁTICA (Opcional).

1. Razonamiento inductivo.
2. Principio de inducción matemática.

CAPÍTULO IV. El campo de los números reales.

1. Construcción de los números reales a partir del concepto de segmentos conmensurables. Números racionales e irracionales.
2. Propiedades de campo.
3. Propiedades de orden.
4. La compleción de los números reales.

Cortaduras de Dedekind (opcional), Axioma del Supremo y Axioma del ínfimo.

1. Los números reales como un campo ordenado completo.

CAPÍTULO V. Funciones reales de una variable real.

1. Definición de función
2. Gráfica de una función.
3. Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva.
4. Composición de funciones.
5. Función inversa.
6. Operaciones entre funciones.
7. Interpretación gráfica de las operaciones entre funciones.

CAPÍTULO VI. Un viaje al infinito

1. Lo infinitamente grande.
2. Lo infinitamente pequeño.

CAPÍTULO VII. Cardinalidad de un conjunto.

Conjuntos finitos.

Cardinalidad de un conjunto finito vs cardinalidad de sus subconjuntos propios.

Conjuntos infinitos.

Conjuntos numerables.

Conjuntos más que numerables.

Cardinalidad de un conjunto infinito vs cardinalidad de sus subconjuntos propios.

Los números transfinitos de Cantor (opcional).

La Hipótesis del continuo.

CAPÍTULO VIII. Límite de una función.

1. Punto de acumulación de un conjunto.
2. Definición de límite de una función
3. Propiedades básicas del límite de una función.
4. Límite de la suma, el producto y el cociente de funciones.
5. Límites en el infinito.

CAPÍTULO IX. Continuidad de una función.

1. Continuidad de una función en un punto.
2. Propiedades básicas de la continuidad puntual.
3. Continuidad de la suma, el producto y el cociente de funciones continuas en un punto.
4. Continuidad de la composición de funciones continuas en un punto.
5. Propiedades de las funciones continuas en intervalos cerrados y acotados:

Teorema del valor intermedio.

Máximos y mínimos de una función.

CAPÍTULO X. La derivada de una función.

1. Razón de cambio, razón de cambio instantánea y velocidad.
2. Tangente a una curva.
3. El concepto de derivad.
4. Relación entre continuidad y derivada de una función.
5. Derivada de la suma, el producto y el cociente de funciones derivables.
6. Derivada de la composición de funciones derivables: la regla de la cadena.
7. Derivada de la función inversa.
8. Derivación implícita.
9. Derivadas de orden superior
10. El teorema del valor medio para la derivada.

Graficación de una función a través de sus derivadas

CAPÍTULO XI. Máximos, mínimos, regiones de concavidad y puntos de inflexión.

1. Problemas de optimización.
2. Polinomios de Taylor y forma de Lagrange del residuo.
3. El Teorema del Valor Medio Generalizado para la derivada.
4. La regla de L´Hospital.

CAPÍTULO XI. Sucesiones de números reales (opcional).