MATEMÀTIQUES

ACTIVITATS

1.- Escriu amb xifres les quantitats següents:

- trenta-dos milions cinc-cents vint-i-sis mil vuit-cents dotxe

- vuit-cents sis milions quatre mil vint

- cent dos milions tres-cents quatre mil cinc-cents seixanta

2.- Fes la descomposició dels nombres de l'exercici anterior

3.- Escriu amb lletres el nombre parell major de tres xifres

Escriu amb lletres el nombre senar menor de cinc xifres

4.- Escriu amb nombres romans els nombres de l'exercici anterior

5.- Calcula; 8 + 12 :6 = (5+3) : (7 - 5)= (3 x 4 - 2) : 5 =

6.- Expressa amb operacions combinades i calcula:

- el producte entre la suma de 6 i 3 i la diferència entre 4 i 2

- la quarta part de la suma de 5 i 7

el triple de la diferència entre 9 i 4

7.- Resol amb operacions combinades:

En Joan paga amb dos bitllets de 5€ 2 Kg de pomes a 3€/Kg i 1 kg de peres a 3€. Quin canvi li tornen?

Al banc tenia 320€, he pagat dues factures de 45€ cada una i he tret la tercera part del que quedava. Quants diners he tret?

Tema 2

POTÈNCIES

Així com una multiplicació ( 3 x 4) expressa la suma d'un mateix nombre vàries vegades ( 4+4+4) una potència expressa el producte d'un mateix nombre vàries vegades (5x5x5x5). I ho fa escrivint el nombre que se multiplica (anomenat BASE) de manera normal, i el nombre de vegades que se multiplica (anomenat EXPONENT) en tamany reduït en el cantó superior esquerre. Per exemple; 5⁴= 5x5x5x5=625

Les potències es llegeixen BASE ELEVAT A EXPONENT (cinc elevat a quatre) amb les excepcions d'exponent 2 (es diu "al quadrat") o d'exponent 3 (es diu "al cub")

Un cas especial són les potències de base 10, ja que el seu valor sempre és la xifra "1" seguida de tants zeros com indiqui l'exponent, per exemple 10⁵= 100.000 Aquesta característica permet expressar grans quantitats de manera reduïda (34.000.000.000 = 34x 10⁹) i fer descomposicions de manera polinòmica, per exemple; 78.402 = 7x10⁵ + 8x10⁴ + 4x10² + 2

Així com l'operació inversa de la suma és la resta (3+2=5, 5-2=3) l'operació inversa de la potència al quadrat ( 4²) és l'arrel quadrada, que se indica amb el símbol √. Per exemple √16=4.

EXERCICIS ONLINE

vídeo explicatiu i exercicis on line

on line

Tema 5

FRACCIONS

Les fraccions -com els decimals- serveixen per representar quantitats menors de la unitat, per exemple; 2/3. Recordem que consten de dos nombres; el denominadorque indica les parts que feim de cada unitat (i escrivim baix una retxa) i el numerador que indica les parts que comptam (i escrivim dalt la retxa) En l'exemple anterior, el 3 és el denominador i el 2 el numerador, i per tant, si feim 3 trossos d'un pastís, en menjam 2. BON PROFIT!!

FRACCIONS EQUIVALENTS

Sabem que "equivalent" significa "igual valor" i per tant fraccions equivalents són aquelles que, encara que formades per distints nombres, represenTen la mateixa quantitat. Per exemple; 1/2 i 2/4.

Si dues fraccions són equivalents el seu producte creuat ha de ser igual (1x4=2x2)

Podem obtenir fraccions equivalents multiplicant numerador i denominador per un mateix nombre. Per exemple 3/4 multiplicat per 2, dona 6/8

COMPARACIÓ DE FRACCIONS

Si són fraccions amb igual denominador, és major aquella que té el numerador més gran. Per exemple 3/7 > 2/7

Si tenen igual numerador, és major aquella que té el denominador més petit, com 4/5 > 4/3 (si feim menys tallades, cada tallada serà més grossa)

I si hem de comparar fraccions sense cap terme igual abans de poder comparar-les hem de trobar el comú denominador, i aleshores ens trobarem en el primer cas.

SUMA I RESTA

Si són fraccions amb el mateix denominador només operam els numeradors, mantenint el denominador igual. Per exemple; 3/5 + 1/5 = 4/5

Si tenen distint denominador, abans de res hem de transformar-les a denominador igual i llavors operam amb normalitat. Per exemple; 2/5 + 1/3 = 6/15 + 5/15 = 11/15

PRODUCTE I DIVISIÓ

Per multiplicar fraccions multiplicam numeradors i denominadors en paral·lel, per exemple 2/5 x 3/4 = 6/20

En canvi, per dividir fraccions, multiplicam en creu, per exemple; 2/5 : 3/4 = 8/15

OPERACIÓ D'UN NATURAL I UNA FRACCIÓ

En aquest cas actuam com si el natural fos el numerador d'una fracció amb denominador 1. Per exemple; 3 x 2/7 = 6/7

LA FRACCIÓ D'UN NOMBRE

Es resol fent el producte del nombre pel numerador i dividint entre el denominador, per exemple; 3/5 de 10= 3/5 x 10=30/5=6

1.- Comprova quines són les fraccions equivalents:

8/6 i 4/3 5/7 i 3/6 2/3 i 4/6

2.- Descobreix el terme que falta en aquests parells de fraccions equivaletns:

6/24 i 1/? ?/4 i 3/6 ?/12 i 2/3 4/11 i ?/33

3.- Escriu dues fraccions equivalents a cada una:

2/3 = =

1/7 = =

5/9 = =

3/8 = =

4.- Simplifica les fraccions següents:

4/10 6/18 9/36 5/12 12/8

5.- Escriu la fracció irreductible de:

8/20 16/30 24/42 30/21 9/23

6.- Ordena de MENOR A MAJOR amb el signe adient:

3/5 3/2 3/8 3/4

7.- Compara amb el signe adient:

3/4 i 5/7

7/12 i 4/9

8.- Representa usant quadrets els següents nombres mixtos:

2 i 3/4 1 i 2/5 3 i 1/3

9.- Escriu en forma de nombre mixt les fraccions:

9/4 16/7 3/4 17/ 5

practica on line

TEMA 6 NOMBRES DECIMALS

Com passa amb les fraccions, els nombres decimals permeten expressar parts d'una quantitat, per exemple 3'5kg representa 3 quilos i mig. Es reconeixen per la presència de la coma que separa la PART ENTERA de la PART DECIMAL. En l'exemple anterior la part entera és el 3 i la part decimal és el 5.

Els decimals es llegeixen seguint aquest patró:"part entera amb la paraula UNITATS i part decimal amb la paraula DÈCIMES, CENTÈSIMES o MIL·LÈSIMES segons pertoqui" Per exemple 12'048 es llegeix 12 unitats i 48 milèsimes.

FRACCIONS DECIMALS són aquelles que tenen denominador 10, 100 o 1.000 i es poden expressar en forma decimal escrivint el numerador amb tantes xifres decimals com indiqui el denominador, per exemple 582/100=5'82

SUMA I RESTA AMB DECIMALS

Es traca de col·locar la xifra de les unitats alineada. operar normalment i pensar a posar la coma al resultat -si pertoca-. Per exemple; 5 - 2'4 = 2'6

PRODUCTE AMB DECMALS

En aquest cas col·locam i operam els nombres amb normalitat, però en el resultat hi ha d'haver tantes xifres decimals com entre el dos factors junts. Per exemple; 3'21(dos decimals) x 1'4 (un decimal) = 4'494 (tres decimals)

En multiplicar un decimal per 10, 100 o 1.000 no cal fer operacions, n´hi ha prou fent saltar la coma a la dreta tantes vegades com zeros tengui darrera la xifra 1 Per exemple 0'453 x 100=45'3

APROXIMACIONS i ESTIMACIONS

Per aproximar decimals feim la pregunta:"Ets major o igual que cinc?" a la xifra següent. Si la resposta és NO la xifra es manté igual (per exemple l'aproximació a les dècimes de 2'31 és 2'3 perquè 1<5), però si la resposta a la pregunta és SÍ, la xifra augmenta (per exemple, l'aproximació a la dècimes de 2'36 és 2'4 ja que 6>5).

Fer una estimació consisteix en fer una operació no amb els nombres que indiqui l'exercici, sinó amb les seves aproximacions, per exemple estimar a les centèsimes la suma 3'508 + 2'321 seria fer la suma 3'51 + 2'32

practica on line

TEMA 7 DIVISIÓ AMB DECIMALS

En aquest tema veurem els distints casos que podem trobar en dividir amb nombres decimals, segons estiguin al dividend, al divisor o al quocient i serem capaços de fer una cosa fins ara impossible; dividir un nombre per un altre major!!

• DIVIDEND DECIMAL
• En aquest cas, es fa la divisió de la manera habitual, però hem de recordar a posar la coma al quocient de manera que aquest tengui tantes xifres decimals com el dividend (en ocasions caldrà posar un zero abans de la coma)
• Per exemple: 5,7 : 3 = 1,9
• 2,5 : 5 = 0,5
• DIVISOR DECIMAL
• Si trobam decimals al divisor, abans de res hem d'eliminar-los. I per fer-ho aprofitam la Llei Fonamental de la Divisió que diu: " En multiplicar dividend i divisor per un mateix nombre, el quocient no varia"
• Per exemple: 45 : 5 = 9, si ho multiplicam per 2; 90 : 10 = 9.
• Beníssim, idò en tenir decimals al divisor per eliminar-los hem de multiplicar per 10, 100 o 1.000 (segons siguin dècimes, centèssimes o mil·lèssimes ) tant el divisor com el dividend, i tot seguit operam amb normalitat.
• Per exemple: 14 : 3,5 = (multiplicam per 10) 140 : 35 = 4
• 36 : 2,54 = (multiplicam per 100) 3.600 : 254 = 14 (residu 54) Atenció, el veritable residu és 0,54, ja que el divisor tenia dos decimals.
• DIVISIONS AMB QUOCIENT DECIMAL
• En aquest cas és convenient escriure el dividend una mica separat de la "caixa", ja que normalment haurem d'afegir zeros decimals. Es tracta de poder seguir dividint encara que no hi hagi més xifres per baixar del dividend, i és per això que haurem d'afegir zeros ja que, per exemple 5=5'00
• En ocasions hem de seguir fins a tenir dècimes, centèsimes o mil·lèsimes al quocient, i a vegades hem de seguir fins a trobar residu igual a zero.
• Per exemple:
• 5,00: 4 = 1,25 (residu zero)
• 14,000 : 6 = 2,333 (mil·lèssimes al quocient)
• EXPRESSIÓ DECIMAL D'UNA FRACCIÓ
• Qualsevol fracció es pot expressar en forma de decimal; basta dividir el numerador entre el denominador, per exemple; 3/4 = 0'75
• En ocasions aquesta divisió pot donar un resultat amb infinites xifres decimals, en aquest cas feim l'aproximació a les mil·lèsimes. Per exemple 3/7= 0'42857... escriurem 3/7=0'423

ACTIVITATS

Resol les operacions següents:

34'6 : 2=

72'864 : 32=

5.166 : 0'75=

936 : 0'45=

623'4 : 2'15=

Calcula fins a les mil·lèsimes o fins a residu zero:

4/9=

13/9=

3/4=

18/7=

vídeo explicatiu

TEMA 8

PROPORCIONALITAT

Una magnitud és qualsevol cosa que es pot comptar; diners, metres, persones, taronges,... Deim que dues magnituds són proporcionals quan en augmentar o disminuir una d'elles d'una manera determinada, l'altra també ho fa. Així, per exemple són proporcionals la quantitat de gomes que compram i el preu que hem de pagar, i en canvi NO són proporcionals el preu d'una entrada al cinema i la durada de la pel·lícula.

PROBLEMES DE PROPORCIONALITAT

Es poden resoldre de tres maneres:

a) completant una taula; per això hem de descobrir per quin nombre cal multiplicar o dividir per arribar a la quantitat demanada

b) reduint a la unitat; en aquest cas hem de saber la relació amb la unitat d'una de les magnituds

c) regla de tres; es tracta de multiplicar les quantitats que no estan relacionades i dividir per la tercera

PERCENTATGES

Un percentatge és l'expressió d'una proporció on la quantitat total es considera cent, i s'indica amb el signe %. Per exemple, 20% es llegeix "vint per cent" i significa "20 de cada 100"

Per calcular el percentatge d'una quantitat, es multiplica la quantitat pel percentatge i es divideix entre cent. El 20% de 60 són 12, ja que 20x60=1200, entre 100, dóna 12.

PROBLEMES DE PERCENTATGES

Veurem dos tipus de problemes distints;

- descomptes; en primer es calcula el percentatge i es resta del total

- augments; quan hem trobat el percentatge hem de sumar-lo al total

En el dos casos i quan manejam € hem de pensar a arrodonir a les centèsimes!!

ESCALES I MAPES

En els mapes o plànols hi representam espais (cases, ciutats, països,...) en un tamany inferior al real. La proporció entre la distància real i la dibuixa es diu ESCALA i es representa aixÏ 1:200, que significa que cada cm del plànol correspon a 200cm, és a dir, 2 metres reals.

1.- Recepta per fer 20 bunyols: 700g de farina, 200g de patata i 100g de sucre. Quina quantitat de cada ingredient necessitam per fer 10 bunyosl? I per fer-ne 40? (resol fent una taula)

2.- Un camió consumeix 12 litres de gasoil per circular 100km, quina distància pot recórrer amb 5 litres?

3.- Tres carmanyoles costen 3,60€, quant costaran 8 carmanyoles?

4.- Calcula els següents percentatges:

15% de 60

20% de 40

35% de 70

53% de 200

75% de 340

5.- Si el 70% del pes d'una persona és aigüa i una nina pesa 38kg, quin pes d'aigüa correspon al seu cos?

6.- En uns magatzem els xandalls estan rebaixats un 15%, si el preu inicial era de 42€, que costaran rebaixats?

7.- El preu d'un diccionari sense IVA és de 25'70€, si l'IVA és del 21%, quan costa realment?

8.- En un mapa fet a escala 1:5.000 quans cm corresponen a les següents distàncies reals? 300m= 1km=

9.- Entre Palma i Es Pont d'Inca hi ha 12km, quina distància representaria en una mapa d'escala 1:300.000?

on line

TEMA 9

UNITATS DE MESURA

Unitats de longitud, capacitat i massa

Aquestes són unitats que ja coneixem del curs anterior, en el cas de la longitud van des dels mil·límetres (mm) fins als quilòmetres (km), en la capacitat dels mil·lilitres (ml) fins al quilolitres (kl) i en el cas del pes hem d'afegir la tona (t) i el quintar(q).

El canvi d'unitats és tan senzill com afegir o llevar zeros o fer botar la coma, ja que formen un sistema decimal. Per exemple; 2'3 hm = 230m

En fer problemes on apareguin distintes unitats de mesura hem de recordar que abans de fer sumes o restes entre elles, és necessari passar-les a una mateixa unitat.

Unitats de temps i d'angles

Les unitats de temps i d'angles són l'hora (o el grau) el minut i el segon i formen un sistema sexagesimal, és a dir, no van de 10 en 10 com els metres i els decàmetres, sinó que van de 60 en 60. Això implica que per canvis d'unitat no tenim més remei que multiplicar o dividir per 60. Per exemple 3h = 180', 4.500''= 1º 15'

A l'hora de fer operacions amb unitats de temps o d'angles també haurem de tenir en compte que si operam "duent" no en duim 10, sinó 60.

Unitats de superfície

La superfície mesura l'extensió d'un objecte i es mesura en metres quadrats (m²). Les seves unitats són les de longitud quadradres, de manera que en canvi d'unitats en lloc de fer-se de deu en deu, es fa de cent en cent (ja que 10² = 100). Per exemple; 3.000 dm² = 0'3 dam²

Unitats agràries

Com indica el seu nom s'utilitzen per mesurar l'extensió de camps i boscos i són l'àrea, l'hectàrea i la centiàrea (a, ha i ca) que equivalen respectivament al dam² , l'hm² i al m²

A més a Mallorca s'utilitzen mesures com la quarterada i el quartó amb la següent relació; una quarterada = 4 quartons = 71 dam²

• ESCALA DE LES UNITATS DE LONGITUD

km

hm

dam

m

dm

cm

mm

• En baixar cada escaló multiplicam per 10, i en pujar, dividim per 10. És a dir, en baixar la coma fa cap a la dreta tants bots com escalons, i en pujar bota cap a l'esquerra.
• ESCALA DE LES UNITATS DE CAPACITAT

kl

hl

dal

l

dl

cl

ml

• Com veus es sembla molt a la de longitud i funciona igual.
• 
  
• ESCALA DE LES UNITATS DE MASSA

t

q

mag

kg

hg

dag

g

dg

cg

mg

• En aquest cas l'escala es maneja com la de longitud, però com pots veure s'han afegit tres escalons per damunt del kg, que corresponen al miriagram, el quintar i a la tona.
• ESCALA DE LES UNITATS DE TEMPS i ANGLES

Hora/ Grau

minuts

segons

• Els símbols són h, min, s en el cas de temps i º, ', '' en els angles.
• Recorda que en aquest cas no poden fer bots amb la coma, no tenim més remei que multiplicar per 60 cada escaló que baixam o dividir entre 60 cada escaló que pujam.

• ESCALA DE LES UNITATS DE SUPERFÍCIE
• km²

hm²

dam²

m²

dm²

cm²

mm²

• En aquesta escala cada unitat és 100 vegades major que la següent de manera que cada escaló que baixem o pugem suposa dos bots de la coma a la dreta o a l'esquerra.

practica on line

TEMA 10 CAPACITAT I VOLUM

Aquestes són dues magnituds que estan molt relacionades; lògicament com més gros és un recipient, més coses hi caben.

Càlcul del volum

Per saber el volum d'un cos hem de multiplicar la seva longitud, altura i gruixa. Per exemple un dau que tengui 2cm d'aresta, tendrà un volum de 2x2x2=8cm³

Unitats de volum

De manera semblant al que passa amb les unitats de superfície, les unitats de volum són les de longitud elevades al cub, de manera que la seva escala és:

km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³ I a cada escaló li correspon multiplicar o dividir per 1.000 (tres bots de coma) ja que 10³= 1.000

Es compleixen les següents equivalències: 1m³ = 1 kl 1dm³= 1 litre 1cm³= 1 ml

on line

PRACTICA

Calcula el volum d'una rentadora que fa 80 cm d'ample, 65 cm de gruixa i 110 cm d'altura

Una motxilla té 24 litres de capacitat. Quantes cantimplores de 15 cm cúbics hi caben?

La piscina d'un restaurant té 26m de llarg i 12 d'ample. Si hi caben 624.000 litres, quina profunditat té?

Transforma les unitats cúbiques: 0.003 hm = m 52.000.000 dm = dam

8.900.000.000 cm = hm 0.0000072 km = mm

TEMA 11 FÓRMULES GEOMÈTRIQUES

Anomenam figures planes a les que tenen dues dimensions, llarg i alt. Encara que n'hi ha d'altres, veurem alguns polígons i el cercle.

Fórmules d'àrees

Una fórmula és l'expressió d'unes operacions de càlcul que es poden fer amb distints nombres, és per això que sovint apareixen lletres que podem substituir per qualsevol quantitat.

ÀREA DEL RECTANGLE A= b x a ÀREA DEL QUADRAT A= c x c

ÀREA DEL ROMBE A= D x d/2 ÀREA DEL TRIANGLE A= b x a / 2

ÀREA D'UN POLÍGON REGULAR A = P x ap/2 (on ap és apotema)

LONGITUD DE LA CIRCUMFERÈNCIA L = 2 x # x R (on # és pi)

ÀREA DEL CERCLE A = # X R²

Els cossos geomètrics tenen tres dimensions; llarg, alt i ample, i és per això que, a més de l'àrea podem calcular el seu volum. En calcular les àrees hem de sumar l'àrea de la base i les àrees laterals.

FÓRMULES:

ÀREA PRISMA A = Pb x a VOLUM PRISMA V = Ab x a

ÀREA PIRÀMIDE AL = Pb x Ap/2 VOLUM PIRÀMIDE V = Ab x a/3

ÀREA CILINDRE AL = 2x#xRxh VOLUM CILINDRE V = #xR²xa

ÀREA CON A = #xRxg (g=generatriu) VOLUM CON V = #xR²xa/3

ÀREA ESFERA A = 4#xR² VOLUM ESFERA V = 4#xR³/3

àrea on line

volum on line

TEMA 12 PROBABILITAT I ESTADÍSTICA

L'estadística és la part de les Matemàtiques que s'ocupa de representar grans quantitats d'informació de manera organitzada. Aquesta informació pot tractar-se de dades quantitatives (quan s'expressen amb nombres, com l'edat o la temperatura) o dades qualitatives (si no es poden expressar amb nombres). Hi ha un grapat de conceptes que hem de conèixer:

FREQÜÈNCIA ABSOLUTA (FA) és el nombre de vegades que es repeteix una dada.

FREQÜÈNCIA RELATIVA (FR) és una fracció que té per numerador la FA i per denominador el total de dades.

MODA és la dada més repetida, és a dir, la que té la FA més elevada.

MITJANA és el resultat de dividir entre el total de dades la suma de totes elles.

MEDIANA és la dada que ocupa el lloc central quan tenim el conjunt de dades ordenades de menor a major

RANG és la diferència entre la dada major i la menor

Un gràfic és un dibuix que representa de manera clara i ordenada la informació que correspon a un conjunt elevat de dades. N'hi ha de distints tipus:

DIAGRAMA DE BARRES; usa barres de distints colors per indicar la FA de cada dada segons l'altura de la barra

GRÀFIC LINEAL; es marca un punt indicant la FA de cada dada, i llavors s'uneixen tots els punts amb una línia. En aquest tipus de gràfic es poden representar més d'una variable, però usant línies de color distint

GRÀFIC DE SECTORS; s'utilitza normalment per representar percentatges a partir d'un cercle, on es van pintant sectors de distints colors que corresponen cada un a una dada

El càlcul de probabilitats intenta expressar de manera quantitativa les opcions que té un succés d'ocórrer.

La probabilitat s'expressa amb una fracció en la qual el numerador són el nombre de resultats positius, i el denominador el nombre de resultats possibles. Per exemple, la probabilitat de treure un 2 en llançar un dau és d'1/6