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Entre los objetos principales de estudio dentro de Análisis se encuentran los operadores acotados sobre un espacio de Banach. La familia de tales operadores es por sí mismo un espacio de Banach con la norma de operadores. En el caso particular de un espacio de Hilbert H contamos con el adjunto de operadores y obtenemos así una C*-álgebra que denotamos por B(H ). El grupo de operadores invertibles es un grupo topológico con la topología de norma. Lo mismo ocurre con el subgrupo de elementos unitarios U(H ), es decir, aquellos operadores cuyo inverso es su adjunto.

Por otro lado, cuando H es de dimensión infinita se ha observado que, para una importante familia de ejemplos y casos particulares, la topología dada por la norma de operadores no es la más adecuada. Existen formas de convergencia que resultan ser más adecuadas en muchos casos. Es de esta manera que aparecen las topologías fuerte y débil de operadores. El grupo U(H ) sigue siendo un grupo topológico para estas nuevas topologías. De hecho estas dos últimas coinciden cuando se restringen a U(H ). Pero no así la inducida por la norma.

Explicaremos cómo surgen estas diferentes topologías y exploraremos algunas de sus propiedades en el grupo U(H ).

Desde los aportes de J. B. J. Fourier, y antecesores, en la aproximación de funciones por funciones periódicas y sus aplicaciones en la solución de las ecuaciones clásicas de la Física-Matemática, la historia ha mostrado que las funciones trigonométricas juegan un papel fundamental en diversos campos de la ciencia y tecnología.  Sin embargo, la generosidad de las funciones senoidales se ve limitada en algunos aspectos. Las ondículas son una alternativa para el análisis de funciones, con aplicaciones en el análisis de señales y procesamiento de imágenes, eliminación de ruido, compresión de audio e imágenes, reconocimiento de patrones; aplicaciones en astrofísica, la geofísica de los movimientos sísmicos, óptica, mecánica cuántica, etc.

Este trabajo es conjunto con el Dr. Sergei Grudsky y nuestro alumno de doctorado M. en C. Alejandro Soto González.

Consideramos las matrices de Laplace de grafos cíclicos, donde una arista tiene peso α y las demás tienen peso 1. En este trabajo suponemos que 0 < α < 1.

Denotamos por n el orden del grafo y suponemos que n tiende a infinito. Es fácil ver que los valores propios pertenecen al segmento [0, 4] y están asintóticamente distribuidos como la función g(x)=4sin^2(x/2) en el dominio [0,π]. Nosotros investigamos el comportamiento individual de los valores propios.

Primero, describimos de manera más precisa su localización en subintervalos de [0, 4].

Segundo, transformamos la ecuación característica a una forma conveniente para resolver con métodos numéricos. En particular, demostramos la convergencia del método de Newton para esta ecuación.

Tercero, encontramos fórmulas asintóticas para todos los valores propios.

Esperamos que nuestros resultados puedan ser útiles en el análisis de soluciones de la ecuación de onda y de la ecuación de calor sobre este tipo de grafos.

El análisis armónico ha estado consolidado como una herramienta esencial en las matemáticas por al menos doscientos años, desde que Joseph Fourier publico su artículo fundamental Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corpes solides en 1807.

En el análisis armónico, una herramienta importante es La fórmula de la suma de Poisson, la cual establece una relación estrecha entre los valores en los enteros de una función y su transformada de Fourier. Esta fórmula ha jugado un papel relevante en la teoría de números y la teoría de representaciones, tanto en su aplicación directa como por sus generalizaciones.

En esta plática mostraré algunas de las aplicaciones clásicas y actuales de la fórmula de la suma de Poisson, especialmente en el programa de Langlands, donde juega un papel prominente tanto en su forma original como en sus generalizaciones.