Введение в группы классов отображений

Курс проходил в НМУ в весеннем семестре 2020.

Осенью состоится повторный экзамен. Желающим его сдать необходимо до 15 сентября написать на почту ryabichev@179.ru.

Здесь выложены материалы курса: слайды лекций [с добавленными комментариями], а также задачи.

Решения задач можно продолжать присылать на почту ryabichev@179.ru не позднее 13 сентября. Если есть какие-то вопросы -- пишите тоже.

Тем, кто решит и сдаст не менее 2/3 задач не менее чем из 2/3 всех листков, зачёт по курсу будет ставиться без экзамена.

Для сдающих экзамен, количество задач на экзамене будет уменьшено пропорционально числу сданных задач из листков.

Лекция 1. Мы поговорили про поверхности и про изотопии отображений между ними. В конце мы определили группу классов отображений и вычислили её для нескольких поверхностей. Задачи к лекции 1.

Лекция 2. Сначала мы немного поговорили про кривые на поверхностях. Затем посмотрели на гиперболическую плоскость и на её автоморфизмы. В конце мы попробовали применить гиперболическую геометрию чтобы изучать кривые, но успели немногое. Задачи к лекции 2.

Лекция 3. Мы ещё поговорили про поднятия замкнутых кривых и про геодезические. Потом определили число пересечения пары простых замкнутых кривых и доказали критерий двуугольника. Задачи к лекции 3.

Лекция 4. Сегодня мы определили скручивания Дена, доказали что они корректно определены для классов кривых и что для существенных кривых они нетривиальны. В конце мы доказали точность последовательности Бирман. Задачи к лекции 4.

Лекция 5.  Мы доказали теорему Дена-Ликориша. Задачи к лекции 5.

Лекция 6. Лекция прошла в зуме. Даже скорее семинар -- и это очень хорошо, по-моему. Мы плотно обсудили группы кос (чистых/крашеных) и взгляд на них с точки зрения конфигурационных пространств, а также образующие и соотношения. Трёхмерные многообразия не успели, они будут в следующий раз. Задачи к лекции 6.

Лекция 7. Мы поговорили про трёхмерные многообразия, а именно про разбиение Хегора, про перестройки сферы по зацеплениям, и про то, почему группа трёхмерных кобордизмов тривиальна. Задачи к лекции 7.

Лекция 8. Мы начали доказывать теорему о конечной представимости группы классов отображений. Успели разобрать лемму о стягиваемости комплекса дуг. Лемму о действии группы на стягиваемом комплексе -- не успели. Задачи к лекции 8.

Лекция 9. Мы закончили доказательство теоремы о конечной представимости, а также наконец разобрались с принципом Александера (с помощью него мы показали, что стабилизатор класса изотопии кривой корректно отображается в группу классов отображений дополнения до этой кривой). Задачи к лекции 9.

Лекция 10 (Игорь Спиридонов). Мы доказывали, что группа Торелли порождается BP-скручиваниями, по статье Хатчера и Маргалита. Был введён новый комплекс кривых, и из его связности удалось вывести шаг индукции по роду поверхности. Задачи к лекции 10.

Лекция 11 (Игорь Спиридонов). Мы начали доказывать, что комплекс кривых, гомологичных данной, связен. Для этого был введён некоторый дополнительный комплекс 1-циклов (с картинками из статьи Маргалита и компании). Мы успели доказать стягиваемость этого комплекса. Задачи к лекции 11.

Лекция 12 (Игорь Спиридонов). Мы закончили доказывать теорему о порождающих группы Торелли. Задачи к лекции 12.

Лекция 13. Мы определили пространство Тейхмюллера и вычислили его для тора и для штанов (сферы с тремя дырками). Задачи к лекции 13.

Лекция 14. Мы доказали, что пространство Тейхмюллера поверхности рода g гомеоморфно евклидову пространству размерности 6g-6. Задачи к лекции 14.

Лекция 15. Мы поговорили про комплексное растяжение, квазиконформные отображения, и про измеримые слоения немного в конце. Задачи к лекции 15.

До доказательства классификации Нильсена-Тёрстона мы дойти далеко не успели. Поэтому, скорее всего, в сентябре будет вторая часть, про пространство Тейхмюллера с начала и дальше по оглавлению. Обновления на сайте НМУ.

Литература к курсу -- периодически обновляется

Примерная программа:

• • классификация поверхностей; накрытие гиперболической плоскостью;

  • кривые на поверхности и фундаментальная группа; простые замкнутые кривые, принцип замены координат;

  • группы классов отображений, примеры вычисления (диск, кольцо, тор, диск с проколами);

  • точная последовательность Бирман;

  • теорема Дена-Ликориша; конечная порождённость группы классов отображений;

  • числа пересечения кривых, действие группы классов отображений на комплексе кривых;

  • конечная представимость группы классов отображений; образующие и соотношения;

и бонус, в зависимости от того, сколько будет оставаться времени:

• • пространство модулей комплексных кривых и пространство Тейхмюллера;

  • трёхмерные многообразия, разбиение Хегора, перестройки по зацеплениям;

  • группа Торелли;

  • группа классов отображений неориентируемой поверхности.

Для понимания курса желательно владеть: базовой топологией (непрерывные отображения, гомотопии, фундаментальная группа, накрытия) и базовой теорией групп (задание групп образующими и соотношениями).

В целом курс следует первой части книги Farb, Margalit. A primer on mapping class groups.