Элементы геометрической и дифференциальной топологии
Элементы геометрической и дифференциальной топологии
Андрей Рябичев
Андрей Рябичев
Здесь публикуются материалы курса, читаемого в НМУ в осеннем семестре 2022 года. Курс проходит по четвергам первой парой, с 17:30 до 19:10.
По курсу состоится ПОВТОРНЫЙ ДОМАШНИЙ ЭКЗАМЕН на неделе 6-12 февраля 2023. Желающим его сдавать просьба написать об этом своём желании на почту ryabichev@179.ru не позднее 5 февраля.
К каждой лекции выкладываются листки с задачами.
Сдавшим не менее 2/3 задач не менее чем из 2/3 всех листков зачёт по курсу будет ставиться без экзамена. Для сдающих экзамен количество задач на экзамене будет уменьшено пропорционально числу сданных задач из листков. Вот кондуит.
Решения задач можно присылать на почту ryabichev@179.ru. Если есть какие-нибудь вопросы, тоже не стесняйтесь писать. А ещё у нас есть чат в телеграме, заходите!
22 декабря состоится лекция 11. Мы поговорим про хирургию векторных расслоений, соответствующую особенностям, и про характеристические классы.
8 декабря вместо лекции был семинар в зуме, немного поговорили про локальные системы и смежные вопросы гомологической алгебры.
1 декабря, лекция 10 (видео, первые 20 минут без звука). Мы увидели, как многообразия Бордмана в пространстве струй можно определить более геометрично, а также доказали существование многочленов Тома, выражающих замыкания особенностей через классы Штифеля-Уитни. Задачи к лекции 10.
24 ноября, лекция 9 (видео). Мы обсудили первый способ определить многообразия Бордмана в пространстве струй, прообразами которых являются особенности заданного бордмановского типа. Кроме того мы разобрали важный пример бордмановской особенности Σ¹¹¹, обычно называемой "ласточкиным хвостом". Задачи к лекции 9.
17 ноября, лекция 8 (видео). Мы коротко обсудили устойчивость ростков. После этого мы сформулировали и даже наметили доказательство нескольких версий теоремы Тома о трансверсальности и, пользуясь ею, определили бордмановскую классификацию особенностей. Задачи к лекции 8.
10 ноября, лекция 7 (видео). Мы обсудили ряд определений: эквивалентность ростков, топология Уитни, типичные отображения. Также мы сформулировали теорему Уитни и порисовали складки и сборки. Задачи к лекции 7.
27 октября, лекция 6 (видео). Мы поговорили про степень отображения между многообразиями, научились считать класс Эйлера глядя на нули общего сечения, а также расклассифицировали расслоения ранга 2. Задачи к лекции 6.
20 октября, лекция 5 (видео). Мы продолжили разговор про теорию препятствий с локальными коэффициентами, определили класс Эйлера и немного поговорили про его свойства. Задачи к лекции 5.
13 октября, лекция 4 (часть видео). Мы поговорили про не гомотопически простые пространства и теорию препятствий с локальными коэффициентами. Задачи к лекции 4.
6 октября вместо лекции состоится семинар, в дистанционном формате. Пишите, какие вопросы или задачи из листков хотелось бы обсудить. Ссылка на зум появится в чате.
29 сентября, лекция 3 (видео). После напоминания и обсуждения определений цепных комплексов с локальными коэффициентами, мы определили cup- и cap-умножения, а также доказали теорему о двойственности Пуанкаре (но только для триангулированных многообразий). Задачи к лекции 3.
22 сентября, лекция 2 (видео). В начале мы пообсуждали связь разных определений сингулярных комплексов с локальными коэффициентами. Затем мы разобрали (пока без доказательств) конструкции клеточного и симплициального комплексов с локальными коэффициентами, а также определение cap-произведения. В конце ещё разобрали пример, как считать гомологии явно. Задачи к лекции 2.
15 сентября, лекция 1 (видео). Мы обсудили несколько определений локальных систем, определили комплекс и сформулировали пару свойств гомологий с локальными коэффициентами. Задачи к лекции 1.
В этом курсе я собираюсь разобрать два топологических сюжета и в процессе познакомить слушателей с используемыми в них интересными техническими приёмами.
Первый сюжет связан с теорией препятствий. Обычно, когда говорят про препятствия, требуют односвязности базы. Мы рассмотрим противоположную ситуацию — и появляющуюся в ней технику когомологий с локальными коэффициентами.
Второй сюжет повествует о множестве критических точек «общего» отображения между многообразиями. Мы увидим, как класс гомологий этого множества (и даже классы некоторых естественных его частей) выражаются через классы Штифеля-Уитни данных многообразий.
Курс рассчитан на студентов 3–5 курса. Для понимания потребуется владение основными приёмами работы с многообразиями и знание базовой алгебраической топологии: гомотопические группы, гомологии, локально-тривиальные и векторные расслоения.
Вот примерная программа.
I. Расслоения и препятствия
• локальные системы (взгляд со стороны пучков / сингулярных/клеточных когомологий);
• гомологии многообразий с локальными коэффициентами, двойственность Пуанкаре;
• теория препятствий, препятствия с локальными коэффициентами;
• расслоения, главные расслоения (напоминание), характеристические классы;
** хирургия векторных расслоений и попытка контроля характеристических классов.
II. Классы особенностей гладких отображений
• классификация особенностей по Бордману;
• пространство струй;
• многочлен Тома для классов Бордмана;
** теория стратификаций.
III. Если в конце останется время, мы обсудим, где эти два сюжета встречаются между собой — классификацию отображений с заданными особенностями.
Книги:
Арнольд, Варченко, Гусейн-Заде. Особенности дифференцируемых отображений;
Мишачев, Элиашберг. Введение в h-принцип;
Милнор, Сташеф. Характеристические классы;
Прасолов. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии;
Davis, Kirk. Lecture notes in algebraic topology;
Whitehead. Elements of Homotopy Theory.
Статьи:
Kazarian. Thorn polynomials (2006);
Kazarian. Morin Maps and Their Characteristic Classes (2006);
Spanier. Singular homology and cohomology with local coefficients and duality for manifolds (1993).
Просто записки лекций, по-моему неизданные:
Васильев. Доп. главы топологии (3–4 курс). 2011/2012 учебный год. http://vyshka.math.ru/1112/topology-34.html