Ejercicios Estadistica I

2. Ejemplo:

Los siguientes datos representan la temperatura del fluido de descarga de una planta para el tratamiento de aguas negras, durante varios días consecutivos ( Presentado por: Cabeza Mariannis)

5 8 10 14 15 23 25 28 29 30

30 35 36 40 43 44 44 45 45 46

46 46 47 48 48 49 49 49 49 50

50 50 50 51 51 51 52 53 55 57

60 66 70 72 75 75 84 84 88 94 n= 50

Buscamos el valor menor y mayor del conjunto de datos y determinamos su rango (=R)

X_min = 5

X_may = 94 Luego determinamos el RANGO (=R)

R = X_may - X_min = 94 - 5 = 91

Determinamos el numero de clases (= NC)

Ahora calculamos la amplitud de clases (=Ac)

Ac= R/Nc = 91 / 7 = 13

Con los datos anteriores construimos nuestra Distribución de Frecuencias

Calculemos ahora la Media aritmética, la mediana, la moda, el primer cuartil, el tercer cuartil, Desviación Cuartílica, Coeficiente de Variación, Varianza y Desviación Típica:

Media aritmética:

Varianza:

La Desviación Típica:

La Mediana.

Para su cálculo debemos encontrar la clase medianal, la que contiene a la mediana. Para ello dividimos el número de observaciones (n=50) entre 2 y buscamos el resultado en la columna de la frecuencia acumulada (= Fi ). En este ejemplo, n= 25 y se corresponde con la clase:

(44 - 57)

Aplicamos la fórmula:

La Moda.

Para el cálculo de la moda, buscamos la clase que tenga la frecuencia absoluta simple de mayor tamaño y esa será la clase modal. En nuesro ejemplo se corresponde con la misma clase de la mediana; es decir: (44-57) y aplicamos la siguiente fórmula:

Coeficiente de Variación (=CV )

Es el cociente entre la desviación típica entre la media aritmética, multiplicado por cien para expresarlo en porcentaje

Primer Cuartíl.

El primer cuartil (= Q1) se calcula determinando primero su clase, para ello se busca el valor 1/4*n, en nuestro ejemplo tenemos que: 1/4*50=12.5 = 13 y este resultado se busca por la frecuencia absoluta acumulada y vemos que está comprendido en la tercera clase:

31 - 44

Una vez determinada la clase que corresponde al primer cuartíl, aplicamos la fórmula:

Tercer Cuartil

De manera parecida calculamos el tercer cuartil (= Q3). Determinamos su clase buscando el valor 3/4*n = 0.75*50 = 38 y este resultado se busca en la columna de la frecuencia absoluta acumulada y vemos que se localiza en la cuarta clase: 44 - 57

Desviación Cuartílica.(= DQ)

Se calcula dividiendo entre dos la diferencia del tercer menos el primer cuartil.

3.Dados los siguientes datos: 12, 10, 4, 18, 24, 36 ¿Calcule la mediana?

Resp.

Ordenamos los valores:

La mediana es la semisuma de los dos valores medios (Md = 30/2=15)

4) Los siguientes datos corresponden a los registros de un banco comercial e indican que durante la última semana del mes de enero del año 2008, fueron aperturadas 30 cuentas de ahorro con los siguientes depósitos en miles de bolívares

1500 1075 2000 1870 2090 1725

1800 1150 1950 1675 1780 1690

1400 2025 1710 1180 1680 1600

1175 1675 1560 1440 1575 1700

1250 1495 1340 1500 1010 1725

Se pide:

a) Identificar la variable objeto de estudio

Depósitos aperturados

b) Tipo de variables

Cuantitativas ( valores discretos)

c) Unidad en la que esta expresada la variable

En miles de bolívares

d) ¿Los datos provienen de una población o una muestra?

De una muestra

Media= 1578.17 Mediana= 1637.5 Moda=1500

Varianza= 82259.45 Desv.Típica=286.81

1r.cuartil= 1410 2d.cuartil=1637.5 3r.cuartil=1725

5) Problema alumnos de la UDO:

Los siguientes datos representan el número de tomates rechazados por dia en un mercado mayorista. Los datos corresponden a 50 días seleccionados aleatoriamente. (fuente:fisicanet)

29 58 80 35 30 23 88 49 35 97

12 73 54 91 45 28 61 61 45 84

83 23 71 63 47 87 36 8 94 26

95 63 86 42 22 44 88 27 20 33

28 91 87 15 67 10 45 67 26 19

a. Construir una tabla de frecuencia con 7 intervalos de clase e igual amplitud (c=13)

n = 50

b) Construya un histograma basado en la tabla anterior

c) En base a la distribución de frecuencias anterior. Calcule la media aritmética. ¿Qué valor de la variable es superado por el 50% de las observaciones (= mediana)?. ¿Cuál es el valor de la variable que se presenta un mayor número de veces (= moda) ?. Calcule la desvición típica y el coeficiente de variación. Calcule la desviación cuartílica.

El valor de la variable superado por el 50% es el valor de la mediana= 45.55

El valor de la variable que se presenta un mayor número de veces es la Moda=30.29

Para encontrar la desviación cuartílica, debemos calcular antes la primera y tercera cuartilas

6. La distribución de las puntuaciones en una escala de hostilidad, de una muestra de 160 individuos, se refleja en la siguiente distribución:

a) ¿Entre cuáles valores se encuentra el 50% central de los individuos?

b) Calcule el percentil 27

c) ¿A partir de cuál puntuación se encuentra el 12% de los sujetos más hostiles?

d) Si descontamos el 15% de los individuos menos hostiles y el 15% de los más hostiles. ¿En cuál intervalo de puntuación se encuentran los restantes?

Tomado de: Problemas de Análisis de Datos. Dr. José M. Salinas

Respuestas:

a) El 50% de los individuos se encontrará entre el Percentil 25 y el percentil 75. El P₂₅ deja por debajo el 25% inferior, y el P₇₅ dejará por encima el 25% superior. Por consiguiente entre ambos percentiles se encontrará el 50% central. Para calcular el percentil 25, determinamos el 25% de n ( =0.25*160) = 40, buscamos éste valor por la columna de la frecuencia absoluta acumulada (=Fi) y vemos que se encuentra en el inetrvalo 20 - 30 y aplicamos la fórmula:

Para encontrar el percentil 75, determinamos el 075 * n = 0.75* 160 = 120 y vemos que éste valor se encuentra en el intervalo: 40 - 50 y aplicamos la fórmula:

Luego el 50% buscado estará entre los dos valores anteriores (23.13 a 45)

b) El percentil 27, estará en: 0.27 *n = 0.27* 160 = 43.2. Este valor se encuentra en la frecuencia acumulada correspondiente al intervalo: 20 -- 30 y su valor es dado por la fórmula:

c) El valor que deja por encima el 12% de lo sujetos más hostiles, es el mismo que deja por debajo el 88% con menores puntuaciones de hostilidad; por tanto debemos calcular el percentil 88. El 88% del tamaño de la muestra vale 140.8 (=0.88*n). Aplicando la fórmula, tenemos:

d) Se aplica un razonamiento parecido al caso a. Buscamos el percentil 15 que deja por debajo el 15% de los sujetos con menor hostilidad y el percentil 85 que dejara por encima al 15% de los sujetos con mayor hostilidad, aplicamos las fórmulas:

7) Hemos medido la variable neurotismo en un grupo de individuos, obteniendo los siguientes resultados:

3, 5, 3, 6, 4, 2, 8, 3, 7, 5, 8, 9, 4, 5, 5, 3

Se pide calcular la Desviación Media (= DM) y la Desviación Típica (= s).

Solución:

Calculamos primero la media:

Ahora calculamos las desviaciones de cada valor con respecto a la media, tomamos valores absolutos de las desviaciones para calcular la Desviación Media y luego elevamos al cuadrado las desviaciones para encontrar la Desviación Típica.

En base a la tabla anterior calculamos, la Desviación Media (= DM), según la fórmula:

Ahora calcularemos la Varianza (= s²) y la Desviación Típica (= s)

Dios habla por las matemáticas

8) En la ejecución de un estudio para determinar la situación de empleo a un grupo de profesionales, se seleccionó una muestra de éstos de forma aleatoria para conocer la composición por categoría profesional. Construya una distribución de frecuencias, identifique la variable, de ejemplo de estadísticos. Hacer el gráfico de sector, barras e histogramas:

Administrador Economista Abogado ingeniero

Contador Abogado Administrador médico

Abogado Contador Ingeniero economista

Administrador Abogado Contador ingeniero

Abogado Médico Médico

d.) Cálculo de la Moda (=Mo)

e.) Cálculo de la Varianza (=S²)

f.) Cálculo del Primer Cuartíl (=Q₁)

g.) Cálculo del Tercer Cuartil (=Q₃)

h.) Cálculo de la Desviación Cuartílica(= DQ)

Dios habla por las matemáticas