Resúmenes

Resúmenes

• Small noise dynamical systems and its applications (Sergio Ángel Almada, UNC-Chapel Hill)

In this talk I will give an outline of the so called Freidlin-Wentzell theory and its recent extensions. Broadly, this theory studies the exponential rate at which the probabilities of rare events related to random perturbation of ODE decays. The typical situation is when an ODE has several stable equilibria; the main consequence of this theory establishes the most likely paths in which the unlikely event for which the randomly perturbed system goes from one equilibria to the other. In recent developments I will outline how recent approaches allows to distinguish between paths that are otherwise exponentially equivalent. The consequences and applications of the results obtained with these new methods in areas such as computational chemistry and psychology are briefly covered.

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• Products of free random variables and k-divisible partitions (Octavio Arizmendi, Universität des Saarlandes)

We derive a formula for the moments and the free cumulants of the multiplication of k free random variables in terms of k-equal and k-divisible non-crossing partitions. This leads to a new simple proof for the bounds of the right-edge of the support of the free multiplicative convolution

, first obtained by Kargin, which show that the support grows at most linearly with k. This is joint work with Carlos Vargas.

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• Sobre la dinámica de homeomorfismos de (Pablo Dávalos, Universidade de São Paulo)

Para un homeomorfismo del círculo homotópico a la identidad , H. Poincaré definió el número de rotación

, siendo éste un invariante topológico que posee información dinámica. Por ejemplo, es racional ssi tiene órbitas periódicas, y

es irracional ssi existe un `modelo' para la dinámica de .

El concepto de número de rotación puede ser extendido a contextos más generales, en particular para homeomorfismos homotópicos a la identidad de

. Es también un invariante topológico, y bastante se ha estudiado sobre la información dinámica que tiene asociada. Hablaremos sobre algunos de estos resultados, herramientas y preguntas en abierto.

• No free lunch theorems (Edgar Duéñez, Harvard University & K.U. Leuven)

Heuristic optimization algorithms are widely used in problem solving but their theoretical foundations are still poorly understood. By abstracting such heuristics as a walk through the search space, some symmetries of the space of algorithms become evident. No free lunch (NFL) theorems study such symmetries and aim to understand the intrinsic limitations of algorithms as well as to formalize their performance measurement. Here we review several NFL theorems, and provide a new result for algorithms limited to a fixed number of steps.

• Decompositions and topological games in function spaces (David Guerrero Sánchez, Universidad de Murcia)

for which it is possible to find a closure-preserving cover by countably compact spaces of but

is not countably compact. We will also show that quite a few topological properties can be characterized in spaces

by means of the study of the topological games defined by R. Telgarsky on such function spaces.

• Triangulaciones de superficies, carcajes con potenciales y mutaciones (Daniel Labardini, Universität Bonn)

Consideremos un polígono P y una triangulación T de P, esto es, una colección maximal de diagonales de P que no se cruzan en el interior de P. Cada diagonal en T puede ser sustituida de manera única con otra diagonal para formar otra triangulación T'. Esta sencilla sustitución combinatoria, conocida como 'flip' o 'movida de Whitehead', puede extenderse a triangulaciones de superficies orientadas con puntos marcados.

Ahora bien, cada triangulación da lugar a un carcaj (es decir, una gráfica dirigida), y la operación de 'flip' de triangulaciones resulta ser compatible con otra operación combinatoria, a saber, la 'mutación de carcajes' definida por Fomin-Zelevinsky.

Por otro lado, Derksen-Weyman-Zelevinsky han extendido la noción combinatoria de mutación al nivel algebraico a través de la 'mutación de carcajes con potenciales'. Cabe entonces preguntarse si cada triangulación da lugar no sólo a un carcaj, sino a un 'carcaj con potencial', de manera que los 'flips' sean compatibles con las 'mutaciones de carcajes con potenciales'. En esta plática abordaré esta pregunta, y si el tiempo lo permite, hablaré de motivaciones provenientes de álgebras de conglomerado (cluster algebras) y de contextos donde los potenciales asociados a triangulaciones han aparecido.

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• Bayesian inference from non-ignorable network sampling designs (Simón Lunagomez, Harvard University)

  • • Consider a population where subjects are susceptible to a disease (e.g. AIDS). The objective is to perform inferences on a population quantity (like the incidence of HIV on a high-risk subpopulation, e.g. intra-venous drug abusers) via sampling mechanisms based on a social network (link-tracing designs, RDS). We phrase this problem in terms of the framework proposed by Rubin (1976). A new notion of ignorability (graph-ignorability) is proposed for this context and it is proved that RDS is not graph-ignorable. We develop a general framework for making Bayesian inference on the population quantity that: models the uncertainty in the underlying social network using a random graph model, incorporates dependence among the individual responses according to the social network via a Markov Random Field, models the uncertainty regarding the sampling on the social network, and deals with the non-ignorability of the sampling design. The proposed framework is general in the sense that it allows a wide range of different specifications for the components of the model we just mentioned. Samples from the posterior distribution are obtained via Bayesian model averaging. Our model is compared with state of the art methods in simulation studies to show its superiority.

    • Work with Edoardo Airoldi.

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• Cobordismo algebraico equivariante (José Malagón, Ottawa University)

Definimos cobordismo algebraico equivariante para variedades algebraicas sobre un campo de característica cero con G-estructura, donde G es un grupo lineal algebraico conexo. La construcción está basada en la construcción debida a B. Totaro de grupos de Chow de espacios clasificantes. Vemos que nuestra teoría satisface las propiedades análogas de una teoría de cohomología orientada (a la Levine-Morel), las propiedades de una teoría de cohomología equivariante, y hacemos algunos cálculos. Este es un trabajo en conjunto con J. Heller.

• • Volume growth in sub-Riemannian manifolds (Isidro Munive, Purdue University)

In this talk we are going to cover different aspects related to volume growth both in the Riemannian and sub-Riemannian setting. In the first part of the presentation we are going to discuss the key role that volume growth plays in the study of boundary behavior of non-negative harmonic functions in the upper-half plane. The second part of the talk will be devoted to prove a volume comparison theorem for manifolds satisfying a generalization of the curvature-dimension inequality from Riemannian geometry. This inequality was recently introduced by Baudoin and Garofalo in the context of sub-Riemannian manifolds.

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• Generalized Lyubeznik numbers (Luis Núñez Betancourt, University of Michigan-Ann Arbor)

Using finiteness properties of local cohomology over regular local rings containing a field, Lyubeznik was able to define certain invariants of equal characteristic local rings, now called Lyubeznik numbers. These invariants provide essential information about the ring, and have extensive connections with geometry and topology, including etale cohomology and the connected components of certain punctured spectra. We generalize the definition for equal characteristic local rings, give examples of these generalized Lyubeznik numbers, and investigate their properties. Moreover, we give a definition that includes rings of mixed characteristic, and compare it to the original definition. This is joint work with Emily Witt.

• The cluster value problem in spaces of continuous functions (Sofía Ortega Castillo, Texas A&M University)

After giving an overview of some basic theory of Complex Analysis on Banach spaces, I will talk about the two main problems I am interested in: the corona problem and the cluster value problem. I will also give an outline of the ideas and techniques involved in proving a cluster value problem for certain spaces of continuous functions. This is joint work with William B. Johnson.

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• • Convergencia de Gromov-Hausdorff y convergencia plana intrínseca (Raquel Perales, SUNY-Stony Brook)

Dados dos espacios métricos compactos definimos la distancia de Gromov-Hausdorff entre ellos. En este caso esta distancia es una semimétrica que nos dice qué tan lejos están dos espacios de ser isométricos. Es entonces en el conjunto de las clases de isometrías de espacios métricos compactos donde tiene sentido hablar de distancia de Gromov-Hausdorff. Una vez que nos hemos hecho de una métrica es posible estudiar la convergencia de sucesiones. Después de varias definiciones, ejemplos y dibujos examinaremos el teorema de compacidad de Gromov, hipótesis en la curvatura de Ricci que implican el mismo resultado, propiedades del espacio límite y comparación de las propiedades del espacio límite usando la convergencia de Gromov-Hausdorff y la convergencia plana intrínseca.

• Límites inductivos de álgebras localmente seudoconvexas (Reyna María Pérez Tiscareno, University of Tartu)

Uno de los principales objetos de estudio en análisis funcional son los espacios vectoriales topológicos. Usualmente estos se consideran sobre el campo de los números reales o complejos. Sin embargo, el análisis funcional también estudia espacios vectoriales específicos con estructuras algebraicas adicionales. En mi trabajo considero algebras topológicas. Un álgebra topológica es un álgebra que es un espacio vectorial topológico con la multiplicación

separadamente continua.

Cuando el espacio vectorial topológico asociado al álgebra topológica es localmente seudoconvexo, se dice que el álgebra es localmente seudoconvexa. En esta plática se hablará de límites inductivos de álgebras localmente seudoconvexas y sus propiedades.

Esta investigación es apoyada por el programa de investigación MOBILITAS, MJD247.

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• Espacios simétricos y sus primos singulares los edificios Euclidianos (Carlos Ramos, Max Planck Institut für Mathematik)

Los espacios simétricos de tipo no compacto son ejemplos importantes de variedades Riemannianas (simplementes conexas) con curvatura no positiva. Recordaremos algunas de sus propiedades geométricas más importantes viendo el ejemplo del espacio de formas cuadráticas positivas definidas de covolumen uno. En el mundo de los espacios métricos en general es posible generalizar la idea de cotas superiores e inferiores en la curvatura. Los espacios con curvatura no positiva se llaman espacios CAT(0). En este contexto más general, los edificios Euclidianos son los análogos a los espacios simétricos para campos locales. En esta plática no tocaremos su naturaleza algebráica y más bien nos concentraremos en su aspecto geométrico y las similitudes con los espacios simétricos. Para ilustrar la estrecha relación que tienen estos dos tipos de espacios explicaremos su conexión con el problema de los eigenvalores: dados los eigenvalores de dos matrices hermitianas de traza cero ¿cuáles son los posibles eigenvalores de su suma?

• Representaciones del grupo simétrico infinito y algunas aplicaciones (Rodolfo Ríos, Princeton University)

En esta plática voy a explicar la combinatoria de las representaciones del grupo simétrico infinito y voy a explicar cómo se usan para contar cubrientes de una superficie de Riemann. Luego voy a hablar sobre cómo el comportamiento asintótico de esta cuenta se puede usar para calcular el volumen del espacio modular de diferenciales abelianas.

• Estructuras algebraicas en teorías topológicas cuánticas de campos (Carlos Segovia, Universidad de los Andes)

El estudio de aspectos topológicos de teorías cuánticas de campos, por el notable trabajo de Edward Witten, inspiró el desarrollo del concepto de una teoría topológica cuántica de campos por Michael Atiyah y Graeme Segal. Esta consiste de una asignación funtorial que parte de una categoría de cobordismos de alguna dimensión fija hacia la categoría de espacios vectoriales complejos. Estas estructuras en cada dimensión están caracterizadas por objetos algebraicos como representaciones de grupos, álgebras de Frobenius, álgebras de Hopf entre otras.

El objetivo de esta charla es dar un esbozo de cómo se tienen estas estructuras, así como exponer varios ejemplos.

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• • Holonomía menguante (Pedro Solórzano, UC-Riverside)

    • Con una transformación de holonomía fija dada, el problema isoholonómico es el problema de optimización en el que se busca la curva más corta tal que su transporte paralelo sea dicha transformación. La existencia de soluciones no es una cuestión baladí, pero de existir, la longitud de la solución se obtiene como un ínfimo de longitudes; mismo que siempre existe. La función que asigna a cada transformación de holonomía dicho ínfimo tiene más sustancia que la que en el pasado se le atribuyó. Veremos aquí que en ciertos casos muy naturales es además una norma de grupos.

    • Considerando una sucesión de espacios riemannianos como una sucesión de espacios métricos se puede discutir su convergencia en el sentido de Gromov-Hausdorff. De igual forma, es válido preguntarse qué ocurre con sendas estructuras asociadas; por ejemplo, los fibrados tangentes. Para esto, es menester primero dotarlos de una estructura métrica que sea natural (es decir que no dependa de los objetos sino de la construcción del tangente a partir del espacio base) y compatible métricamente con la estructura de su base. Sasaki introdujo una tal métrica. Misma que incorpora la noción de paralelismo y, por tanto, no debe asombrar que los grupos de holonomía también salgan a escena.

    • Daremos una fórmula explícita para la estructura métrica de los fibrados tangentes en términos de la estructura lineal de las fibras y de las normas en los grupos de holonomía. De igual modo, con dicha fórmula estudiaremos la convergencia de los tangentes y las estructuras que heredan los límites. Para esto introducimos la noción de holonomía menguante. Cabe aclarar que no es un concepto global; ni siquiera local. La presencia de distintos grupos "de mengua" arroja más preguntas que respuestas. En particular, las fibras de la proyección límite (que en cierto sentido sí es el límite de las proyecciones) son cocientes del espacio euclidiano por estos grupos. Finalmente, mostraremos condiciones geométricas bajo las cuales dichos grupos son triviales y por tanto las fibras del límite son espacios lineales.

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