Арифметика с плавающей запятой

Математически это записывается так:

(-1)^s × M × B^E, где s — знак, B-основание, E — порядок, а M — мантисса.

Основание определяет систему счисления разрядов. Математически доказано, что числа с плавающей запятой с базой B=2 (двоичное представление) наиболее устойчивы к ошибкам округления, поэтому на практике встречаются только базы 2 и, реже, 10. Для дальнейшего изложения будем всегда полагать B=2, и формула числа с плавающей запятой будет иметь вид:

(-1)^s × M × 2^E

Что такое мантисса и порядок?

Мантисса – это целое число фиксированной длины, которое представляет старшие разряды действительного числа. Допустим наша мантисса состоит из трех бит (|M|=3). Возьмем, например, число «5», которое в двоичной системе будет равно 101₂. Старший бит соответствует 2²=4, средний (который у нас равен нулю) 2¹=2, а младший 2⁰=1.

Порядок – это степень базы (двойки) старшего разряда. В нашем случае E=2. Такие числа удобно записывать в так называемом стандартном виде, например «1.01e+2». Сразу видно, что мантисса состоит из трех знаков, а порядок равен двум.

3. Представление чисел с плавающей запятой сегодня

В числах одинарной точности (float/single) порядок состоит из 8 бит, а мантисса – из 23. Эффективный порядок определяется как E-127. Например, число 0,15625 будет записано в памяти как

Рисунок взят из Википедии

В этом примере:

• Знак s=0 (положительное число)
• Порядок E=01111100₂-127₁₀ = -3
• Мантисса M = 1.01₂ (первая единица не явная)
• В результате наше число F = 1.01₂e-3 = 2^-3+2^-5 = 0,125 + 0,03125 = 0,15625

Чуть более подробное объяснение:

Здесь мы имеем дело с двоичным представлением числа «101» со сдвигом запятой на несколько разрядов влево. 1,01 — это двоичное представление, означающее 1×2⁰ + 0×2^-1 + 1×2^-2. Сдвинув запятую на три позиции влево получим 1,01e-3 = 1×2^-3 + 0×2^-4 + 1×2^-5 = 1×0,125 + 0×0,0625 + 1×0,03125 = 0,125 + 0,03125 = 0,15625.

3.1 Специальные числа: ноль, бесконечность и неопределенность

В IEEE754 число «0» представляется значением с порядком, равным E=E_min-1 (для single это -127) и нулевой мантиссой. Введение нуля как самостоятельного числа (т.к. в нормализованном представлении нельзя представить ноль) позволило избежать многих странностей в арифметике. И хоть операции с нулем нужно обрабатывать отдельно, обычно они выполняются быстрее, чем с обычными числами.

В IEEE754 число «0» представляется значением с порядком, равным E=E_min-1 (для single это -127) и нулевой мантиссой. Введение нуля как самостоятельного числа (т.к. в нормализованном представлении нельзя представить ноль) позволило избежать многих странностей в арифметике. И хоть операции с нулем нужно обрабатывать отдельно, обычно они выполняются быстрее, чем с обычными числами.

Также в IEEE754 предусмотрено представление для специальных чисел, работа с которыми вызывает исключение. К таким числам относится бесконечность (±∞) и неопределенность (NaN). Эти числа позволяет вернуть адекватное значение при переполнении. Бесконечности представлены как числа с порядком E=E_max+1 и нулевой мантиссой. Получить бесконечность можно при переполнении и при делении ненулевого числа на ноль. Бесконечность при делении разработчики определили исходя из существования пределов, когда делимое и делитель стремиться к какому-то числу. Соответственно, c/0==±∞ (например, 3/0=+∞, а -3/0=-∞), так как если делимое стремиться к константе, а делитель к нулю, предел равен бесконечности. При 0/0 предел не существует, поэтому результатом будет неопределенность.

Неопределенность или NaN (от not a number) – это представление, придуманное для того, чтобы арифметическая операция могла всегда вернуть какое-то не бессмысленное значение. В IEEE754 NaN представлен как число, в котором E=E_max+1, а мантисса не нулевая. Любая операция с NaN возвращает NaN. При желании в мантиссу можно записывать информацию, которую программа сможет интерпретировать. Стандартом это не оговорено и мантисса чаще всего игнорируется.

Как можно получить NaN? Одним из следующих способов:

• ∞+(- ∞)
• 0 × ∞
• 0/0, ∞/∞
• sqrt(x), где x<0

По определению NaN ≠ NaN, поэтому, для проверки значения переменной нужно просто сравнить ее с собой.

Зачем нулю знак (или +0 vs -0)

Любознательный читатель вероятно уже замелил заметил, что в описанном представлении чисел с плавающей запятой существует два нуля, которые отличаются только знаком. Так, 3·(+0)=+0, а 3·(-0)=-0. Но при сравнении +0=-0. В стандарте знак сохранили умышленно, чтобы выражения, которые в результате переполнения или потери значимости превращаются в бесконечность или в ноль, при умножении и делении все же могли представить максимально корректный результат. Например, если бы у нуля не было знака, выражение 1/(1/x)=x не выполнялось бы верно при x=±∞, так как 1/∞ и 1/-∞ равны 0.

Еще один пример:

(+∞/0) + ∞ = +∞, тогда как (+∞/-0) +∞ = NaN

Чем бесконечность в данном случае лучше, чем NaN? Тем, что если в арифметическом выражении появился NaN, результатом всего выражения всегда будет NaN. Если же в выражении встретилась бесконечность, то результатом может быть ноль, бесконечность или обычное число с плавающей запятой. Например, 1/∞=0.

3.4 Очередность чисел в IEEE754

Одна из удивительных особенностей представления чисел в формате IEEE754 состоит в том, что порядок и мантисса расположены друг за другом таким образом, что вместе образуют последовательность целых чисел {n} для которых выполняется:

n<n+1 ⇒ F(n) < F(n+1), где F(n) – число с плавающей запятой, образованное от целого n, разбиением его битов на порядок и мантиссу.

Поэтому если взять положительное число с плавающей запятой, преобразовать его к целому, прибавить «1», мы получим следующее число, которое представимо в этой арифметике. На Си это можно сделать так:

float a=0.5; int n = *((int*) &a); float b = *((float*) &(++n)); printf("После %e следующее число: %e, разница (%e)\n", a, b, b-a); 

Этот код будет работать только на архитектуре с 32-битным int.

4. Подводные камни в арифметике с плавающей запятой

Теперь – к практике. Рассмотрим особенности арифметики с плавающей запятой, к которым нужно проявить особую осторожность при программировании.

^{https://habrahabr.ru/post/112953/}