Metodi Matematici della Fisica
Argomenti del corso
Numeri complessi.
Formule di De Moivre.
Radice n-esima di un numero complesso.
Domini ed ordine di connessione.
Funzioni di variabile complessa.
Funzioni analitiche.
Condizioni di Cauchy-Riemann.
Analiticità ed armonicità.
Integrali di linea sul piano complesso.
Curva di Jordan.
Disuguaglianza di Darboux.
Teorema di Green (o formula di Gauss-Green). Lemma di Gauss.
Primo teorema integrale di Cauchy.
Secondo teorema integrale di Cauchy (Rappresentazione integrale di Cauchy).
Teorema sulla derivabilità infinita delle funzioni analitiche.
Teorema di Morera.
I e II Teorema della media.
Raggio di convergenza di una serie di potenze.
Serie geometrica, esponenziale, trigonometriche, iperboliche e del logaritmo.
Sviluppi in serie nel piano complesso: Serie di Taylor.
Raggio di convergenza nella serie di Taylor.
Continuazione analitica (Weierstrass).
Funzioni monodrome e polidrome.
Serie di Laurent.
Poli e singolarità essenziali.
Teorema dei residui.
Calcolo dei residui.
Funzioni analitiche e calcolo di integrali.
Calcolo di integrali tramite i residui.
Lemma di Jordan.
Residuo all'infinito.
Singolarità sul cammino di integrazione.
Valore principale di un integrale.
Funzioni analitiche polidrome.
Punti di diramazione e tagli.
Superfici di Riemann.
Spazi Vettoriali a dimensione finita.
Spazi vettoriali sui complessi a dimensione finita nella notazione di Dirac.
Prodotto scalare.
Norma e distanza.
Ortogonalita' di un set di vettori.
Operatori lineari.
Commutatore ed anti-commutatore.
Esponenziale di un operatore.
Inverso di un operatore.
Operatore aggiunto o hermitiano coniugato.
Operatori hermitiani.
Operatori unitari.
Autovalori ed Autovettori di un operatore.
Autovalori ed Autovettori di un operatore hermitiano.
Teoria delle rappresentazioni vettori, matrici e prodotto scalare.
Trasformazioni di similitudine.
Autovalori ed autovettori.
Diagonalizzazione di matrici hermitiane.
Matrici normali.
Esistenza di una base di autovettori comuni per due operatori normali che commutano.
Diagonalizzazione di matrici unitarie.
Decomposizione spettrale di una matrice hermitiana.
Funzioni di matrici.
Matrici di Pauli.
Spazi Vettoriali a dimensione infinita.
Passaggio ad infiniti gradi di liberta'.
Equazione di d'Alembert.
Quadro problematico dell'individuazione di uno spazio funzionale normato completo.
Spazi di Hilbert.
Serie di Fourier (o serie trigonometrica).
Spazi L2.
Teorema di Riesz-Fischer.
Teorema di Fourier.
Spazi di Hilbert.
Serie di Fourier e disuguaglianza di Bessel.
Sistemi ortonormali e completi.
Identita' di Parseval.
Spazi di Hilbert separabili.
Transitivita' della completezza.
Sistemi di funzioni completi in L2: Funzioni trigonometriche ed esponenziali.
Serie di Fourier del segnale Onda Quadra, Onda Triangolare e a Dente di Sega.
Spazi l2 - completezza ed isomorfismo con H.
Trasformazioni lineari in spazi di dimensione infinita.
Limitatezza di trasformazioni lineari.
Continuita' di trasformazioni lineari.
Operatore Aggiunto.
Operatore Simmetrico o Hermitiano.
Trasformazioni Unitarie.
Autovalori ed Autovettori di un operatore.
Spettro un un operatore.
Equazioni differenziali alle derivate parziali.
Classificazione delle PDE.
Equazione delle onde o della corda vibrante.
Equazione del caloro o di diffusione o di Fourier.
Equazione di Laplace.
Significato disico delle soluzioni dell'equazione d'onda.
Equazione di d'Alembert con condizioni al contorno di Dirichlet e di Von Neumann: risoluzione in termini della serie di Fourier delle condizioni iniziali.
Derivazione dell'equazione del calore.
Equazione del calore: risoluzione in termini della serie di Fourier delle condizioni iniziali.
Trasformata di Fourier.
Problema di Sturm-Liouville.
Dalla serie alla trasformata di Fourier.
Proprieta' della FT.
Prodotto di convoluzione e FT.
Continuita' della FT.
Trasformata e derivazione: derivata della trasformata e trasformata della derivata.
Estensione della FT dal L1 ad L2.
Uguaglianza di Parseval.
Inversione della trasformata.
Unitarieta' della FT.
Trasformazione degli operatori sotto FT: operatore traslazione, derivata e moltiplicazione per x.
Polinomi di Hermite.
Funzioni di Hermite come set completo dell'operatore FT.
Trasformata di Fourier di una Gaussiana.
FT come analisi in frequenza e relazione di indeterminazione.
Calcolo della FT ed anti-FT di alcune funzioni.
Funzione di Green.
Delta di Dirac e sue rappresentazione intagrale e come limite di funzioni gradino.
Funzione di Green per operatori differenziali lineari.
Soluzione generale di una equazione differenziale lineare non omogenea.
Applicazioni del metodo della funzione di Green: Circuito RL; Equazione delle onde 1+1 e 1+3 dimensioni.
Applicazioni del metodo della funzione di Green:
Equazione del calore;
Equazione di Poisson.
Trasformata di Laplace.
Trasformata di Laplace.
Ascissa di convergenza.
Criterio di trasformabilita'.
Proprieta' della LT.
Olomorfia della LT.
Derivata del LT.
Trasformata di Laplace della derivata.
Inversione della LT.
Relazione tra LT e FT.
Applicazioni: Funzioni periodiche, circuito RLC in serie, equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti.
LT di f/x.
Distribuzioni temperate.
Introduzione alla teoria delle distribuzioni.
Spazio S delle funzioni test.
Distribuzioni temperate S' come duale di S.
Confronto con L2 e teorema di Riesz.
Convergenza in S.
Convergenze debole in S'.
Distribuzione delta di Dirac.
Rappresentazioni esplicite della delta di Dirac.
Distribuzione associata alla funzione di Heaviside.
Derivata di una distribuzione.
Derivata della funzione di Heaviside.
Derivata della delta di Dirac.
Trasformata di Fourier di una distribuzione.
Alcune applicazioni delle distribuzioni.
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Complex Numbers.
De Moivre's formulas.
n-th root of a complex number.
Multiply connected domains.
Functions of a complex variable.
Analytic functions.
Cauchy-Riemann conditions.
Analytic and harmonic functions.
Line integrals on the complex plane.
Jordan's curves.
Darboux's inequality.
Greens's theorem (Gauss-Green formula).
Gauss's lemma.
Cauchy's first integral theorem.
Cauchy's second integral theorem (integral representation).
Indefinite differentiability on an analytic function.
Morera's teorem. First and second theorem of the average.
Mean value first and second theorem for holomorphic functions.
I and II Theorem of the average.
Convergence radius of a series of powers.
Geometric, exponential, trigonometric, hyperbolic and logarithm series.
Taylor series.
Radius of convergence for the Taylor series.
Analytic continuation (Weierstrass).
Monodrome polidrome functions.
Laurent series.
Poles e singularity essentials.
Theorem of residues.
Calculation of residues.
Analytic functions and integrals calculus.
Computation of integrals via residues.
Lemma of Jordan.
Residue at infinity.
Singularity along the integration path.
Principal value of an integral.
Polidrome analytic functions.
Branch points and edges.
Riemann surfaces.
Linear space of finite dimension.
Linear space on complex space: Dirac notation.
Scalar product.
Norm and distance.
Orthogonality of a set of vectors.
Linear operators.
Commutator and anti-commutator.
Exponential of an operator.
Inverse operator.
adjoint operator or hermitian conjugate operator.
Hermitian operators.
Unitary operators.
Eigenvalues and eigenvectors of an operator.
Eigenvalues and eigenvectors of an hermitian operator.
Representation Theory, vectors, matrix and scalar product.
Change of base.
Eigenvalues and eigenvectors.
Diagonalization of hermitian matrices.
Normal matrix.
Existence of a base of common eigenvectors for two commutating normal operators.
Diagonalization of unitary matrix.
Spectral decomposition of hermitian matrices.
Function of matrices. Pauli matrices.
Linear spaces with infinite dimensions.
From finite to infinite degrees of freedom.
Equation of d'Alembert.
Issues for the definition of a functional space normate and complete..
Hilbert space.
Fourier series (o trigonometric).
L2 spaces.
Riesz-Fischer Theorem.
Fourier theorem.
Hilbert space.
Fourier series and Bessel inequality.
Orthonormal complete systems.
Parseval identity.
Separable Hilbert spaces.
Transitivity of completeness.
Systems of functions complete in L2: trigonometric ed exponential.
Fourier series of the wave square, wave triangle and sawtooth signals
Space l2 - completeness and isomorphism with H.
Linear transformation in infinite dimension space.
Boundness of linear transformations.
Continuity of linear transformation.
Adjoint operator.
Symmetric or Hermitian operator.
Unitary transformations.
Eigenvalues and eigenvectors of an operator.
Spectrum of an operator.
Partial differential equations (PDE).
Classification of the PDE. Wave equation.
Heat or diffusion or Fourier equation.
Laplace equation.
Physical interpretation of the solution of the wave equation.
d'Alembert equation with Dirichlet or Von Neumann boundary conditions: solution by the Fourier series of the initial conditions.
Derivation of the heat equation.
Heat equation: solution by the Fourier series of the initial conditions.
Fourier transform (FT).
Sturm-Liouville problem.
From the series to the transform of Fourier.
Properties of FT.
Convolution product and FT.
Continuity of FT.
FT and derivative: derivative of FT and FT of the deritive.
Extension of FT from L1 to L2.
Parseval equality.
Inverse of FT.
Unitarity of FT.
Transformation of an opetor under FT: transation operator, derivative e moltiplication by x.
Hermite polinomials.
Hermite functions as a complete set of the FT operator.
FT of a gaussian.
Frequences analysis by FT and intermination relation.
Calcultion of FT and anti-FT in the case of several functions.
Green function.
Delta of Dirac and several: integral representation as limit of step functions.
Green function for linear differential operators.
General solution of a non-omogeneus linear differential equation.
Green function method for the solution of: RL circuit; wave equation 1+1 and 1+3 dimensions.
Green function method for the solution of: heat equation; Poisson equation.
Laplace transform (LT).
LT.
Convergence abscissa.
Transformability.
LT properties.
LT holomorphicity.
Derivative of LT.
LT of a derivative.
LT inversion.
Relation between LT and FT.
Examples: periodic functions, series of RLC circuit, linear differential equations with constant coefficients.
LT di f/x.
Temperate distributions.
Introduction to the theory of distributions.
Space S of the test functions.
Temperate distributions S' as dual space of S.
Comparison between L2 and the Riesz theorem.
Convergence in S.
Weak convergence in S'.
Dirac's delta distribution.
Explicit representations of Dirac's delta.
Distribution of the Heaviside function.
Derivative of a distribution.
Derivative of the Heaviside distribution.
Derivative of the Dirac delta.
FT of a distribution.
Examples of application of distributions.