Abstracts
John Ratcliffe
'Lectures on hyperbolic manifolds'
Lecture 1: A general introduction to hyperbolic geometry and discrete groups of isometries of metric spaces.
Lecture 2: The volume of an n-simplex in S^n is an analytic function of its dihedral angles. The purpose of this lecture is to show the students the unity of mathematics.
Lecture 3: The proof of the Gauss-Bonnet theorem for compact hyperbolic n-manifolds by H. Hopf's beautiful analytic continuation argument. The purpose of this lecture is to show the students the importance of a continuous variation of geometric structure argument.
Pablo Suarez Serrato
'Convergencia e Invariantes Asintóticos en Geometría Riemanniana'
¿Cómo se deforma una variedad en otra? ¿Cuál es la noción útil de distancia entre espacios Riemannianos? ¿Qué invariantes geométricos rescatan las propiedades de convergencia?¿Cúales se conservan? ¿Cómo ayudan estas ideas a distinguir o caracterizar a las variedades lisas? ¿Qué come Gromov? ... ¿que tanto se le ocurre?...
1.- Veremos la definción de distancia de Gromov-Hausdorff y ejemplos. Motivaremos el estudio de convergencia de variedades Riemannianas y sus invariantes. Para estudiar el caso de convergencia de volúmenes en métricas con curvatura acotada, introduciremos el volumen simplicial y veremos algunas de sus propiedades básicas.
2.- Volúmenes simpliciales de variedades hiperbólicas y su relación con el volúmen hiperbólico. Resultados de Gromov y Thurston sobre 'enderezameinto' de simplejos ideales y como se usan para calcular el volumen simplicial. Ideas del método del baricentro, como fue desarrollado por Besson-Courtois-Gallot y sus aplicaciones a la rigidez de volumen de variedades hiperbólicas. Mencionaré una extensión de este resultado que demostré con Chris Connell, en el que calculamos el volúmen mínimo de variedades construidas a partir de pegar variedades hiperbólicas de volúmen finito a lo largo de sus fronteras truncadas.
3.- El volúmen mínimo de Gromov puede detectar cambios en la estructura diferenciable. ¿Se puede inferir el volumen de una variedad partiendo de los volúmenes de sus subvariedades? Veremos ejemplos diversos, negativos y positivos. Del lado positivo veremos el teorema del Hachazo ( 'chopping' ) de Cheeger-Gromov, que nos asegura la existencia de entornos con propiedades geométricas útiles para acotar el volumen por abajo.
Luis Hernandez Lamoneda
'El método de Bochner'
Charla 1. Introducción y Repaso: Qué es el método de Bochner? La derivada y su relación con Levi-Civita, la estrella de Hodge, la co-derivada, el Laplaciano. Fórmulas de Weitzenbock.
Charla 2. Aplicaciones clásicas: 1-formas armónicas en variedades compactas con Ric\geq 0; isometrías en variedades con Ric<0.
Charla 3. Aplicación al estudio de la forma de Kahler en una variedad casi-hermitiana.