Quadratische Funktionen und Gleichungen (HTML)
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<script type="text/javascript" asyncsrc="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script><script>window.onload = function () { var toc = ""; var level = 0;
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//Inhaltsverzeichnis wird geschrieben document.getElementById("toc").innerHTML += toc;};</script><div id="toc"> <h3>Inhaltsverzeichnis</h3> </div> <hr/><div id="contents">
<!--HTML-Start--><h3>Normalparabel</h3><h4>Funktionsgleichung einer Normalparabel</h4><p>\(y=x^2\)</p><h4>Zuordnungsvorschrift einer Normalparabel</h4><ul><li>\(f:x\mapsto f(x)=x^2, \; x\in D_f=\mathbb{R}\)</li><li>Funktionsterm \(f(x)\)</li><li>Definitionsmenge \(D_f\)</li></ul><h4>Graph einer Normalparabel</h4><p><a href="https://www.geogebra.org/calculator/wrp2u9st">Geogebra</a></p><h4>Eigenschaften einer Normalparabel</h4><ul><li>Die Funktionswerte sind größer gleich 0 und damit<br>Wertemenge \(W_f=[0;+\infty[\).</li><li>Eine Normalparabel ist achsensymmetrisch zur y-Achse und damit<br>\(f(-x)=f(x)\)</li><li>Der kleinste oder größte Wert einer Parabel heißt Scheitel S,<br>so dass für die Normalparabel S(0;0) gilt.</li></ul><h3>Verschiebung einer Normalparabel (Scheitelpunktsform)</h3><h4>Verschiebung in Richtung der y-Achse</h4><ul><li>\(f(x)=x^2+y_s\)</li><li>\(y_s>0\Rightarrow\) Verschiebung nach oben, keine Schnittpunkte mit der x-Achse (keine Nullstellen)</li><li>\(y_s<0\Rightarrow\) Verschiebung nach unten, 2 Schnittpunkte mit der x-Achse (2 Nullstellen)</li></ul><h4>Verschiebung in Richtung der x-Achse</h4><ul><li>\(f(x)=(x-x_s)^2\text{ (Scheitelpunktsform einer verschobenen Normalparabel)}\)</li><li>\(x_s>0\) nach rechts</li><li>\(x_s<0\) nach links</li><li>ein Schnittpunkt mit der x-Achse (eine Nullstelle) </li><li>Erkennung der Verschiebung in Richtung der x-Achse bei erster oder zweiter binomischer Formel des Funktionsterms</li></ul><h4>Scheitelpunktsform einer verschobenen Normalparabel</h4><ul><li>\(f(x)=(x-x_s)^2+y_s\)</li><li>Scheitel S(\(x_s;y_s\))</li><li>Achsensymmetrie der verschobenen Normalparabel zur Geraden \(x=x_s\)</li><li><a href="https://www.geogebra.org/m/wrp2u9st">Geogebra</a></li></ul><h4>Berechnung der Nullstellen aus der Scheitelpunktsform</h4><p>\(f(x)=(x-x_s)^2+y_s=0\text{ (Scheitelpunktsform)}\\ f(x)=0\text{ (Bedingung für Nullstelle)}\\ (x-x_s)^2+y_s=0\;|-y_s\\ (x-x_s)^2=-y_s\; |\; \sqrt{}\\ x_{1,2}-x_s=\pm\sqrt{-y_s}\;|+x_s\\ x_{1,2}=\pm\sqrt{-y_s}+x_s, \text{Nullstellen nur wenn }\;y_s \leq 0 \)</p><p><a href="https://www.geogebra.org/m/b5npmjsu">Geogebra</a></p><h4>Allgemeine Form einer verschobenen Normalparabel</h4><h5>Umformung der Scheitelpunktsform in die allgemeine Form</h5><p>\(f(x)=(x-x_s)^2+y_s\text{ (Scheitelpunktsform)}\\f(x)=x^2–2x_sx+x_s^2+y_s\text{ (Scheitelpunktsform ausmultipliziert)}\)<br>\(f(x)=ax^2+bx+c, \;a,b,c\in\mathbb{R},\;a\neq 0\;\text{ (allgemeine Form mit den Parametern a,b,c)}\)<br>Parameter der allgemeinen Form in Abhängigkeit von den Scheitelkoordinaten<br>\(a=1, b=-2x_s, c=x_s^2+y_s\)</p><p><a href="https://www.geogebra.org/m/j784kzjt">Geogebra</a><br></p><h5>Rechenbeispiel für die Umformung</h5><p>\(\text{S(1;-2)}\)<br>\(f(x)=(x-1)^2-2\)<br>\(f(x)=x^2-2x+1-2\)<br>\(f(x)=x^2-2x-1\)</p><h5>Erkennen der Verschiebung in x-Richtung bei der allgemeinen Form</h5><p>Entspricht die allgemeine Form einer verschobenen Normalparabel der 1. oder 2. binomischen Formel ist die Parabel in Richtung der x-Achse verschoben</p><span style="font-size:1.11111rem;">Beispiele:</span><ul style="font-size:1.11111rem;"><li>\(f(x)=x^2-4x+4\Rightarrow f(x)=(x-2)^2\)</li><li>\(f(x)=x^2+4x+4\Rightarrow f(x)=(x+2)^2\)</li><li>\(f(x)=x^2+6x+9\Rightarrow f(x)=(x+3)^2\)</li></ul><h3>Allgemeine Verschiebung von Normalparabeln (allgemeine Form)</h3><h4>Quadratische Ergänzung - Bestimmung des Scheitels</h4><ul><li>Entspricht die allgemeine Form einer verschobenen Normalparabel nicht der 1. binomischen Formel wird der Term zu einer binomischen Formel ergänzt.</li><li>\(f(x)=x^2+bx+c\\f(x)=x^2+2\cdot x\cdot \frac{b}{2}+(\frac{b}{2})^2-(\frac{b}{2})^2+c\)<br>Damit der Funktionsterm sich nicht verändert, wird der ergänzte Teil gleich wieder subtrahiert.</li><li>Auf den entstandenen Term wird teilweise die 1. binomische Formel angewendet, wodurch eine Scheitelform der verschobenen Normalparabel entsteht.<br>Der Vergleich mit der Scheitelform einer verschobenen Normalparabel ergibt insgesamt:<br>\(f(x)=x^2+bx+c\\f(x)=x^2+b+(\frac{b}{2})^2-(\frac{b}{2})^2+c\\f(x)=(x+\frac{b}{2})^2-(\frac{b}{2})^2+c\\f(x)=(x-x_s)^2+y_s\\x_s=-\frac{b}{2}\\y_s=-(\frac{b}{2})^2+c\)</li></ul><h4>Lösung quadratischer Gleichungen - Nullstellen</h4><p>\( x^2+bx+c=0\\x^2+bx+(\frac{b}{2})^2-(\frac{b}{2})^2+c=0\\ (x+\frac{b}{2})^2-(\frac{b}{2})^2+c=0\\ (x+\frac{b}{2})^2=(\frac{b}{2})^2-c\\x_{1,2}+\frac{b}{2}=\pm\sqrt{(\frac{b}{2})^2-c}\\x_{1,2}=-\dfrac{b}{2}\pm\dfrac{2\cdot\sqrt{(\frac{b}{2})^2-c}}{2}\\x_{1,2}=-\dfrac{b}{2}\pm\sqrt{(\frac{b}{2})^2-c}\text{ (p-q-Form)}\\x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}{2} \)</p><h3>Enge und weite Parabeln</h3><h4>Öffnung einer Normalparabel verändern</h4><p> \(f(x)=ax^2, a\in \mathbb{R},a \ne 0\)</p><ul><li><strong>\(a>0\)</strong>: Parabel nach <strong>oben geöffnet</strong></li><li><strong>\(a<0 \)</strong>: Parabel nach <strong>unten </strong><strong>geöffnet</strong></li><li><strong>\(-1<a<1\)</strong>: Parabel <strong>weiter</strong></li><li><strong>\(a<-1\) oder \(a>1\)</strong>: Parabel <strong>enger</strong></li></ul><h4>Berechnung der Öffnung mit Hilfe eines Parabelpunktes</h4><p>\(y=ax^2\Rightarrow a=\frac{y}{x^2}\\ P(x_P;y_P)\Rightarrow a=\frac{y_P}{{x_P}^2}\)</p><h3>Allgemeine quadratische Form und Gleichungen</h3><h4>Umwandlung der allgemeinen Form in die Scheitelpunktsform durch quadratische Ergänzung</h4><ul><li>Funktionsterm einer allgemeinen quadratischen Funktion in der allgemeinen Form<br>\(f(x)=ax^2+bx+c, x\in D_f, a\ne 0, a,b,c\in \mathbb{R}\)</li><li>Der Graph einer allgemeinen quadratischen Funktion heißt Parabel mit Scheitel \(S(x_s;y_s\))</li><li>Umwandlung in die Scheitelpunktsform durch quadratische Ergänzung<br>\(f(x)=ax^2+bx+c\\<br>f(x)=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})\\<br>f(x)=a(x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a})\\<br>f(x)=a((x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2)-(\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a})\\<br>f(x)=a((x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a})\\<br>f(x)=a(x-(-\frac{b}{2a}))^2-\frac{b^2}{4a}+c\\<br>\)</li><li>Beschreibung der Umwandlung<ul><li>Ausklammern von a</li><li>quadratische Ergänzung in der Klammer (Addition und Subtraktion)des Quadrats der Hälfte des Faktors (Parameters) des Summanden mit x im Funktionsterm)</li><li>Anwendung der binomischen Formel auf Grund der quadratischen Ergänzung</li><li>Multiplikation von a mit dem Term in der Klammer (Rückgängigmachen des Ausklammerns)</li><li>Ablesen der Koordinaten des Scheitels in der entstandenen Scheitelpunktsform nach dem Muster \(f(x)=a(x-x_s)^2+y_s\)</li></ul></li><li>Beispiel<br>\( f(x)=-2x^2-4x+6\\f(x)=-2(x^2+\frac{-4}{-2}x+\frac{6}{-2})\\f(x)=-2(x^2+\frac{-4}{-2}x+(\frac{-4}{2\cdot (-2)})^2-(\frac{-4}{2\cdot (-2)})^2+\frac{6}{-2})\\f(x)=-2((x+\frac{-4}{2\cdot (-2)})^2-\frac{(-4)^2}{4\cdot (-2)}+\frac{6}{-4})\\f(x)=-2(x+\frac{-4}{2\cdot (-2)})^2-\frac{(-4)^2}{4\cdot (-2)}+6)\\f(x)=-2(x-(-1))^2+8 \)</li></ul><h4>Scheitelkoordinaten einer Parabel in allgemeiner Form</h4><ul><li>\(x_s=-\frac{b}{2a}\)<br>Die x-Koordinate des Scheitels einer Parabel ergibt sich aus der quadratischen Ergänzung.</li><li>\(y_s=-\frac{b^2}{4a}+c\)<ul><li>Die y-Koordinate des Scheitels einer Parabel ergibt sich aus der quadratischen Ergänzung oder</li><li>aus der Berechnung mit Hilfe des Funktionsterms<br>\( y_s=f(x_s)\\ y_s=a(-\frac{b}{2a})^2+b\cdot (-\frac{b}{2a})+c\\ y_s=\frac{b^2}{4a}-\frac{2b^2}{4a}+c\\ y_s=-\frac{b^2}{4a}+c \).</li></ul></li><li>Beispiel<br>\( f(x)=-2x^2-4x+6\\x_s=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot (-2)}=-1\\y_s=-\frac{b^2}{4a}+c=-\frac{(-4)^2}{4\cdot (-2)}+6=-\frac{16}{-8}+6=2+6=8\)</li></ul><h4>Wertemenge und Steigungsverhalten einer Parabel</h4><ul><li>Wertemenge<ul><li>\(a>0\)<br>\(W_f=[y_s;\infty [\)</li><li>\(a<0\)<br>\(W_f=]-\infty ;y_s]\) </li></ul></li><li>Steigungsverhalten<ul><li>\(a>0\)<ul><li>\(x\in [x_s;\infty [\) bzw. \(x>x_s\) ist der Graph steigend</li><li>\(x\in ]-\infty ;x_s]\) bzw. \(x<x_s\) ist der Graph fallend</li></ul></li><li>\(a<0\)<br><ul><li>\(x\in [x_s;\infty [\) bzw. \(x>x_s\) ist der Graph fallend</li><li>\(x\in ]-\infty ;x_s]\) bzw. \(x<x_s\) ist der Graph steigend</li></ul></li></ul></li></ul><h4>Nullstellen einer Parabel</h4><ul><li>allgemein<br>\(f(x)=0\\ax^2+bx+c=0|:a\ne 0\\x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a}=0\\ (x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=0|+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\\ (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}|\sqrt{}\\ x_{1,2}+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}}|-\frac{b}{2a}\\x_{1,2}=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2}}\\x_{1,2}=-\frac{b}{2a}\pm\frac{1}{2a}\sqrt{b^2-4ac}\\x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)</li><li>Beispiel<br>\( -2x^2+-4x+6=0|: (-2)\ne 0\\x^2+\frac{-2}{-4}x+(\frac{-4}{2\cdot(-2)})^2-(\frac{-4}{2\cdot (-2)})^2+\frac{6}{-2}=0\\ (x+\frac{-4}{2\cdot (-2)})^2-\frac{(-4)^2}{4\cdot (-2)^2}+\frac{6}{-2}=0|+\frac{(-4)^2}{4\cdot (-2)^2}-\frac{6}{-2}\\ (x+\frac{-4}{2\cdot (-2)})^2=\frac{(-4)^2}{4\cdot (-2)^2}-\frac{6}{-2}|\sqrt{}\\ x_{1,2}+\frac{-4}{2\cdot (-2)}=\pm\sqrt{\frac{(-4)^2}{4\cdot (-2)^2}-\frac{6}{-2}}|-\frac{-4}{2\cdot (-2)}\\x_{1,2}=-\frac{-4}{2\cdot (-2)}\pm\sqrt{\frac{(-4)^2}{4\cdot (-2)^2}-\frac{4\cdot (-2)\cdot 6}{4\cdot (-2)^2}}\\x_{1,2}=-\frac{-4}{2\cdot (-2)}\pm\frac{1}{2\cdot (-2)}\sqrt{(-4)^2-4\cdot (-2)\cdot 6}\\x_{1,2}=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot (-2)\cdot 6}}{2\cdot (-2)}\\x_1=\frac{4+\sqrt{16+48}}{-4}=\frac{4+\sqrt{64}}{-4}=\frac{4+8}{-4}=-3 \\x_2=\frac{4-\sqrt{16+48}}{-4}=\frac{4-\sqrt{64}}{-4}=\frac{4-8}{-4}=1 \)</li></ul><h4>Bedingung für die Anzahl der Nullstellen</h4><ul><li>\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)</li><li>Diskriminante \(D=b^2-4ac\)</li><li>\(D>0\Rightarrow\) 2 Nullstellen</li><li>\(D=0\Rightarrow\) 1 Nullstelle (Scheitel auf x-Achse)</li><li>\(D<0\Rightarrow\) keine Nullstelle</li></ul><h4>Lösen einer quadratischen Gleichung ohne allgemeine Lösungsformel</h4><h5>\(b=0\)</h5><p>\( ax^2+c=0|-c\\ax^2=-c|:a\ne 0\\x^2=\dfrac{-c}{a}|\sqrt{}\\x_{1,2}=\pm\sqrt{\dfrac{-c}{a}} \)</p><h5>\(c=0\)</h5><p>\( ax^2+bx=0\\x(ax+b)=0\\x_1=0\\\text{oder}\\ax_2+b=0|-b\\ax_2=-b0|:a\ne0\\x_2=\dfrac{-b}{a} \)</p><h5>\(a=1\) (p-q-Formel)</h5><p>\( x^2+bx+c=0\\x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}{2}\\x_{1,2}=-\frac{b}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{b^2-4c}\\x_{1,2}=-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{b^2-4c}{4}}\\x_{1,2}=-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{b^2}{4}-\frac{4c}{4}}\\x_{1,2}=-\frac{b}{2}\pm\sqrt{(\frac{b}{2})^2-c}\\b=p,c=q\\\\x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\;\;(\text{p-q-Formel}) \)</p><h3>Darstellungsformen quadratischer Funktionen</h3><h4>Allgemeine Form</h4><ul><li>\(f(x)=ax^2+b+c\)</li><li>Bestimmung von Scheitel und Nullstellen durch quadratische Ergänzung mit <a href="https://www.geogebra.org/m/gktmfdx7">Geogebra</a></li></ul><h4>Scheitelpuktsform</h4><ul><li>\( f(x)=a(x-x_s)^2+y_s \)</li><li>Bestimmung der Nullstellen<br>\( a(x-x_s)^2+y_s=0|-y_s\\a(x-x_s)^2=-y_s|:a\ne0\\ (x-x_s)^2=-\frac{y_s}{a}|\sqrt{}\\x_{1,2}-x_s=\pm\sqrt{-\frac{y_s}{a}}|+x_s\\x_{1,2}=\pm\sqrt{-\frac{y_s}{a}}+x_s \)</li><li><a href="https://www.geogebra.org/m/j784kzjt">Geogebra</a></li></ul><h4>Nullstellenform (Faktorisierte Form bzw. Produktform)</h4><ul><li>\(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\)</li><li>x-Koordinate des Scheitels in der Mitte der Nullstellen<br>\( x_s=x_1+\frac{x_2-x_1}{2}=\frac{2x_1+x_2-x_1}{2}=\frac{x_1+x_2}{2}\\y_s=f(x_s)=a(x_s-x_1)(x_s-x_2) \)</li><li><a href="https://www.geogebra.org/m/hwsspczc">Geogebra</a></li></ul><h4>Umformungen in allgemeine Form</h4><h5>Umwandlung Produktform in allgemeine Form</h5><p>\(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\\f(x)=a(x^2-x_2x-x_1x+x_1x_2)\\f(x)=ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2\\b=-a(x_1+x_2)\\c=ax_1x_2\\f(x)=ax^2+b+c\)<br><a href="https://www.geogebra.org/m/cagvtfxh">Geogebra</a></p><h5>Umwandlung Scheitelpunktsform in allgemeine Form</h5><p>\( f(x)=a(x-x_s)^2+y_s\\f(x)=a(x^2-2x_sx+x_s^2)+y_s\\f(x)=ax^2-2ax_sx+ax_s^2+y_s\\b=-2ax_s\\c=ax_s^2+y_s\\f(x)=ax^2+bx+c \)<br><a href="https://www.geogebra.org/m/j784kzjt">Geogebra</a></p><h4>Berechnungen bei allgemeiner Form</h4><p></p><ul><li><a href="https://www.geogebra.org/m/gktmfdx7">Herleitung und Berechnungen</a></li><li><a href="https://www.geogebra.org/m/duhmgcfk">Berechnungen ohne Herleitungen</a></li></ul><!--HTML-Ende--></div>
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<!--HTML-Start--><h3>Normalparabel</h3><h4>Funktionsgleichung einer Normalparabel</h4><p>\(y=x^2\)</p><h4>Zuordnungsvorschrift einer Normalparabel</h4><ul><li>\(f:x\mapsto f(x)=x^2, \; x\in D_f=\mathbb{R}\)</li><li>Funktionsterm \(f(x)\)</li><li>Definitionsmenge \(D_f\)</li></ul><h4>Graph einer Normalparabel</h4><p><a href="https://www.geogebra.org/calculator/wrp2u9st">Geogebra</a></p><h4>Eigenschaften einer Normalparabel</h4><ul><li>Die Funktionswerte sind größer gleich 0 und damit<br>Wertemenge \(W_f=[0;+\infty[\).</li><li>Eine Normalparabel ist achsensymmetrisch zur y-Achse und damit<br>\(f(-x)=f(x)\)</li><li>Der kleinste oder größte Wert einer Parabel heißt Scheitel S,<br>so dass für die Normalparabel S(0;0) gilt.</li></ul><h3>Verschiebung einer Normalparabel (Scheitelpunktsform)</h3><h4>Verschiebung in Richtung der y-Achse</h4><ul><li>\(f(x)=x^2+y_s\)</li><li>\(y_s>0\Rightarrow\) Verschiebung nach oben, keine Schnittpunkte mit der x-Achse (keine Nullstellen)</li><li>\(y_s<0\Rightarrow\) Verschiebung nach unten, 2 Schnittpunkte mit der x-Achse (2 Nullstellen)</li></ul><h4>Verschiebung in Richtung der x-Achse</h4><ul><li>\(f(x)=(x-x_s)^2\text{ (Scheitelpunktsform einer verschobenen Normalparabel)}\)</li><li>\(x_s>0\) nach rechts</li><li>\(x_s<0\) nach links</li><li>ein Schnittpunkt mit der x-Achse (eine Nullstelle) </li><li>Erkennung der Verschiebung in Richtung der x-Achse bei erster oder zweiter binomischer Formel des Funktionsterms</li></ul><h4>Scheitelpunktsform einer verschobenen Normalparabel</h4><ul><li>\(f(x)=(x-x_s)^2+y_s\)</li><li>Scheitel S(\(x_s;y_s\))</li><li>Achsensymmetrie der verschobenen Normalparabel zur Geraden \(x=x_s\)</li><li><a href="https://www.geogebra.org/m/wrp2u9st">Geogebra</a></li></ul><h4>Berechnung der Nullstellen aus der Scheitelpunktsform</h4><p>\(f(x)=(x-x_s)^2+y_s=0\text{ (Scheitelpunktsform)}\\ f(x)=0\text{ (Bedingung für Nullstelle)}\\ (x-x_s)^2+y_s=0\;|-y_s\\ (x-x_s)^2=-y_s\; |\; \sqrt{}\\ 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binomischen Formel ist die Parabel in Richtung der x-Achse verschoben</p><span style="font-size:1.11111rem;">Beispiele:</span><ul style="font-size:1.11111rem;"><li>\(f(x)=x^2-4x+4\Rightarrow f(x)=(x-2)^2\)</li><li>\(f(x)=x^2+4x+4\Rightarrow f(x)=(x+2)^2\)</li><li>\(f(x)=x^2+6x+9\Rightarrow f(x)=(x+3)^2\)</li></ul><h3>Allgemeine Verschiebung von Normalparabeln (allgemeine Form)</h3><h4>Quadratische Ergänzung - Bestimmung des Scheitels</h4><ul><li>Entspricht die allgemeine Form einer verschobenen Normalparabel nicht der 1. binomischen Formel wird der Term zu einer binomischen Formel ergänzt.</li><li>\(f(x)=x^2+bx+c\\f(x)=x^2+2\cdot x\cdot \frac{b}{2}+(\frac{b}{2})^2-(\frac{b}{2})^2+c\)<br>Damit der Funktionsterm sich nicht verändert, wird der ergänzte Teil gleich wieder subtrahiert.</li><li>Auf den entstandenen Term wird teilweise die 1. binomische Formel angewendet, wodurch eine Scheitelform der verschobenen Normalparabel entsteht.<br>Der Vergleich mit der Scheitelform einer verschobenen Normalparabel ergibt insgesamt:<br>\(f(x)=x^2+bx+c\\f(x)=x^2+b+(\frac{b}{2})^2-(\frac{b}{2})^2+c\\f(x)=(x+\frac{b}{2})^2-(\frac{b}{2})^2+c\\f(x)=(x-x_s)^2+y_s\\x_s=-\frac{b}{2}\\y_s=-(\frac{b}{2})^2+c\)</li></ul><h4>Lösung quadratischer Gleichungen - Nullstellen</h4><p>\( x^2+bx+c=0\\x^2+bx+(\frac{b}{2})^2-(\frac{b}{2})^2+c=0\\ (x+\frac{b}{2})^2-(\frac{b}{2})^2+c=0\\ (x+\frac{b}{2})^2=(\frac{b}{2})^2-c\\x_{1,2}+\frac{b}{2}=\pm\sqrt{(\frac{b}{2})^2-c}\\x_{1,2}=-\dfrac{b}{2}\pm\dfrac{2\cdot\sqrt{(\frac{b}{2})^2-c}}{2}\\x_{1,2}=-\dfrac{b}{2}\pm\sqrt{(\frac{b}{2})^2-c}\text{ (p-q-Form)}\\x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}{2} \)</p><h3>Enge und weite Parabeln</h3><h4>Öffnung einer Normalparabel verändern</h4><p> \(f(x)=ax^2, a\in \mathbb{R},a \ne 0\)</p><ul><li><strong>\(a>0\)</strong>: Parabel nach <strong>oben geöffnet</strong></li><li><strong>\(a<0 \)</strong>: Parabel nach <strong>unten </strong><strong>geöffnet</strong></li><li><strong>\(-1<a<1\)</strong>: Parabel <strong>weiter</strong></li><li><strong>\(a<-1\) oder \(a>1\)</strong>: Parabel <strong>enger</strong></li></ul><h4>Berechnung der Öffnung mit Hilfe eines Parabelpunktes</h4><p>\(y=ax^2\Rightarrow a=\frac{y}{x^2}\\ P(x_P;y_P)\Rightarrow a=\frac{y_P}{{x_P}^2}\)</p><h3>Allgemeine quadratische Form und Gleichungen</h3><h4>Umwandlung der allgemeinen Form in die Scheitelpunktsform durch quadratische Ergänzung</h4><ul><li>Funktionsterm einer allgemeinen quadratischen Funktion in der allgemeinen Form<br>\(f(x)=ax^2+bx+c, x\in D_f, a\ne 0, a,b,c\in \mathbb{R}\)</li><li>Der Graph einer allgemeinen quadratischen Funktion heißt Parabel mit Scheitel \(S(x_s;y_s\))</li><li>Umwandlung in die Scheitelpunktsform durch quadratische Ergänzung<br>\(f(x)=ax^2+bx+c\\<br>f(x)=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})\\<br>f(x)=a(x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a})\\<br>f(x)=a((x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2)-(\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a})\\<br>f(x)=a((x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a})\\<br>f(x)=a(x-(-\frac{b}{2a}))^2-\frac{b^2}{4a}+c\\<br>\)</li><li>Beschreibung der Umwandlung<ul><li>Ausklammern von a</li><li>quadratische Ergänzung in der Klammer (Addition und Subtraktion)des Quadrats der Hälfte des Faktors (Parameters) des Summanden mit x im Funktionsterm)</li><li>Anwendung der binomischen Formel auf Grund der quadratischen Ergänzung</li><li>Multiplikation von a mit dem Term in der Klammer (Rückgängigmachen des Ausklammerns)</li><li>Ablesen der Koordinaten des Scheitels in der entstandenen Scheitelpunktsform nach dem Muster \(f(x)=a(x-x_s)^2+y_s\)</li></ul></li><li>Beispiel<br>\( f(x)=-2x^2-4x+6\\f(x)=-2(x^2+\frac{-4}{-2}x+\frac{6}{-2})\\f(x)=-2(x^2+\frac{-4}{-2}x+(\frac{-4}{2\cdot (-2)})^2-(\frac{-4}{2\cdot (-2)})^2+\frac{6}{-2})\\f(x)=-2((x+\frac{-4}{2\cdot (-2)})^2-\frac{(-4)^2}{4\cdot (-2)}+\frac{6}{-4})\\f(x)=-2(x+\frac{-4}{2\cdot (-2)})^2-\frac{(-4)^2}{4\cdot (-2)}+6)\\f(x)=-2(x-(-1))^2+8 \)</li></ul><h4>Scheitelkoordinaten einer Parabel in allgemeiner Form</h4><ul><li>\(x_s=-\frac{b}{2a}\)<br>Die x-Koordinate des Scheitels einer Parabel ergibt sich aus der quadratischen Ergänzung.</li><li>\(y_s=-\frac{b^2}{4a}+c\)<ul><li>Die y-Koordinate des Scheitels einer Parabel ergibt sich aus der quadratischen Ergänzung oder</li><li>aus der Berechnung mit Hilfe des Funktionsterms<br>\( y_s=f(x_s)\\ y_s=a(-\frac{b}{2a})^2+b\cdot (-\frac{b}{2a})+c\\ y_s=\frac{b^2}{4a}-\frac{2b^2}{4a}+c\\ y_s=-\frac{b^2}{4a}+c \).</li></ul></li><li>Beispiel<br>\( f(x)=-2x^2-4x+6\\x_s=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot (-2)}=-1\\y_s=-\frac{b^2}{4a}+c=-\frac{(-4)^2}{4\cdot (-2)}+6=-\frac{16}{-8}+6=2+6=8\)</li></ul><h4>Wertemenge und Steigungsverhalten einer Parabel</h4><ul><li>Wertemenge<ul><li>\(a>0\)<br>\(W_f=[y_s;\infty [\)</li><li>\(a<0\)<br>\(W_f=]-\infty ;y_s]\) </li></ul></li><li>Steigungsverhalten<ul><li>\(a>0\)<ul><li>\(x\in [x_s;\infty [\) bzw. \(x>x_s\) ist der Graph steigend</li><li>\(x\in ]-\infty ;x_s]\) bzw. \(x<x_s\) ist der Graph fallend</li></ul></li><li>\(a<0\)<br><ul><li>\(x\in [x_s;\infty [\) bzw. \(x>x_s\) ist der Graph fallend</li><li>\(x\in ]-\infty ;x_s]\) bzw. \(x<x_s\) ist der Graph steigend</li></ul></li></ul></li></ul><h4>Nullstellen einer Parabel</h4><ul><li>allgemein<br>\(f(x)=0\\ax^2+bx+c=0|:a\ne 0\\x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a}=0\\ (x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=0|+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\\ (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}|\sqrt{}\\ x_{1,2}+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}}|-\frac{b}{2a}\\x_{1,2}=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2}}\\x_{1,2}=-\frac{b}{2a}\pm\frac{1}{2a}\sqrt{b^2-4ac}\\x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)</li><li>Beispiel<br>\( -2x^2+-4x+6=0|: (-2)\ne 0\\x^2+\frac{-2}{-4}x+(\frac{-4}{2\cdot(-2)})^2-(\frac{-4}{2\cdot (-2)})^2+\frac{6}{-2}=0\\ (x+\frac{-4}{2\cdot (-2)})^2-\frac{(-4)^2}{4\cdot (-2)^2}+\frac{6}{-2}=0|+\frac{(-4)^2}{4\cdot (-2)^2}-\frac{6}{-2}\\ (x+\frac{-4}{2\cdot (-2)})^2=\frac{(-4)^2}{4\cdot (-2)^2}-\frac{6}{-2}|\sqrt{}\\ x_{1,2}+\frac{-4}{2\cdot (-2)}=\pm\sqrt{\frac{(-4)^2}{4\cdot (-2)^2}-\frac{6}{-2}}|-\frac{-4}{2\cdot (-2)}\\x_{1,2}=-\frac{-4}{2\cdot (-2)}\pm\sqrt{\frac{(-4)^2}{4\cdot (-2)^2}-\frac{4\cdot (-2)\cdot 6}{4\cdot (-2)^2}}\\x_{1,2}=-\frac{-4}{2\cdot (-2)}\pm\frac{1}{2\cdot (-2)}\sqrt{(-4)^2-4\cdot (-2)\cdot 6}\\x_{1,2}=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot (-2)\cdot 6}}{2\cdot (-2)}\\x_1=\frac{4+\sqrt{16+48}}{-4}=\frac{4+\sqrt{64}}{-4}=\frac{4+8}{-4}=-3 \\x_2=\frac{4-\sqrt{16+48}}{-4}=\frac{4-\sqrt{64}}{-4}=\frac{4-8}{-4}=1 \)</li></ul><h4>Bedingung für die Anzahl der Nullstellen</h4><ul><li>\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)</li><li>Diskriminante \(D=b^2-4ac\)</li><li>\(D>0\Rightarrow\) 2 Nullstellen</li><li>\(D=0\Rightarrow\) 1 Nullstelle (Scheitel auf x-Achse)</li><li>\(D<0\Rightarrow\) keine Nullstelle</li></ul><h4>Lösen einer quadratischen Gleichung ohne allgemeine Lösungsformel</h4><h5>\(b=0\)</h5><p>\( ax^2+c=0|-c\\ax^2=-c|:a\ne 0\\x^2=\dfrac{-c}{a}|\sqrt{}\\x_{1,2}=\pm\sqrt{\dfrac{-c}{a}} \)</p><h5>\(c=0\)</h5><p>\( ax^2+bx=0\\x(ax+b)=0\\x_1=0\\\text{oder}\\ax_2+b=0|-b\\ax_2=-b0|:a\ne0\\x_2=\dfrac{-b}{a} \)</p><h5>\(a=1\) (p-q-Formel)</h5><p>\( x^2+bx+c=0\\x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}{2}\\x_{1,2}=-\frac{b}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{b^2-4c}\\x_{1,2}=-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{b^2-4c}{4}}\\x_{1,2}=-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{b^2}{4}-\frac{4c}{4}}\\x_{1,2}=-\frac{b}{2}\pm\sqrt{(\frac{b}{2})^2-c}\\b=p,c=q\\\\x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\;\;(\text{p-q-Formel}) \)</p><h3>Darstellungsformen quadratischer Funktionen</h3><h4>Allgemeine Form</h4><ul><li>\(f(x)=ax^2+b+c\)</li><li>Bestimmung von Scheitel und Nullstellen durch quadratische Ergänzung mit <a href="https://www.geogebra.org/m/gktmfdx7">Geogebra</a></li></ul><h4>Scheitelpuktsform</h4><ul><li>\( f(x)=a(x-x_s)^2+y_s \)</li><li>Bestimmung der Nullstellen<br>\( a(x-x_s)^2+y_s=0|-y_s\\a(x-x_s)^2=-y_s|:a\ne0\\ (x-x_s)^2=-\frac{y_s}{a}|\sqrt{}\\x_{1,2}-x_s=\pm\sqrt{-\frac{y_s}{a}}|+x_s\\x_{1,2}=\pm\sqrt{-\frac{y_s}{a}}+x_s \)</li><li><a href="https://www.geogebra.org/m/j784kzjt">Geogebra</a></li></ul><h4>Nullstellenform (Faktorisierte Form bzw. Produktform)</h4><ul><li>\(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\)</li><li>x-Koordinate des Scheitels in der Mitte der Nullstellen<br>\( x_s=x_1+\frac{x_2-x_1}{2}=\frac{2x_1+x_2-x_1}{2}=\frac{x_1+x_2}{2}\\y_s=f(x_s)=a(x_s-x_1)(x_s-x_2) \)</li><li><a href="https://www.geogebra.org/m/hwsspczc">Geogebra</a></li></ul><h4>Umformungen in allgemeine Form</h4><h5>Umwandlung Produktform in allgemeine Form</h5><p>\(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\\f(x)=a(x^2-x_2x-x_1x+x_1x_2)\\f(x)=ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2\\b=-a(x_1+x_2)\\c=ax_1x_2\\f(x)=ax^2+b+c\)<br><a href="https://www.geogebra.org/m/cagvtfxh">Geogebra</a></p><h5>Umwandlung Scheitelpunktsform in allgemeine Form</h5><p>\( f(x)=a(x-x_s)^2+y_s\\f(x)=a(x^2-2x_sx+x_s^2)+y_s\\f(x)=ax^2-2ax_sx+ax_s^2+y_s\\b=-2ax_s\\c=ax_s^2+y_s\\f(x)=ax^2+bx+c \)<br><a href="https://www.geogebra.org/m/j784kzjt">Geogebra</a></p><h4>Berechnungen bei allgemeiner Form</h4><p></p><ul><li><a href="https://www.geogebra.org/m/gktmfdx7">Herleitung und Berechnungen</a></li><li><a href="https://www.geogebra.org/m/duhmgcfk">Berechnungen ohne Herleitungen</a></li></ul><!--HTML-Ende--></div>