Exponentielles Wachstum und Logarithmus (HTML)
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<!--Mathjax--><script type="text/javascript" asyncsrc="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script><!--Inhaltsverzeichnis--><script>window.onload = function () { var toc = ""; var level = 0;
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//Inhaltsverzeichnis wird geschrieben document.getElementById("toc").innerHTML += toc;};</script><div id="toc"> <h3>Table of Contents</h3> </div> <hr/><div id="contents">
<!--HTML-Start--><h3>Pyramiden und Kegel</h3><h4>Definition einer Pyramide</h4><ul><li>Eine <strong>Pyramide</strong> besteht aus einem <strong>Vieleck</strong> und einem <strong>Punkt</strong> S außerhalb der Ebene des Vielecks.<ul><li>Wikipedia</li><li>Geogebra</li></ul></li><li>Den Abstand des Punktes S von der Grundfläche G des Vielecks nennt man<strong> Höhe h der Pyramide</strong>.</li><li>Ein <strong>gerades Prisma</strong> hat ein punktsymmetrisches Vieleck mit gleichlangen Seiten als Grundfläche und die Spitze liegt senkrecht über dem Spiegelzentrum des Vielecks, ansonsten spricht man von einer <strong>schiefen Pyramide</strong>. Eine schiefe Pyramide mit einem regelmäßigen Vieleck als Grundfläche wird <strong>regelmäßiges Prisma</strong> genannt.</li></ul><h4>Definition eines Kegels</h4><ul><li>Ein <strong>Kegel</strong> besteht aus einem <strong>Kreis</strong> und einem <strong>Punkt</strong> S außerhalb der Ebene des Kreises.<ul><li>Wikipedia</li><li>Geogebra</li></ul></li><li>Den Abstand des Punktes S von der Grundfläche G des Vielecks nennt man<strong> Höhe h des Kegels</strong>.</li><li>Bei einem <strong>geraden Kegel </strong>liegt die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt des Kreises, ansonsten spricht man von einem <strong>schiefen Kegel</strong>.</li></ul><h4>Netz von Pyramide und Kegel (Basteln)</h4><ul><li>Netz einer Pyramide (<a href="https://www.geogebra.org/calculator/tvebncct">Geogebra-3D</a>, <a href="https://www.geogebra.org/calculator/mc6ymk5g">Geogebra</a>)</li><li>Netz eines Kegels (<a href="https://www.geogebra.org/m/fgzc5fmp">Geogebra</a>) mit Radius r und Höhe h<ul><li>Radius m des Mantel-Sektors mit Bogenlänge \(2\pi r\)<br />\(m=\sqrt{r^2+h^2}\)</li><li>Mittelpunktswinkel des Mantel-Sektors<br />\(\alpha=\dfrac{r}{m}\cdot 360°\)</li></ul></li></ul><h4>Schrägbild von Pyramide und Kegel (Zeichnen)</h4><ul><li>Ein Schrägbild wird durch den Verzerrungswinkel \(\alpha\) und den Verzerrungsfaktor \(k\) festgelegt.</li><li>Bei einer Pyramide wird gerne \(\alpha =45°\) und \(k=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) genommen (<a href="https://www.geogebra.org/m/JU6JBhSx">Geogebra</a>).</li><li>Bei einem Kegel verwendet man gerne \(\alpha =90°\) und \(k=0,5\) (<a href="https://www.geogebra.org/m/ggg5gbdz">Geogebra</a>).</li></ul><h4>Rotationskörper</h4><p>Körper, die durch Rotationeiner Figur um eine Achse entstehen, heißen <strong>Rotationskörper</strong>.</p><ul><li>Kegel entsteht durch Rotation eines rechtwinkligen Dreiecks um eine Kathete.</li><li>Zylinder entsteht durch Rotation eines Rechtecks um eine Seite.</li><li>Kugel entsteht durch Rotation eines Halbreises um den Durchmesser.</li></ul><h3>Berechnungen in Pyramiden und Kegeln</h3><ul><li>Bei einer quadratischen geraden Pyramide können die Kantenlänge der Grundfläche und die Seitenkante der Pyramide direkt gemessen werden.</li><li>Bei einem geraden Kegel können Durchmesser der Grundfläche und Seitenkante des Kegels direkt gemessen werden</li><li>Schrägbilder mit Berechnungen von <a href="https://www.geogebra.org/calculator/fqwabhp3">Pyramide</a> und Kegel in Geogebra</li><li>Schrägbilder mit Berechnungen von <a href="https://www.matheretter.de/wiki/pyramide-formeln">Pyramide</a> und <a href="https://www.matheretter.de/wiki/kegel-formeln">Kegel</a> <a href="https://www.matheretter.de/wiki">matheretter.de/wiki</a></li></ul><h4>Berechnung der Höhe in einer geraden quadratischen Pyramide</h4><p><a href="https://www.geogebra.org/calculator/fqwabhp3">Abbildung mit Geogebra</a></p><h5>Berechnung aus der Höhe einer Seitenfläche</h5><p>\( s^2=\left (\dfrac{a}{2}\right )^2+h_a^2\\h_a^2=\left (\dfrac{a}{2}\right )^2+h^2\\s^2=\left (\dfrac{a}{2}\right )^2+\left (\dfrac{a}{2}\right )^2+h^2\\s^2=2\left (\dfrac{a}{2}\right )^2+h^2\\h=\sqrt{s^2-\dfrac{a^2}{2}} \)</p><h5>Berechnung aus der Diagonale der Grundfläche</h5><p>\( \text{Diagonale }d\\d^2=a^2+a^2\\d=\sqrt{2a^2}\\d=a\sqrt{2}\\s^2=h^2+\left ( \dfrac{d}{2}\right )^2\\h^2=s^2-\dfrac{a^2}{2}\\h=\sqrt{s^2-\dfrac{a^2}{2}} \)</p><h4>Berechnung der Höhe in einem Kegel</h4><p><a href="https://www.matheretter.de/wiki/kegel-formeln">Abbildung</a><br />\(s^2=r^2+h^2\\h=\sqrt{s^2-r^2}\)</p><h4>Berechnung der Winkel in einer geraden quadratischen Pyramide</h4><p><a href="https://www.geogebra.org/calculator/fqwabhp3">Abbildung</a><br />\( \sin \alpha=\dfrac{h}{h_a}\\\sin\epsilon =\dfrac{h}{s} \)</p><h4>Berechnung der Winkel in einem Kegel</h4><p><a href="https://www.matheretter.de/wiki/kegel-formeln">Abbildung</a><br />\( \sin\alpha =\dfrac{h}{s}\\\cos\alpha =\dfrac{r}{s}\\\sin\varphi =\dfrac{r}{s}\\cos\varphi =\dfrac{h}{s} \)</p><h4>Pyramiden- und Kegelstumpf</h4><p>Bei Pyramiden (<a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Pyramidenstumpf#:~:text=Ein%20Pyramidenstumpf%20ist%20ein%20Begriff,%C3%A4hnliche%20Pyramide%20(Erg%C3%A4nzungspyramide)%20abschneidet.">Wikipedia</a>)- und Kegelstumpf (<a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Kegelstumpf#:~:text=Kegelstumpf%20ist%20in%20der%20Geometrie,als%20Erg%C3%A4nzungskegel%20des%20Kegelstumpfs%20bezeichnet.">Wikipedia</a>) gilt der Strahlensatz der V-Figur.</p><h3>Oberflächeninhalt und Volumen von Pyramide und Kegel</h3><h4>Oberflächeninhalt von Pyramide und Kegel</h4><p>Die <strong>Oberfläche von Pyramide und Kegel</strong> setzt sich aus Grundfläche und Mantel zusammen:<br />\(O=G+M\)</p><h4>Sonderfälle der Oberfläche einer Pyramide</h4><p>Der Mantel einer geraden Pyramide setzt sich aus gleichschenkligen Dreiecken zusammen.</p><ul><li><strong>Oberfläche einer quadratische gerade Pyramide mit Grundflächenseite \(a\) und Kantenlänge \(s\)</strong> (<a href="https://www.geogebra.org/calculator/fqwabhp3">Abbildung mit Geogebra</a>)<br />\( O=a^2+4\cdot \dfrac{1}{2}\cdot a\cdot h_a\\ O=a^2+2\cdot a\cdot h_a\\h_a=\sqrt{s^2-\dfrac{a^2}{4}} \)</li><li><strong>Oberfläche eines Tetraeders </strong><br />Eine Pyramide die aus gleichseitigen Dreiecken mit der Kantenlänge a besteht heißt Tetraeder (<a href="https://de.serlo.org/mathe/36213/tetraeder">Serlo</a>)<br />\( O=4\cdot \frac{1}{2}\cdot a\cdot \sqrt{a^2-\left ( \dfrac{a}{2}\right )^2}\\O=4\cdot \frac{1}{2}\cdot a\cdot \sqrt{\dfrac{3}{4}a^2}\\O=a^2\sqrt{3} \)</li><li><strong>Oberfläche eines geraden Kegels </strong>(<a href="https://www.mathe-lexikon.at/geometrie/geometrische-koerper/kegel/oberflache.html">mathe-lexikon.at</a>)<br />mit Radius r und Seitenkante s<ul><li>\(O=G+M\)</li><li>Grundfläche ist ein Kreis mit Radius r<br />\(G=\pi r^2\)</li><li>Mantel ist ein Kreissektor mit Radius s und als Bogenlänge der Umfang des Grundkreises<br />\(\dfrac{M}{\pi s^2 }=\dfrac{2\pi r^2}{2\pi s^2}\Rightarrow M=\dfrac{2\pi r}{2\pi s}\pi s^2 \)</li><li>\( O=r^2+\dfrac{2\pi r}{2\pi s}\pi s^2\Rightarrow\\O=\pi r^2+\pi rs\Rightarrow\\O=\pi r(r+s) \)</li></ul></li></ul><h4>Volumen von Pyramide und Kegel</h4><h5>Cavalierisches Prinzip (Satz von Cavalieri)</h5><ul><li>Zwei Körper gleicher Höhe sind volumengleich, wenn sie in jeweils gleicher Höhe flächengleiche Querschnitte haben. (<a href="https://www.google.com/search?sca_esv=5f295d922f4ac677&rlz=1C1CHBF_deDE764DE764&sxsrf=ADLYWIJFDEx_6-Gxi5hEu03xJCO3btWRqw:1718685064176&q=prinzip+von+cavalieri&uds=ADvngMgVkuCAe6Fu5UTd68E8qkQPyEhu9zdQnqfFWCu3h-SlA2_RD55sgKjHWO0VTjB0VT-lYkfe4iKuZmVq0gnuos1xGeq9csk5cvYftT4JEzDaGhjTqUlGk7G671BtbVNxG-rQx90HJrLWrk9Sc8Gpd-B63IyBFw&udm=2&sa=X&ved=2ahUKEwjjmezlqOSGAxWqgf0HHRUWDrMQxKsJegQICRAB&ictx=0&biw=1536&bih=735&dpr=1.25">Abbildungen</a>)</li><li>Damit sind nicht nur "gerade" und "schiefe" Körper bei gleicher Höhe volumengleich, sondern auch Körper mit unterschiedlich geformter aber flächengleicher Grundfläche, wie z.B. alle Prismen mit gleicher Höhe flächengleicher Grundfläche, wobei die diese ein beliebiges Vieleck sein darf.</li></ul><h5>Volumen einer Pyramide</h5><ul><li>Eine dreiseitiges gerades Prisma lässt sich in 3 dreiseitige Pyramiden zerlegen, die die gleiche Grundfläche und Höhe wie das Prisma haben (<a href="https://www.geogebra.org/m/mfnpv6nn">Geogebra</a>).</li><li>Damit gilt für jede dieser Pyramiden, dass ihr Volumen ein Drittel des Volumens des Prismas ist, also<br />\( V_{dreiseitige Pyramide}=\dfrac{1}{3}\cdot G_{Prisma}\cdot h_{Prisma}=\dfrac{1}{3}\cdot G_{dreiseitige Pyramide}\cdot h_{dreiseitige Pyramide} \)</li><li>Cavalieri sagt dass die Form der Grundfläche dabei egal ist, wenn sie flächengleich ist, womit für das Volumen aller Pyramiden gilt:<br />\(V_{Pyramide}=\dfrac{1}{3}\cdot G_{Pyramide}\cdot h_{Pyramide}\)</li></ul><h5>Volumen eines Kegels</h5><ul><li>Das Volumen eines Kegels lässt sich durch das Volumen einer regulären geraden Pyramide mit unendlich vielen Ecken annähern (<a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Archimedes_pi.svg">Abbildung</a>).</li><li>Volumen eines Kegels mit Radius r und Höhe h:<br />\(V_{Kegel}=\dfrac{1}{3}\cdot \pi r^2\cdot h\)</li><li>Volumen eines Kegels mit Radius r und Seitenkante s:<br />\( s^2=r^2+h^2\Rightarrow h^2=s^2-r^2\Rightarrow\\V_{Kegel}=\dfrac{1}{3}\pi r^2\cdot \sqrt{s^2-r^2} \)</li></ul><h4>Sonderfälle für das Volumen von Pyramiden</h4><ul><li>Volumen einer quadratischen Pyramide der Quadratseite a und der Kantenlänge s</li><li>Volumen eines Tetraeders mit der Kantenlänge a<ul><li>Die Seitenhalbierenden in einem Dreieck schneiden sich in einem Punkt im Verhältnis 2:1. (<a href="https://mathepedia.de/Seitenhalbierende.html">Beweis</a>)</li><li><a href="https://de.serlo.org/mathe/36213/tetraeder">Serlo</a><ul><li>Berechnung der Höhe \(h_a\) einer Seitenfläche des Tetraeders<br />\(h_a^2=a^2-(\dfrac{a}{2})^2\\h_a^2=\dfrac{3}{4}a^2\\h_a=\dfrac{1}{2}a\sqrt{3}\)</li><li>Berechnung der Höhe \(h\) des Tetraeders<br />\( a^2=(\dfrac{2}{3}h_a)^2+h^2\\h^2=a^2-\dfrac{4}{9}\cdot\dfrac{3}{4}a^2\\h=\sqrt{\dfrac{2}{3}a^2}\\h=\dfrac{a}{3}\sqrt{6} \)</li><li>Berechnung der Grundfläche des Tetraeders<br />\( G=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot h_a\\G=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot\dfrac{1}{2}a\sqrt{3}\\G=\dfrac{1}{4}a^2\sqrt{3} \)</li><li>Berechnung des Volumens des Tetraeders<br />\( V=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h\\V=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{4}a^2\sqrt{3} \cdot\dfrac{a}{3}\sqrt{6}\\V=\dfrac{1}{36}\cdot a^3\sqrt{3^2\cdot 2}\\V=\dfrac{1}{12}a^3\sqrt{2} \)</li></ul></li></ul></li></ul><h3>Volumen und Oberfläche einer Kugel</h3><h4>Volumen einer Kugel</h4><ul><li>Nach dem Prinzip von Cavalieri ist das Volumen einer Halbkugel mit dem Radius r gleich dem Volumen eines Zylinders, dessen Radius und Höhe ebenfalls gleich r ist, und aus dem ein Kegel herausgeschnitten wird, da sich<br /><ul><li>für die Kreisfläche<br />\(A_{Kreis}=\pi\cdot s^2\\s^2=r^2-h^2\\A_{Kreis}=\pi\cdot r^2-\pi\cdot h^2\)</li><li>sich der gleiche Wert wie für Fläche von Zylinder-Kegel ergibt<br />\(A_{Ring}=\pi\cdot r^2-\pi\cdot h^2\)</li></ul></li><li>Abbildung <a href="https://lernplattform.mebis.bycs.de/mod/wiki/edit.php?pageid=328285&section=Volumen+und+Oberfl%C3%A4che+einer+Kugel">Wikipedia</a><br /><ul><li>\( V_{Halbkugel}=V_{Zylinder}-V_{Kegel}=\pi\cdot r^2\cdot r-\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^2\cdot r=\dfrac{2}{3}\cdot \pi\cdot r^3 \)</li></ul><ul><li>\(V_{Kugel}=\dfrac{4}{3}\pi r^3\)</li></ul></li><li>Geogebra<ul><li><a href="https://www.geogebra.org/m/SDC9peT9">Cavalieri 3D</a></li><li><a href="https://www.geogebra.org/m/rZ2TM53c">Cavalieri 2D</a></li><li><a href="https://www.geogebra.org/calculator/wur5vruv">Cavalieri 2D mit Rechnung</a></li></ul></li></ul><h4>Oberfläche einer Kugel</h4><ul><li>Eine Kugel mit Radius r kann man sich aus unendlich vielen Pyramiden mit unendlich kleiner Grundfläche und Höhe r zusammengesetzt vorstellen, wobei die Summe der Grundfläche dieser Pyramiden gleich der Oberfläche der Kugel \(O_{Kugel}\) sein muss und das Volumen von Kugel und der Summe der Pyramiden gleich sind.</li><li>Abbildung <a href="https://www.geogebra.org/m/fxhyvmva">Geogebra</a><ul><li>\( V_{Kugel}=\dfrac{1}{3}\cdot O_{Kugel}\cdot r\)</li></ul><ul><li>\(O_{Kugel}=4\pi r^2 \)</li></ul></li></ul><!--HTML-Ende-->
</div>
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<!--HTML-Start--><h3>Pyramiden und Kegel</h3><h4>Definition einer Pyramide</h4><ul><li>Eine <strong>Pyramide</strong> besteht aus einem <strong>Vieleck</strong> und einem <strong>Punkt</strong> S außerhalb der Ebene des Vielecks.<ul><li>Wikipedia</li><li>Geogebra</li></ul></li><li>Den Abstand des Punktes S von der Grundfläche G des Vielecks nennt man<strong> Höhe h der Pyramide</strong>.</li><li>Ein <strong>gerades Prisma</strong> hat ein punktsymmetrisches Vieleck mit gleichlangen Seiten als Grundfläche und die Spitze liegt senkrecht über dem Spiegelzentrum des Vielecks, ansonsten spricht man von einer <strong>schiefen Pyramide</strong>. Eine schiefe Pyramide mit einem regelmäßigen Vieleck als Grundfläche wird <strong>regelmäßiges Prisma</strong> genannt.</li></ul><h4>Definition eines Kegels</h4><ul><li>Ein <strong>Kegel</strong> besteht aus einem <strong>Kreis</strong> und einem <strong>Punkt</strong> S außerhalb der Ebene des Kreises.<ul><li>Wikipedia</li><li>Geogebra</li></ul></li><li>Den Abstand des Punktes S von der Grundfläche G des Vielecks nennt man<strong> Höhe h des Kegels</strong>.</li><li>Bei einem <strong>geraden Kegel </strong>liegt die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt des Kreises, ansonsten spricht man von einem <strong>schiefen Kegel</strong>.</li></ul><h4>Netz von Pyramide und Kegel (Basteln)</h4><ul><li>Netz einer Pyramide (<a href="https://www.geogebra.org/calculator/tvebncct">Geogebra-3D</a>, <a href="https://www.geogebra.org/calculator/mc6ymk5g">Geogebra</a>)</li><li>Netz eines Kegels (<a href="https://www.geogebra.org/m/fgzc5fmp">Geogebra</a>) mit Radius r und Höhe h<ul><li>Radius m des Mantel-Sektors mit Bogenlänge \(2\pi r\)<br />\(m=\sqrt{r^2+h^2}\)</li><li>Mittelpunktswinkel des Mantel-Sektors<br />\(\alpha=\dfrac{r}{m}\cdot 360°\)</li></ul></li></ul><h4>Schrägbild von Pyramide und Kegel (Zeichnen)</h4><ul><li>Ein Schrägbild wird durch den Verzerrungswinkel \(\alpha\) und den Verzerrungsfaktor \(k\) festgelegt.</li><li>Bei einer Pyramide wird gerne \(\alpha =45°\) und \(k=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) genommen (<a href="https://www.geogebra.org/m/JU6JBhSx">Geogebra</a>).</li><li>Bei einem Kegel verwendet man gerne \(\alpha =90°\) und \(k=0,5\) (<a href="https://www.geogebra.org/m/ggg5gbdz">Geogebra</a>).</li></ul><h4>Rotationskörper</h4><p>Körper, die durch Rotationeiner Figur um eine Achse entstehen, heißen <strong>Rotationskörper</strong>.</p><ul><li>Kegel entsteht durch Rotation eines rechtwinkligen Dreiecks um eine Kathete.</li><li>Zylinder entsteht durch Rotation eines Rechtecks um eine Seite.</li><li>Kugel entsteht durch Rotation eines Halbreises um den Durchmesser.</li></ul><h3>Berechnungen in Pyramiden und Kegeln</h3><ul><li>Bei einer quadratischen geraden Pyramide können die Kantenlänge der Grundfläche und die Seitenkante der Pyramide direkt gemessen werden.</li><li>Bei einem geraden Kegel können Durchmesser der Grundfläche und Seitenkante des Kegels direkt gemessen werden</li><li>Schrägbilder mit Berechnungen von <a href="https://www.geogebra.org/calculator/fqwabhp3">Pyramide</a> und Kegel in Geogebra</li><li>Schrägbilder mit Berechnungen von <a href="https://www.matheretter.de/wiki/pyramide-formeln">Pyramide</a> und <a href="https://www.matheretter.de/wiki/kegel-formeln">Kegel</a> <a href="https://www.matheretter.de/wiki">matheretter.de/wiki</a></li></ul><h4>Berechnung der Höhe in einer geraden quadratischen Pyramide</h4><p><a href="https://www.geogebra.org/calculator/fqwabhp3">Abbildung mit Geogebra</a></p><h5>Berechnung aus der Höhe einer Seitenfläche</h5><p>\( s^2=\left (\dfrac{a}{2}\right )^2+h_a^2\\h_a^2=\left 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\)</p><h4>Pyramiden- und Kegelstumpf</h4><p>Bei Pyramiden (<a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Pyramidenstumpf#:~:text=Ein%20Pyramidenstumpf%20ist%20ein%20Begriff,%C3%A4hnliche%20Pyramide%20(Erg%C3%A4nzungspyramide)%20abschneidet.">Wikipedia</a>)- und Kegelstumpf (<a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Kegelstumpf#:~:text=Kegelstumpf%20ist%20in%20der%20Geometrie,als%20Erg%C3%A4nzungskegel%20des%20Kegelstumpfs%20bezeichnet.">Wikipedia</a>) gilt der Strahlensatz der V-Figur.</p><h3>Oberflächeninhalt und Volumen von Pyramide und Kegel</h3><h4>Oberflächeninhalt von Pyramide und Kegel</h4><p>Die <strong>Oberfläche von Pyramide und Kegel</strong> setzt sich aus Grundfläche und Mantel zusammen:<br />\(O=G+M\)</p><h4>Sonderfälle der Oberfläche einer Pyramide</h4><p>Der Mantel einer geraden Pyramide setzt sich aus gleichschenkligen Dreiecken zusammen.</p><ul><li><strong>Oberfläche einer quadratische gerade Pyramide mit Grundflächenseite \(a\) und Kantenlänge \(s\)</strong> (<a href="https://www.geogebra.org/calculator/fqwabhp3">Abbildung mit Geogebra</a>)<br />\( O=a^2+4\cdot \dfrac{1}{2}\cdot a\cdot h_a\\ O=a^2+2\cdot a\cdot h_a\\h_a=\sqrt{s^2-\dfrac{a^2}{4}} \)</li><li><strong>Oberfläche eines Tetraeders </strong><br />Eine Pyramide die aus gleichseitigen Dreiecken mit der Kantenlänge a besteht heißt Tetraeder (<a href="https://de.serlo.org/mathe/36213/tetraeder">Serlo</a>)<br />\( O=4\cdot \frac{1}{2}\cdot a\cdot \sqrt{a^2-\left ( \dfrac{a}{2}\right )^2}\\O=4\cdot \frac{1}{2}\cdot a\cdot \sqrt{\dfrac{3}{4}a^2}\\O=a^2\sqrt{3} \)</li><li><strong>Oberfläche eines geraden Kegels </strong>(<a href="https://www.mathe-lexikon.at/geometrie/geometrische-koerper/kegel/oberflache.html">mathe-lexikon.at</a>)<br />mit Radius r und Seitenkante s<ul><li>\(O=G+M\)</li><li>Grundfläche ist ein Kreis mit Radius r<br />\(G=\pi r^2\)</li><li>Mantel ist ein Kreissektor mit Radius s und als Bogenlänge der Umfang des Grundkreises<br />\(\dfrac{M}{\pi s^2 }=\dfrac{2\pi r^2}{2\pi s^2}\Rightarrow M=\dfrac{2\pi r}{2\pi s}\pi s^2 \)</li><li>\( O=r^2+\dfrac{2\pi r}{2\pi s}\pi s^2\Rightarrow\\O=\pi r^2+\pi rs\Rightarrow\\O=\pi r(r+s) \)</li></ul></li></ul><h4>Volumen von Pyramide und Kegel</h4><h5>Cavalierisches Prinzip (Satz von Cavalieri)</h5><ul><li>Zwei Körper gleicher Höhe sind volumengleich, wenn sie in jeweils gleicher Höhe flächengleiche Querschnitte haben. (<a href="https://www.google.com/search?sca_esv=5f295d922f4ac677&rlz=1C1CHBF_deDE764DE764&sxsrf=ADLYWIJFDEx_6-Gxi5hEu03xJCO3btWRqw:1718685064176&q=prinzip+von+cavalieri&uds=ADvngMgVkuCAe6Fu5UTd68E8qkQPyEhu9zdQnqfFWCu3h-SlA2_RD55sgKjHWO0VTjB0VT-lYkfe4iKuZmVq0gnuos1xGeq9csk5cvYftT4JEzDaGhjTqUlGk7G671BtbVNxG-rQx90HJrLWrk9Sc8Gpd-B63IyBFw&udm=2&sa=X&ved=2ahUKEwjjmezlqOSGAxWqgf0HHRUWDrMQxKsJegQICRAB&ictx=0&biw=1536&bih=735&dpr=1.25">Abbildungen</a>)</li><li>Damit sind nicht nur "gerade" und "schiefe" Körper bei gleicher Höhe volumengleich, sondern auch Körper mit unterschiedlich geformter aber flächengleicher Grundfläche, wie z.B. alle Prismen mit gleicher Höhe flächengleicher Grundfläche, wobei die diese ein beliebiges Vieleck sein darf.</li></ul><h5>Volumen einer Pyramide</h5><ul><li>Eine dreiseitiges gerades Prisma lässt sich in 3 dreiseitige Pyramiden zerlegen, die die gleiche Grundfläche und Höhe wie das Prisma haben (<a href="https://www.geogebra.org/m/mfnpv6nn">Geogebra</a>).</li><li>Damit gilt für jede dieser Pyramiden, dass ihr Volumen ein Drittel des Volumens des Prismas ist, also<br />\( V_{dreiseitige Pyramide}=\dfrac{1}{3}\cdot G_{Prisma}\cdot h_{Prisma}=\dfrac{1}{3}\cdot G_{dreiseitige Pyramide}\cdot h_{dreiseitige Pyramide} \)</li><li>Cavalieri sagt dass die Form der Grundfläche dabei egal ist, wenn sie flächengleich ist, womit für das Volumen aller Pyramiden gilt:<br />\(V_{Pyramide}=\dfrac{1}{3}\cdot G_{Pyramide}\cdot h_{Pyramide}\)</li></ul><h5>Volumen eines Kegels</h5><ul><li>Das Volumen eines Kegels lässt sich durch das Volumen einer regulären geraden Pyramide mit unendlich vielen Ecken annähern (<a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Archimedes_pi.svg">Abbildung</a>).</li><li>Volumen eines Kegels mit Radius r und Höhe h:<br />\(V_{Kegel}=\dfrac{1}{3}\cdot \pi r^2\cdot h\)</li><li>Volumen eines Kegels mit Radius r und Seitenkante s:<br />\( s^2=r^2+h^2\Rightarrow h^2=s^2-r^2\Rightarrow\\V_{Kegel}=\dfrac{1}{3}\pi r^2\cdot \sqrt{s^2-r^2} \)</li></ul><h4>Sonderfälle für das Volumen von Pyramiden</h4><ul><li>Volumen einer quadratischen Pyramide der Quadratseite a und der Kantenlänge s</li><li>Volumen eines Tetraeders mit der Kantenlänge a<ul><li>Die Seitenhalbierenden in einem Dreieck schneiden sich in einem Punkt im Verhältnis 2:1. (<a href="https://mathepedia.de/Seitenhalbierende.html">Beweis</a>)</li><li><a href="https://de.serlo.org/mathe/36213/tetraeder">Serlo</a><ul><li>Berechnung der Höhe \(h_a\) einer Seitenfläche des Tetraeders<br />\(h_a^2=a^2-(\dfrac{a}{2})^2\\h_a^2=\dfrac{3}{4}a^2\\h_a=\dfrac{1}{2}a\sqrt{3}\)</li><li>Berechnung der Höhe \(h\) des Tetraeders<br />\( a^2=(\dfrac{2}{3}h_a)^2+h^2\\h^2=a^2-\dfrac{4}{9}\cdot\dfrac{3}{4}a^2\\h=\sqrt{\dfrac{2}{3}a^2}\\h=\dfrac{a}{3}\sqrt{6} \)</li><li>Berechnung der Grundfläche des Tetraeders<br />\( G=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot h_a\\G=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot\dfrac{1}{2}a\sqrt{3}\\G=\dfrac{1}{4}a^2\sqrt{3} \)</li><li>Berechnung des Volumens des Tetraeders<br />\( V=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h\\V=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{4}a^2\sqrt{3} \cdot\dfrac{a}{3}\sqrt{6}\\V=\dfrac{1}{36}\cdot a^3\sqrt{3^2\cdot 2}\\V=\dfrac{1}{12}a^3\sqrt{2} \)</li></ul></li></ul></li></ul><h3>Volumen und Oberfläche einer Kugel</h3><h4>Volumen einer Kugel</h4><ul><li>Nach dem Prinzip von Cavalieri ist das Volumen einer Halbkugel mit dem Radius r gleich dem Volumen eines Zylinders, dessen Radius und Höhe ebenfalls gleich r ist, und aus dem ein Kegel herausgeschnitten wird, da sich<br /><ul><li>für die Kreisfläche<br />\(A_{Kreis}=\pi\cdot s^2\\s^2=r^2-h^2\\A_{Kreis}=\pi\cdot r^2-\pi\cdot h^2\)</li><li>sich der gleiche Wert wie für Fläche von Zylinder-Kegel ergibt<br />\(A_{Ring}=\pi\cdot r^2-\pi\cdot h^2\)</li></ul></li><li>Abbildung <a href="https://lernplattform.mebis.bycs.de/mod/wiki/edit.php?pageid=328285&section=Volumen+und+Oberfl%C3%A4che+einer+Kugel">Wikipedia</a><br /><ul><li>\( V_{Halbkugel}=V_{Zylinder}-V_{Kegel}=\pi\cdot r^2\cdot r-\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^2\cdot r=\dfrac{2}{3}\cdot \pi\cdot r^3 \)</li></ul><ul><li>\(V_{Kugel}=\dfrac{4}{3}\pi r^3\)</li></ul></li><li>Geogebra<ul><li><a href="https://www.geogebra.org/m/SDC9peT9">Cavalieri 3D</a></li><li><a href="https://www.geogebra.org/m/rZ2TM53c">Cavalieri 2D</a></li><li><a href="https://www.geogebra.org/calculator/wur5vruv">Cavalieri 2D mit Rechnung</a></li></ul></li></ul><h4>Oberfläche einer Kugel</h4><ul><li>Eine Kugel mit Radius r kann man sich aus unendlich vielen Pyramiden mit unendlich kleiner Grundfläche und Höhe r zusammengesetzt vorstellen, wobei die Summe der Grundfläche dieser Pyramiden gleich der Oberfläche der Kugel \(O_{Kugel}\) sein muss und das Volumen von Kugel und der Summe der Pyramiden gleich sind.</li><li>Abbildung <a href="https://www.geogebra.org/m/fxhyvmva">Geogebra</a><ul><li>\( V_{Kugel}=\dfrac{1}{3}\cdot O_{Kugel}\cdot r\)</li></ul><ul><li>\(O_{Kugel}=4\pi r^2 \)</li></ul></li></ul><!--HTML-Ende-->
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