Алексей Васильков родился 28 июля 2004 года в Москве. С ранних лет он проявил интерес к хоккею, и его путь начался в школе московского «Динамо». Уже на детском уровне Алексей продемонстрировал свои способности: в составе «Динамо» он выиграл «Кубок Газпром Нефти», а в суперфинале команда одержала уверенную победу над Омском со счётом 4:0. Этот успех стал первым серьёзным подтверждением его таланта.

В 2017 году Алексей перешёл в команду «Северная Звезда» (Москва), где продолжил оттачивать мастерство, участвуя в юношеских турнирах. Перед дебютом в Молодёжной хоккейной лиге (МХЛ) он оказался в ХК «Капитан». Именно здесь начался его путь во взрослом хоккее.

За два сезона в «Капитане» (2021–2023) Васильков провёл 79 матчей и набрал 37 очков. Особенно ярко он проявил себя в плей‑офф МХЛ против «СКА‑1946», став лучшим снайпером команды с тремя шайбами. Эти результаты показали, что Алексей умеет играть на результат и не теряется в напряжённых матчах. Следующий важный этап в карьере Василькова наступил в мае 2023 года, когда он выступил за молодёжную сборную России на «Кубке Будущего». Это приглашение стало признанием его прогресса и сигналом того, что на него рассчитывают в национальной системе подготовки хоккеистов.

Осенью 2023 года Алексей был арендован тольяттинской «Ладой» для выступлений в Континентальной хоккейной лиге (КХЛ). Его дебют в КХЛ состоялся 5 ноября 2023 года в матче против ЦСКА. За сезон он сыграл 27 матчей в КХЛ и параллельно выступал за «Ладью» (МХЛ), проведя 9 игр.

Сезон 2024–2025 стал для Василькова новым вызовом: он подписал двухлетний контракт с ХК «Сочи». В 19 матчах за «Сочи» в КХЛ он отметился одной результативной передачей. Параллельно Алексей играл за «Ростов» в Высшей хоккейной лиге (ВХЛ), что позволило ему поддерживать игровую форму и адаптироваться к разным стилям хоккея.

В 2025 году Васильков перешёл в ХК «Барс». Этот переход стал очередным шагом в его профессиональном развитии. В ноябре 2025 года он подписал полноценный односторонний контракт с «Барсом» до конца сезона 2025/2026, что говорит о доверии тренеров и менеджеров к его потенциалу.