Pernahkah kamu berpikir apa manfaatnya kita mempelajari teorema Pythagoras? Suatu ilmu akan tahu manfaatnya jika ilmu tersebut diterapkan dalam kehidupan sehari-hari, begitu juga dengan teorema Pythagoras.

Banyak sekali permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang disajikan dalam bentuk soal cerita dan dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema Pythagoras.

Untuk memudahkan menyelesaikan soal-soal penerapan teorema Pythagoras diperlukan bantuan gambar (sketsa). Untuk mengetahui manfaat teorema Pythagoras silahkan pelajari contoh soal di bawah ini.

CONTOH SOAL :

Seorang anak menaikkan layang-layang dengan benang yang panjangnya 250 meter. Jarak anak di tanah dengan titik yang tepat berada di bawah layang-layang adalah 70 meter. Hitunglah ketinggian layang-layang tersebut.

Penyelesaian :

Menentukan Jenis Segitiga dengan Kebalikan Teorema Phytagoras

Kebalikan teorema Pythagoras ialah suatu cara untuk memilih jenis segitiga jika panjang sisi-sisinya diketahui. Kebalikan teorema Pythagoras dipakai untuk melihat apakah segitiga itu siku-siku, lancip, atau tumpul.

Untuk memilih jenis segitiga menurut panjang sisi-sisinya, maka kita harus memilih sisi terpanjangnya terlebih dahulu. Sisi terpanjang inilah yang kemudian kita jadikan sebagai patokan untuk memilih jenis segitiga menurut sudutnya.

Misal diberi sebuah segitiga ABC dengan a > b > c > 0 yang kita tidak tahu jenisnya apakah siku-siku, lancip, atau tumpul. Dari kondisi ini sanggup kita lihat bahwa sisi a ialah sisi terpanjang sedangkan c yaitu sisi terpendek.

Jika panjang a, b, dan c diketahui, maka untuk memeriksa jenis segitiganya kita sanggup memakai prinsip kebalikan teorema Pythagoras, yaitu:

1. Jika a² = b² + c², segitiga ABC siku-siku

2. Jika a² < b² + c², segitiga ABC lancip

3. Jika a² > b² + c², segitiga ABC tumpul

Tripel Phytagoras adalah tiga bilangan asli yang memenuhi persamaan pada Teorema Phytagoras.

Kita menguji Tripel Phytagoras dengan menguadratkan panjang Hipotenusa (sisi miring) yakni c², kemudian menghitung a² + b². Jika kedua penghitungan tersebut memiliki nilai yang sama, maka ketiga bilangan tersebut adalah Tripel Phytagoras.

Contoh :

Diketahui bilangan 3,4 dan 5. Apakah ketiga bilangan tersebut merupakan Tripel Phytagoras ?

Jawab :

sisi miring/hipotenusa = Sisi terpanjang = angka terbesar = 5

Jadi, c² = 5² = 25

Kemudian kita cek a² + b² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25

Jadi, 5² = 3² + 4²

Sehingga, bilangan 3,4, dan 5 memenuhi persamaan Phytagoras dan merupakan pasangan bilangan tripel Phytagoras.

==========

Untuk menemukan Pasangan Bilangan Tripel Phytagoras yang lain, coba lengkapilah Tabel di bawah ini. Kemudian Foto Hasil pekerjaanmu dan kirimkan ke Classroom dengan klik Nama Kelas di bawah ini sesuai kelas masing-masing !

Teorema Phytagoras dapat digunakan untuk melakukan penyelidikan terhadap sifat menarik dari segitiga siku-siku sama kaki dan segitiga siku-siku yang besar sudutnya 30º - 60º - 90º.

SEGITGA SIKU-SIKU SAMA KAKI

Salah satu dari segitiga khusus adalah segitiga sama kaki dengan besar ketiga sudutnya 45º - 45º - 90º. Setiap segitiga siku-siku sama kaki adalah setengah dari persegi. Perhatikan gambar segitiga siku-siku sama kaki di bawah ini.

Tugas Penalaran

1. Bagaimanakah hubungan Ketiga sisi pada segitiga siku-siku sama kaki ?

2. Bagaimana cara menghitung panjang sisi segitiga siku-siku sama kaki jika hanya salah satu panjang sisi segitiga yang diketahui.

Untuk menjawab pertanyaan tersebut, coba perhatikan penjelasan berikut !

Jadi hubungan ketiga sisi segitiga siku-siku sama kaki adalah :

• Jika panjang sisi segitiga siku-siku adalah s maka panjang sisi miring adalah s√2

• Perbandingan sisi dari segitiga siku-siku sama kaki adalah 1:1:√2

Dengan menggunakan hubungan di atas, kita dapat mencari panjang sisi segitiga siku-siku sama kaki jika hanya salah satu panjang sisi segitiga yang diketahui.

=========

Untuk lebih memahami materi pertemuan ini, Kerjakanlah Latihan Soal Berikut !

Salah satu jenis segitiga yang kita kenal adalah segitiga yang setiap sudutnya memiliki sudut 30, 60 dan 90 derajat. Segitiga ini memiliki sifat yang spesial dari yang lain misal untuk mencari perbandingan sudutnya saja kita dapat menggunakan pola. Bagaimanankah kita dapat mencari hubungan panjang ketiga sisi pada segitiga ini ?.

Kita dapat menentukan hubungannya dengan mudah untuk menentukan panjang salah satu sisi segitiga siku-siku yang bersudut 30-60-90 derajat meski hanya diketahui salah satunya saja. Kita bisa menemukannya dengan menggunakan theorema pythagoras sama seperti segitiga siku-siku lainnya untuk memahaminya perhatikan segitiga dan sifat-sifat berikut ini.

Misalkan segitiga ABC adalah segitiga sama sisi. Garis CD adalah garis simetris segitiga ABC.

Berapakah besar sudut segitiga ABC ? pastinya setiap segitiga memiliki sudut 180⁰.

Berapa besar sudut ACD, ADC, BCD, BDC ? Pertama sudut ACD adalah sudut 30⁰ karena segitiga sama sisi memiliki sudut 60⁰ semuannya jadi tinggal dibagi menjadi 2. Kedua, sudut ADC adalah sudut siku-siku atau 90⁰ karena membagi garis lurus (180⁰). Ketiga, sudut BCD sama dengan sudut ACD dan sudut BDC sama dengan sudut ADC.

Bagaimana dengan panjang garis AD dan BD ? Panjang garis AD dan BD adalah sama karena berada pada garis alas pada segitiga sama sisi.

Berapakah perbandingan panjang sisi BD dan AB? Berapakah perbandingan sisi BD dan BC ? Perbandingan panjang sisi BD dan AB adalah 1 : 2 karena BD adalah setengah dari AB dan perbandingan BD dan BC adalah 1 : 2 karena panjang BC sama dengan AB (segitiga sama sisi)

Jika diketahui pada segitiga BDC, panjang BC = 20 cm, tentukan panjang BD dan CD ? panjang BD adalah setengah dari BC yaitu 10 cm karena BC = AB (segitiga sama sisi) dan panjang CD adalah menggunakan sifat pytagoras yaitu

KESIMPULAN MATERI :

• Sifat sifat dari segitiga yang memiliki 30⁰, 60⁰, dan 90⁰ yaitu Jika diberikan segitiga siku siku ABC dengan besar sudut 30⁰, 60⁰, dan 90⁰ dengan panjang sisi AB yang terpendek adalah a, maka rasio AB : BC : AC adalah a : a√3 : 2a .

• Perbandingan segitiga siku-siku yang mempunyai sudut 30° , 60° dan 90⁰ adalah alas : tinggi : hipotenusa = 1 : √3 : 2

=====

CONTOH SOAL

PENYELESAIAN

Materi tentang lingkaran telah kalian pelajari ketika masih SD. Di kelas VIII ini akan dipelajari lebih banyak tentang materi lingkaran. Banyak hal yang akan dipelajari pada bab tentang lingkaran. Sebelum mempelajari lebih jauh Bab Lingkaran, mari mengenal lebih dulu “apa itu lingkaran?”. Untuk mengenal lingkaran, mari amati gambar-gambar yang menunjukkan lingkaran dan bukan lingkaran berikut.

Dari gambar di atas, dapat kita simpulkan sbb :

• Lingkaran merupakan salah satu kurva tutup sederhana yang membagi bidang menjadi dua bagian, yaitu bagian dalam dan bagian luar lingkaran.

• jarak titik (r) terhadap titik pusat O pada lingkaran memiliki nilai yang sama (r1=r2=r3=r4)

Selain titik pusat dan jari-jari, masih banyak istilah yang berkaitan dengan lingkaran yang akan kita pelajari pada BAB ini. Dengan pemahaman tentang istilah-istilah tersebut kalian bisa memecahkan berbagai masalah yang terkait dengan lingkaran.

Bentuk-bentuk lingkaran banyak kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Berikut ini merupakan salah satu contoh masalah sehari-hari yang berkaitan dengan lingkaran.

==========

TUGAS

Gambar di bawah ini adalah foto salah satu peninggalan sejarah, yaitu stonehenge yang berada di Inggris. Seorang arkeolog menduga, bentuk utuh stonehenge adalah lingkaran. Namun dia tidak bisa menentukan berapakah jari-jari lingkaran dari susunan stonehenge, karena bentuknya hanya berupa busur. Andaikan kalian menjadi penemu tersebut, apa yang kalian lakukan untuk menentukan posisi titk pusat stonehenge dan membuat sketsa lingkaran.

A. Unsur-unsur Lingkaran yang Berupa Garis dan Ciri-cirinya

• BUSUR

Ciri-ciri

1. Berupa kurva lengkung.

2. Berhimpit dengan lingkaran.

3. Jika kurang dari setengah lingkaran (sudut pusat < 180⁰) disebut busur minor.

4. Jika lebih dari setengah lingkaran (sudut pusat > 180⁰) disebut busur mayor.

5. Busur setengah lingkaran berukuran sudut pusat = 180⁰

Keterangan :

Untuk selanjutnya, jika tidak disebutkan mayor atau minor, maka yang dimaksud adalah minor.

• JARI-JARI

Ciri-ciri

1. Berupa ruas garis.

2. Menghubungkan titik pada lingkaran dengan titik pusat.

• DIAMETER

Ciri-Ciri :

1. Berupa ruas garis

2. Menghubungkan dua titik pada lingkaran.

3. Melalui titik pusat lingkaran.

• TALI BUSUR

Ciri-ciri :

1. Berupa ruas garis.

2. Menghubungkan dua titik pada lingkaran.

• APOTEMA

Ciri-ciri :

1. Berupa ruas garis.

2. Menghubungkan titik pusat dengan satu titik di tali busur.

3. Tegak lurus dengan tali busur.

• TEMBERENG

Ciri-ciri :

1. Berupa daerah di dalam lingkaran.

2. Dibatasi oleh tali busur dan busur lingkaran.

Keterangan: Untuk istilah busur, juring, tembereng, maupun sudut, jika tidak disebutkan secara spesifik minor atau mayor, maka kita sepakati minor.

=======

TUGAS PENALARAN

Berikan tanggapan (Ya atau Tidak) terhadap pernyatan nomor 1 - 5 berikut serta berikan alasan kalian.

• Sudut pusat adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh pusat lingkaran dan dua titik yang terletak pada busur lingkaran.

• Sudut keliling adalah sudut yang kaki sudutnya berhimpit dengan tali busur, dan titik pusatnya berhimpit dengan suatu titik pada lingkaran.

Hubungan Besar Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Besar sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur yang sama memiliki hubungan. Jadi, jika suatu besar sudut pusat diketahui, maka sudut keliling yang menghadap busur yang sama juga dapat diketahui.

Perhatikan gambar di bawah!

Dapat disimpulkan hubungan antara sudut pusat dengan sudut keliling adalah sbb :

• Besar sudut pusat adalah dua kali besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama ⇨ ∠AOB = 2 × ∠ACB

• Besar sudut keliling adalah setengah dari besar sudut pusat yang menghadap busur yang sama ⇨ ∠ACB = ½ ∠AOB

• Besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah sama.

• Jumlah dari sudut keliling yang saling berhadapan adalah 180⁰

CONTOH SOAL

=======

Untuk Lebih memahami materi ini, kerjakanlah latihan soal berikut !

2. Perhatikan gambar di bawah ini. Jika O adalah titik pusat, Besar sudut ABC adalah ...

Busur lingkaran adalah segmen garis yang terletak pada keliling lingkaran yang merupakan bagian dari lingkaran. Segmen garis tersebut dibatasi oleh dua titik. Panjang busur lingkaran berbanding lurus dengan besar sudut yang dibentuk oleh titik pusat lingkaran dan kedua titik yang membatasi segmen garis tersebut.

Juring lingkaran adalah luas daerah yang dibatasi oleh dua buah jari-jari dan busur lingkaran. Seperti panjang busur, luas juring lingkaran berbanding lurus dengan besar sudut yang dibentuk oleh kedua jari-jari (sudut pusat).

Perhatikan gambar di bawah!

Segmen garis AB, MN, dan KL adalah busur lingkaran, sedangkan daerah yang dibatasi oleh OAB, OMN, dan OKL adalah juring lingkaran.

CONTOH SOAL

Perhatikan gambar di bawah ini !

Titik O pada gambar di atas adalah pusat lingkaran.

a. Panjang busur kecil AB adalah ...

b. Luas juring OAB adalah . . . .

PEMBAHASAN

a. Panjang busur kecil AB

b. Luas juring OAB

Lingkaran dan garis singgungnya sering dijumpai di sekitar kita. Rantai sepeda dapat dianalogikan sebagai garis singgung lingkaran, dalam hal ini yang menjadi lingkarannya adalah gear sepeda. Jadi, apakah yang dimaksud dengan garis singgung lingkaran? Sebelum menjelaskan pengertian tentang garis singgung lingkaran, perhatikan gambar berikut.

Garis singgung persekutuan luar adalah garis singgung persekutuan yang berada di bagian luar dua buah lingkaran.

Perhatikan gambar berikut !

Berdasarkan gambar diatas, maka kita dapat memperoleh :

• jari-jari lingkaran yang berpusat di P = R

• jari-jari lingkaran yang berpusat di Q = r

• panjang garis singgung persekutuan luar adalah AB

• jarak titik pusat kedua lingakaran yaitu PQ = p

Misalnya garis AB kita geser sejajar ke bawah sejauh BQ maka diperoleh garis SQ. Selanjutnya garis AB sejajar SQ, sehingga ∠PSQ = ∠PAB = 90º (sehadap).

Kemudian perhatikan segi empat ABQS maka kita peroleh garis AB//SQ, AS//BQ, dan ∠PSQ = ∠PAB =90º. Karena segitiga PQS siku-siku di S, maka berlaku :

Dikarenakan QS = AB = Garis Singgung Persekutuan Luar (GSPL), sehingga rumus panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah :

GSPL² = p² - (R - r)²

dimana

p = jarak kedua titik pusat

R = jari - jari lingkaran yang lebih besar.

r = jari - jari lingkaran yang lebih kecil.

Garis singgung persekutuan dalam adalah panjang ruas garis yang dibentuk oleh titik-titik singgung lingkaran dengan garis singgung persekutuan dalam

Perhatikan Gambar Berikut !

Berdasarkan gambar diatas, terdapat dua buah lingkaran L1 dan L2 yang berpusat di P dan Q serta berjari-jari R dan r. Maka berdasarkan gambar kita dapat memperoleh sebagai berikut :

• Jari-jari lingkaran yang berpusat di P=R

• jari-jari lingkaran yang berpusat di Q = r

• panjang garis singgung persekutuan dalam (GSPD) adalah AB

• jarak titik pusat kedua lingkaran adalah PQ = p

Jika garis AB digeser sejajar ke atas sejauh BQ maka diperoleh garis SQ. Garis SQ sejajar dengan AB, maka ∠PSQ = ∠PAB = 90º (sehadap). Selanjutnya perhatikanlah segi empat ABQS.

Garis AB//SQ, AS//BQ, dan ∠PSQ = ∠PAB = 90º. Maka kita dapat simpulkan jika segi empat ABQS adalah persegi panjang dengan panjang AB = GSPD dan lebar BQ = r.

Selanjutnya perhatikanlah segitiga PQS, dimana ΔPQS siku-siku di titik S. Menggunakan teorema pythagoras kita dapat memperoleh : QS² = PQ² – PS²

Dikarenakan panjang QS = AB, sehingga rumus garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran (GSPD) menjadi :

GSPD² = p² - (R + r)²

dimana

GSPD = Garis Singgung Persekutuan Dalam

p = jarak kedua titik pusat

R = jari - jari lingkaran yang lebih besar.

r = jari - jari lingkaran yang lebih kecil.

***

Agar lebih memahami cara mengitung garis singgung persektuan dalam dua lingkaran perhatikan contoh soal berikut.

Contoh Soal

Seperti yang kita ketahui, bangun ruang banyak diaplikasikan dalam kehidupan sehari – hari, seperti pada bentuk lemari yang menyerupai balok, bentuk dadu yang menyerupai kubus, bentuk piramida yang menyerupai limas, dsb.

PENGERTIAN

Bangun ruang adalah bangun dalam matematika yang memiliki volume / isi. Bangun ruang disusun oleh tiga komponen, yaitu sisi, rusuk, dan titik sudut. Bangun ruang disebut juga sebagai bangun tiga dimensi. Bangun ruang digolongkan menjadi dua bagian, yaitu bangun ruang sisi datar dan bangun ruang sisi lengkung.

• Bangun ruang sisi datar adalah bangun ruang yang memiliki sisi berbentuk datar (bukan sisi lengkung). Bangun ruang sisi datar meliputi kubus, balok, limas, dan prisma.

BAGIAN-BAGIAN BANGUN RUANG

• Bidang sisi : yakni bidang/sisi pada bangun ruang yang membatasi wilayah antara ruang satu dengan ruangan lainnya.

• Rusuk : yakni pertemuan dua sisi pada bangun datar yang tampak sebagai ruas garis.

• Titik sudut : yakni titik hasil pertemuan dua rusuk atau lebih pada sebuah bangun ruang.

• Diagonal sisi : yakni garis yang merupakan diagonal dari sisi pada bangun ruang tersebut.

• Diagonal ruang : yakni garis yang merupakan diagonal dari sebuah bidang diagonal.

• Bidang diagonal : yakni bidang datar yang terbentuk dari diagonal sisi dan rusuk

Luas permukaan suatu bangun ruang dapat dicari dengan cara menjumlahkan luas dari bidang-bidang yang menyusun bangun ruang tersebut. Oleh karena itu, kita harus memperhatikan banyaknya bidang dan bentuk masing-masing bidang pada suatu bangun ruang.

1. LUAS PERMUKAAN BALOK

Perhatikan Gambar di bawah ini !

Jika kita mempunyai balok seperti gambar di atas, maka:

Luas permukaan = luas bidang SWVR + luas bidang SRQP + luas bidang PQUT + luas bidang TUVW + luas bidang TPSW + luas bidang QUVR

= (p×t) + (p×l) + (p×t) + (p×l) + (l×t) + (l×t)

= 2 (p × l) + 2 (p × t) + 2 (l × t)

= 2 [(p × l) + (p × t) + (l × t)] (sifat distributif)

Sehingga dapat disimpulkan bahwa jika sebuah balok mempunyai ukuran rusuk panjang p, lebar l, dan tinggi t, maka berlaku rumus:

LP Balok = 2 [(p × l) + (p × t) + (l × t)]

CONTOH

Sebuah balok berukuran panjang 23 cm, lebar 19 cm, dan tinggi 8 cm. Hitunglah luas permukaan balok tersebut!

Jawab :

• Diketahui : p = 23 cm, l = 19 cm, t = 8 cm

• Ditanyakan : LP Balok : ...?

• Penyelesaian:

LP Balok = 2 [(p × l) + (p × t) + (l × t)]

LP Balok = 2 [(23 × 19) + (23 × 8) + (19 × 8)] cm²

LP Balok = 2 [437 + 184 + 152] cm²

LP Balok = 2 [773] cm²

LP Balok = 1.546 cm²

2. LUAS PERMUKAAN KUBUS

Jaring-jaring kubus terdiri atas enam buah persegi. Perhatikan gambar berikut !

1. LUAS PERMUKAAN PRISMA

Menghitung luas permukaan prisma tidak sama seperti menghitung luas permukaan balok maupun menghitung luas permukaan kubus, di mana pada luas permukaan balok dan kubus sudah ada rumusnya yang mudah diingat. Akan tetapi, untuk menghitung luas permukaan prisma kita harus tentukan terlebih dahulu jenis prisma (bentuk prisma) yang akan dihitung luas permukaannya.

Akan tetapi, dalam menentukan luas permukaan prisma, sama caranya seperti menentukan luas permukaan balok dan kubus, yaitu dengan menggunakan jaring-jaringnya. Luas permukaan prisma juga dapat ditentukan dengan menggunakan jaring-jaring prisma.

Perhatikan contoh gambar Prisma Tegak Segitiga di bawah ini !

Dari prisma segitiga di atas dapat dibuat jaring-jaring prisma segitiga seperti gambar di bawah ini.

Dari gambar jaring-jaring prisma tegak segitiga di atas terlihat bahwa prisma tegak segitiga ABC.DEF memiliki sepasang segitiga yang identik dan tiga buah persegipanjang sebagai sisi tegak. Dengan demikian, luas permukaan prisma segitiga tersebut adalah:

L. permukaan = L.ΔABC + L.ΔDEF + L.EDAB + L.DFCA + L.FEBC

L. permukaan = 2 · L.ΔABC + L.EDBA + L.DFAC + L.FEBC

L. permukaan = (2 · luas alas) + (jumlah luas bidang tegak)

Jumlah luas bidang tegak dapat dicari dengan cara mengalikan keliling alas dengan tinggi prisma, yakni:

L.bidang tegak = keliling alas x tinggi

Maka, secara umum luas permukaan prisma dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

LP Prisma = 2 x luas alas + keliling alas x tinggi prisma

LP Prisma = (2 x L.a( + (K.a x t)

***

CONTOH SOAL

Iwan mendapatkan sebuah barang berbentuk prisma segitiga milik temannya. Namun, sebelum dikembalikan ia mencoba mengukur prisma tersebut. Alas sebuah prisma berbentuk segitiga siku siku dengan panjang sisi 8 cm , 15 cm , dan 17 cm. Jika tinggi prisma 25 cm , maka berapa luas permukaanya?

Jawab :

• Diketahui :

panjang sisi segitiga = 8 cm, 15 cm , dan 17 cm.

t. prisma = 25 cm

• Ditanyakan : LP Prisma : ...?

• Penyelesaian :

LP Prisma = (2 x L.a) + (K.a x t)

LP Prisma = (2 x 1/2 x 8 x 15) + ((8+15+17) x 25)

LP Prisma = (2 x 60) + (40 x 25)

LP Prisma = 120 + 1000

LP Prisma = 1120 cm²

Jadi Luas Permukaan Prisma tersebut adalah 1.120 cm²

2. LUAS PERMUKAAN LIMAS

Perhatikan gambar di bawah ini !

Berdasarkan gambar diatas, gambar (a) menunjukan limas segi empat T.ABCD dimana alasnya berbentuk persegi panjang. Dan selanjutnya gambar sebelahnya atau gambar (b) menunjukkan jaring-jaring limas segi empat tersebut. Seperti pada menentukan luas permukaan prisma dalam artikel sebelumnya, dalam menentukan luas permukaan limas caranya juga dengan menentukan luas jaring-jaring limas tersebut, sehingga :

Luas permukaan limas = luas persegi ABCD + luas Δ TAB + luas Δ TBC + luas Δ TCD + luas Δ TAD

Luas permukaan limas = luas alas + jumlah luas seluruh sisi tegak

Maka secara umum kita dapat menyimpulkan rumus luas permukaan limas sebagai berikut :

Luas permukaan limas = luas alas + jumlah luas seluruh sisi tegak

LP. Limas = L.a + Jumlah Luas Seluruh Sisi Tegak

***

CONTOH SOAL

Jika diketahui sebuah limas T.ABCD memiliki alas berbentuk persegi dengan panjang rusuk 10 cm, serta tinggi limas tersebut adalah 12 cm. Hitunglah berapa luas permukaan limas T.ABCD ?

Jawab :

• Diket : rusuk alas : 10 cm, tinggi limas : 12 cm

• Luas permukaan limas ?

• Penyelesaian :

Volume atau bisa juga disebut kapasitas adalah penghitungan seberapa banyak ruang yang bisa ditempati dalam suatu objek. Objek itu bisa berupa benda yang beraturan ataupun benda yang tidak beraturan. Benda yang beraturan misalnya kubus, balok, silinder, limas, kerucut, dan bola.

1.Volume Balok

Untuk menghitung volume balok, kita harus membandingkannya dengan satuan pokok volume bangun ruang. Contohnya volume kubus yang memiliki panjang rusuk 1 satuan, sehingga volume kubus satuan ini adalah 1 cm³.

Perhatikan gambar berikut!

• VOLUME PRISMA

Kita ketahui bahwa balok merupakan salah satu contoh prisma tegak segi empat. Untuk menentukan rumus volume prisma, dapat menggunakan analogi setengah volume balok. Sekarang perhatikan bangun ruang balok ABCD.EFGH di bawah ini.

Jika balok di atas di potong pada bidang diagonal FH, maka akan terbentuk dua bangun ruang prisma tegak segitiga siku-siku, seperti pada gambar (b).

Sekarang kita fokuskan pada salah satu prisma tegak segitiga siku-siku di atas. Perhatikan gambar prisma segitiga ABD.EFH pada gambar (c).

Dari gambar di atas dapat diperoleh, volume prisma tegak segitiga siku-siku di atas adalah setengah kali volume balok, maka:

• Prisma BCD.FGH = ½ × V. balok ABCD.EFGH

• Prisma BCD.FGH = ½ × (p × l × t)

• Prisma BCD.FGH = (½ × p × l) × t

Dalam hal ini luas alas prisma tersebut berbentuk segitiga siku-siku dengan luas alas yakni:

Luas alas = ½ × p × l

Maka volume prisma tegak segitiga siku-siku di atas dapat dirumuskan sebagai berikut:

• Prisma BCD.FGH = luas alas × tinggi

Jadi, volume prisma secara umum dapat dirumuskan sebagai berikut, yakni:

Volume = luas alas × tinggi

atau

V = La x t

Jika diperhatikan ada dua hal penting dalam menentukan atau menghitung volume bangun ruang prisma yaitu luas alas prisma dan tinggi prisma.

• VOLUME LIMAS

Perhatikan gambar di bawah ini !

Sebelumnya kita telah mempelajari berbagai jenis bangun ruang sisi datar. Sekarang, coba perhatikan gambar-gambar berikut !

Alternatif Penyelesaian

Perhatikan ilustrasi gambar berikut !

Berdasarkan ilustrasi gambar di atas, terdapat gabungan dua bentuk bangun datar yaitu bagian bawah tenda adalah balok dan bagian atas tenda adalah prisma segitiga. Kemudian kita menghitung luas permukaan dan volume masing-masing bangun datar tersebut, yakni sebagai berikut :

(i) Perhatikan gambar balok berikut :

Untuk menetukan luas permukaan balok tersebut kita perhatikan dulu gambar tenda (a), bahwa luas permukaan kain pada balok tersebut tanpa alas dan tutup, yakni sebagai berikut.

• Luas permukaan balok tanpa alas dan tutup

= 2(AB×AE + BC×CG)

= 2(6×0,5 + 10×0,5)

= 2(3 + 5)

= 2(8)

= 16 m²

• Volume balok

V = p × l × t

V = BC × AB × CG

V = 10 × 6 × 0,5

V = 30 m²

(ii) Perhatikan gambar prisma berikut !

Untuk menetukan luas permukaan prisma tersebut kita perhatikan dulu gambar tenda (a), bahwa luas permukaan kain pada prisma tersebut luas persegi panjang EFGH, yakni sebagai berikut.

• Luas permukaan prisma tanpa luas EFGH

= 2 × luas segitiga EFI + 2 × luas FGJI

= 2 × (1/2) × 6 × 4 + 2 × 10 × FI

dengan dalil Phytagoras, didapat panjang FI

FI² = 3² + 4²

FI² = 9 + 16

FI² = 25

FI = √25

FI = 5

Sehingga,

• Luas permukaan prisma tanpa luas EFGH

= 2 × (1/2) × 6 × 4,5 + 2 × 10 × 5

= 6 × 4,5 + 100

= 127 m²

• Volume prisma

V = Luas alas × tinggi prisma

V = (1/2× 6 × 4) × 10

V = 12 × 10

V = 120 m²

Jadi,

• Luas permukaan tenda yang dimaksud adalah 16 + 127 = 143 m²

• Volume tenda yang dimaksud adalah 30 + 120 = 150 m³

========

TUGAS !

Tentukanlah Volume dan Luas Permukaan dari Bangun Ruang Sisi Datar Gabungan di bawah ini !

• Diagonal bidang pada kubus atau balok adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang terletak pada rusuk-rusuk berbeda pada satu bidang kubus atau balok

• Diagonal ruang pada kubus atau balok adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang masing-masing terletak pada bidang atas dan bidang alas yang tidak terletak pada satu bidang kubus atau balok

• Bidang diagonal pada kubus atau balok adalah suatu bidang yang dibatasi oleh dua rusuk dan dua diagonal bidang yang sejajar dan tidak terletak pada satu bidang kubus atau balok.

Perhatikan gambar berikut !

ISTILAH-ISTILAH STATISTIKA

• Data adalah kumpulan informasi yang diperoleh dari suatu pengamatan. Informasi ini bisa berupa angka, lambang, atau keadaan objek yang sedang diamati.

• Berdasarkan jenisnya, data dikelompokkan menjadi dua, yaitu :

> Data kualitatif, merupakan data yang menunjukkan sifat atau keadaan suatu objek dan tidak bisa diukur secara numerik. Contohnya, data kualitas beras bulan Februari 2020 yang kurang baik. Nah, data itu menunjukkan keadaan beras yang kurang baik, tapi kita nggak bisa mengukur keadaan kurang baik itu dengan angka.

> Data kuantitatif, merupakan data yang menunjukkan ukuran suatu objek, disajikan dalam bentuk angka, dan nilainya dapat berubah-ubah. Contohnya, data pertumbuhan panjang tanaman kacang hijau pada tabel di atas. Dari data itu, kita bisa mengetahui perubahan panjang batang kacang hijau dari angka yang diperoleh.

Setelah data terkumpul, data-data itu kemudian akan disusun, diolah, dan dianalisis untuk diperoleh sebuah kesimpulan. Nah, ilmu yang mempelajari bagaimana cara mengumpulkan, menyusun, menyajikan, menganalisis, dan merepresentasikan data adalah statistika. Statistika ini banyak diterapkan di banyak bidang, loh. Misalnya dalam bidang ilmu sosial dan kependudukan, statistika dapat digunakan untuk berbagai tujuan, salah satunya sensus penduduk. Selain itu, dalam bidang ekonomi, statistika juga dapat digunakan untuk mengetahui perkembangan ekonomi suatu negara.

• Populasi merupakan keseluruhan objek yang menjadi sumber data penelitian. Populasi ini bisa berupa manusia, hewan, tumbuhan, peristiwa, dan lain sebagainya.

• Sampel adalah bagian dari populasi yang dapat menggambarkan sifat atau ciri populasi tersebut. Sampel harus benar-benar dapat mewakili dan mencerminkan karakteristik dari populasi yang menjadi objek penelitian.

BENTUK-BENTUK PENYAJIAN DATA

Penyajian data ini bertujuan untuk menyederhanakan bentuk dan jumlah data, sehingga dapat mudah dipahami oleh pembaca.

• Penyajian Data dalam Bentuk Tabel Frekuensi

Tabel merupakan susunan data dalam bentuk baris dan kolom. Penyajian data dalam bentuk tabel berarti mengumpulkan data-data ke dalam kelompok yang sama pada suatu baris atau kolom, sehingga setiap kelompok memiliki frekuensi (jumlah).

• Penyajian Data dalam Bentuk Diagram

Penyajian data dalam bentuk diagram akan lebih menarik dibandingkan dalam bentuk tabel karena berbentuk gambar-gambar. Penyajian data bentuk ini dibedakan menjadi tiga, yaitu diagram grais (grafik), diagram lingkaran dan diagram batang.

> Pada Diagram Garis, data disajikan mengunakan garis atau kurva. Grafik garis banyak digunakan untuk menggambarkan suatu perkembangan atau perubahan dari waktu ke waktu pada sebuah objek yang di teliti. Garfik ini terdiri dari 2 sumbu utama yakni sumbu X dan sumbu Y.

> Pada diagram lingkaran, data-data akan disajikan dalam bentuk lingkaran. Data-data ini telah dibagi menjadi juring-juring berdasarkan kelompoknya masing-masing.

> Pada diagram batang, data-data akan disajikan dalam bentuk persegi panjang yang memanjang ke atas dan memiliki lebar yang sama. Setiap batang tidak boleh saling menempel dan harus memiliki jarak yang sama.

CONTOH :

Di bawah ini, terdapat tabel yang menyediakan data 20 siswa dengan pilihan rasa es krim yang mereka sukai. Sajikanlah data tersebut ke dalam bentuk Tabel dan Bentuk Diagram !

Jawab :

• Urutkan data dari terkecil sampai terbesar.

• Buat Tabel Frekuensi

• Menentukan Modus

Contoh Soal Ukuran Penyebaran Data

1. Contoh Soal Jangkauan

2. Contoh Soal Kuartil

Perhatikan data berikut ! Tentukanlah Q1, Q2, Q3, Jangkauan inter kuartil, dan simpangan kuartil dari data tsb !

20 35 50 45 30 30 25 40 45 30 35

Jawab :

• Urutkan data dari yang terkecil ke yang terbesar

TOKOH

Pernahkah mendengar komentator dan ahli sepak bola memprediksi suatu pertandingan sepak bola ?. Misalnya kalian dapat memprediksi kemenangan tim sepak bola Indonesia melawan Malaysia dengan cara mencari peluang kemenangannya. Nah, cara mencari peluang kemenangan tim Indonesia melawan Singapura inilah yang disebut sebagai peluang empirik.

Peluang empirik adalah perbandingan antara frekuensi kejadian n(A) terhadap percobaan yang dilakukan n(S).

Peluang teoritik adalah perbandingan antara frekuensi kejadian yang diharapkan terhadap frekuensi kejadian yang mungkin (ruang sampel). Biasanya peluang teoritik digunakan saat percobaan yang dilakukan hanya satu kali.

CONTOH

Dua buah dadu hitam dan merah dilempar bersama-sama. Peluang munculnya dadu pertama bermata 3 adalah ...