Родился в деревне Ветренка Быховского района. До войны окончил 3 класса Ветренской средней школы. В начале оккупации с семьей ушел в партизанский отряд. С января 1942 г. был связным подпольной группы, действовавшей на ветренском стеклозаводе «Ильич». Собирал боеприпасы и оружие для партизан. С июня 1942 г. был разведчиком в партизанском отряде И. П. Дзюбы. Во время разведки вражеского гарнизона в деревне Кузьковичи в июле 1942 г. схвачен и замучен фашистами.

В городе Быхове его именем названа улица и установлен памятник возле средней школы № 1.

Вениаминов, В. С именем героя / В. Вениаминов // Знамя юности. — 1976. — 16 сентября. — С. 2.

Веніамінаў, В. Цеплаход назван імем Марата Казлова / В. Веніамінаў // Маяк Прыдняпроўя (Быхаў). — 1976. — 30 верасня. — С. 3.

Жыве ў народзе… : [Марат Казлоў] // Памяць : Быхаўскі раён : гісторыка-дакументальныя хронікі гарадоў і раёнаў Беларусі / Беларуская савецкая энцыклапедыя ; [рэдкалегія: І. П. Шамякін (галоўны рэдактар) і інш.]. — Мінск : БелСЭ, 1990. — С. 233-235.

«Имя на борту теплохода» : [Марат Козлов] // Кандрусевич А. Л. Юные герои Могилевщины : очерки / Аркадий Кандрусевич ; [художник П. В. Калинин]. — Минск : Юнацтва, 1994. — С. 119-126.

Козлов Марат Сергеевич // Их именами названы... : энциклопедический справочник / редколлегия: И. П. Шамякин [и др.]. — Минск : Белорусская советская энциклопедия им. П. Бровки, 1987. — С. 287.

Лясная, Л. Подзвіг Марата / Л. Лясная // Маяк Прыдняпроўя (Быхаў). — 1977. — 22 сакавіка. — С. 4.

Марат Козлов // Вавуло В. В. Маленькие солдаты большой войны / Владимир Вавуло. — Минск : Беларуская Энцыклапедыя імя Петруся Броўкі, 2019. — С. 93.

Сяргееў, Ю. На борце — імя піянера–героя / Ю. Сяргееў // Маяк Прыдняпроўя (Быхаў). — 1977. — 27 верасня. — С. 3.

Ткачев, М. Жить ему хотелось дольше… : [о Марате Козлове] / М. Ткачев // Рядом с отцами : [для среднего и старшего школьного возраста] / составитель А. Ф. Мазурова ; [художник Л. И. Бетанов]. — Минск : Народная асвета, 1978. — С. 37.

Черный, В. Побратимы / В. Черный // Знамя юности. — 1977. — 1 мая. — С. 3.