Pola Bilangan
Pengertian Pola Bilangan
Pernahkah kamu bermain ular tangga? Untuk dapat memainkan permainan ular tangga kamu memerlukan sebuah dadu. Jika anda perhatikan, di setiap dadu tersebut memiliki bilangan-bilangan yang digambarkan dalam bentuk bulatan-bulatan kecil (disebut noktah atau titik), seperti gambar dadu tersebut
Bulatan-bulatan kecil tersebut mewakili bilangan-bilangan yang ditentukan. Satu bulatan mewakili bagian 1, dua bulatan mewakili bilangan 2, dan begitu seterusnya hingga enam bulatan yang mewakili bilangan 6. Uniknya, penulisan noktah-noktah tersebut ternyata mengikuti pola yang didasarkan pada bentuk bangun datar atau bangun ruang.
Jika mengamati dadu tersebut, diurutkan dengan suatu aturan tertentu sehingga bilangan-bilangan pada dadu tersebut membentuk suatu barisan. Jadi pola bilangan merupakan suatu bilangan dengan aturan tertentu yang akan membentuk suatu barisan bilangan yang teratur.
Dalam kehidupan sehari-hari banyak terdapat ukuran-ukuran pada benda yang membentuk pola bilangan. Semakin indah bentuk suatu benda, maka semakin teratur pola bilangan yang dimilikinya. Contoh pola bilangan dalam kehidupan sehari-hari, diantaranya:
Macam - Macam Pola Bilangan
Pola Bilangan Ganjil
Pola bilangan ganjil yaitu pola bilangan yang terbentuk dari bilangan – bilangan ganjil . Sedangkan pengertian dari bilangan ganjil sendiri memiliki arti suatu bilangan asli yang tidak habis dibagi dua ataupun kelipatannya .
Pola bilangan ganjil memiliki pola 1, 3, 5, 7, 9 …
Barisan bilangan ganjil adalah 1,3, 5, 7, 9, …
Deret bilangan ganjil adalah 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + …
Rumus mencari suku ke-n adalah Un = 2n - 1
Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah Sn = n^2
2. Pola Bilangan Genap
Pola bilangan genap yaitu pola bilangan yang terbentuk dari bilangan – bilangan genap . Bilangan genap yaitu bilangan asli yaitu bilangan asli yang habis dibagi dua atau kelipatannya.
Pola bilangan genap adalah 2, 4, 6, 8, 10, …..
Barisan bilangan genap adalah 2, 4, 6, 8, 10, ….
Deret bilangan genap adalah 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + …..
Rumus untuk mencari suku ke-n adalah Un = 2n
Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah Sn = n^2 + n
Contoh :
2 , 4 , 6 , 8 , . . . ke 10 .berapakah pola bilangan genap ke 10 ?
Jawab : U10 = 2 x 10
= 20
3. Pola Bilangan Segitiga
Pola bilangan segitiga yaitu suatu barisan bilangan yang membentuk sebuah pola bilangan segitiga .
· Pola bilangan segitiga adalah 1, 3, 6, 10, 15, 21, …..
· Barisan bilangan segitiga adalah 1, 3, 6, 10, 15, 21, …..
· Deret bilangan segitiga adalah 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + …..
· Rumus mencari suku ke-n adalah Un = 1/2 n ( n+1)
· Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah Sn = 1/6n (n+1) + (n+ 2)
Contoh Soal :
Dari suatu barisan bilangan 1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 21 , 28 , 36 , . . . , ke 10 . Berapakah pola bilangan segitiga ke 10 ?
Jawab :
4. Pola Bilangan Persegi
Pola bilangan persegi yaitu suatu barisan bilangan yang membentuk suatu pola persegi .
Pola bilangan persegi adalah 1, 4, 9, 16, 25, …..
Barisan bilangan persegi adalah 1, 4, 9, 16, 25, …..
Deret bilangan persegi adalah 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + ……
Rumus mencari suku ke-n adalah Un = n^2
Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah Sn = 1/6n (n+1) (2n+1)
5. Pola Bilangan Persegi Panjang
Pola bilangan persegi panjang yaitu suatu barisan bilangan yang membentuk pola persegi panjang
Pola bilangan persegi panjang adalah 2, 6, 12, 20, 30, ……
Barisan bilangan persegi panjang adalah 2, 6, 12, 20, 30, ……
Deret bilangan persegi panjang adalah 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + …..
Rumus mencari suku ke-n adalah Un = n(n+1)
Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah Sn = 1/3n (n+1) (n+2)
Contoh :
Dari suatu barisan bilangan 2 , 6 , 12 , 20 , 30 , . . . , ke 10 . Berapakah pola bilangan persegi ke 10 ?
Jawab : Un = n(n+1)
U10 = 10 (10+1)
= 10 . 11
= 110
6. Pola Bilangan Segita Pascal
Bilangan-bilangan yang disusun menggunakan pola segitiga Pascal memiliki pola yang unik. Hal ini disebabkan karena bilangan yang berpola segitiga Pascal selalu diawali dan diakhiri oleh angka 1. Selain itu, di dalam susunannya selalu ada angka yang diulang. Rumus mencari jumlah baris ke-n adalah
Adapun aturan-aturan untuk membuat pola segitiga Pascal adalah sebagai berikut.
1. Angka 1 merupakan angka awal yang terdapat di puncak.
2. Simpan dua bilangan di bawahnya. Oleh karena angka awal dan akhir selalu angka 1, kedua bilangan tersebut adalah 1.
3. Selanjutnya, jumlahkan bilangan yang berdampingan. Kemudian, simpan hasilnya di bagian tengah bawah kedua bilangan tersebut.
4. Proses ini dilakukan terus sampai batas susunan bilangan yang diminta.
Contoh:
Pada pola bilangan segitiga Pascal, jumlah bilangan pada garis ke-7 adalah ...
Pembahasan:
Cara 1:
Pola bilangan Pascal sebagai berikut
7. Pola Bilangan Fibonanci
Pola bilangan fibanocci adalah pola bilangan dimana jumlah bilangan setelahnya merupakan hasil dari penjumlahan dari dua bilangan sebelumnya.
Pola bilangan Fibonacci adalah 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …..
2 diperoleh dari hasil 1 + 1 3 diperoleh dari hasil 2 + 1, 5 diperoleh dari hasil 3 + 2 dan seterusnya
Rumus mencari suku ke-n adalah Un = Un - 1 + Un - 2
DERET BILANGAN
Pada materi sebelumnya, kamu telah mempelajari barisan bilangan, baik itu barisan aritmatika ataupun barisan geometri. Sekarang, bagaimana jika suku-suku dalam barisan bilangan tersebut dijumlahkan? Dapatkah kamu menghitungnya
Misalnya, diketahui barisan bilangan sebagai berikut.
2, 5, 8, 11, 14, 17, …, Un
Barisan bilangan tersebut jika dijumlahkan akan menjadi
2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + … + Un
Bentuk seperti ini disebut deret bilangan. Jadi, deret bilangan adalah jumlah suku-suku suatu barisan bilangan. Sebagaimana halnya barisan bilangan pun dibagi menjadi dua bagian, yaitu deret aritmatika dan deret geometri.
DERET ARITMATIKA
Kalian telah mengetahui definisi barisan aritmatika. Jumlah seluruh suku-sukunya dinamakan deret aritmatika. Jadi, deret aritmatika atau deret hitung adalah suatu deret yang diperoleh dengan cara menjumlahkan suku-suku barisan aritmatika. Jika a,a + b,a + 2b,…, a+(n-1)b adalah barisan aritmatika baku maka a + (a+b) + (a+2b) + … + (a+(n-1)b) disebut deret aritmatika baku.
Coba kamu perhatikan barisan aritmatikaa berikut.
3, 6, 9, 12, 15, 18, …, Un
Jika kamu jumlahkan barisan tersebut, terbentuklah deret aritmatika sebagai berikut.
3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + … + Un
Jadi, deret aritmatika adalah jumlah suku-suku barisan dari barisan aritmatika.
Contoh soal
Suatu barisan aritmatika adalah memiliki suku pertama 5 dan beda 3. Tuliskan deret aritmatika dari barisan tersebut.
Penyelesaian:
· Barisan aritmatikanya adalah 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, …, Un
· Deret aritmatikanya adalah 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + … + Un
Sekarang, bagaimana cara menjumlahkan deret aritmatika tersebut? Untuk deret aritmatika yang memiliki suku-suku deret yang sedikit mungkin masih mudah untuk menghitungnya. Sebaliknya, jika suku-suku deret tersebut sangat banyak, tentu kamu akan memerlukan waktu yang cukup lama untuk menghitungnya.
Berikut ini akan diuraikan cara menentukan jumlah n suku pertama deret aritmatika. Misalkan, Sn adalah jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika maka
Sn = U1 + U2+ U3+ U4+ U5+…+ Un
= a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) + … + Un
Jadi, rumus untuk menghitung jumlah suku-suku deret aritmatika adalah sebagai berikut.
Sn = n/2 (a + Un)
Oleh karena Un = a + (n – 1) b, rumus tersebut juga dapat ditulis sebagai berikut.
Sn = n/2 (2a + (n – 1) b)
Keterangan:
Sn = jumlah n suku
a = suku pertama
b = beda
n = banyaknya suku
Contoh soal
Dari satu deret aritmetika diketahui bahwa suku ke empatnya adalah 38 dan suku kesepuluhnya adalah 92. Tentukan beda deret tersebut!
Penyelesaian:
Diketahui U4 = 38 dan U10 = 92
Untuk mencari beda:
Jadi, beda deret aritmetika tersebut adalah 9.