9 класс

I тур

1. Сколько существует четырехзначных чисел, не делящихся на 1000, у которых первая и последняя цифры чётны?

2. Когда Винни-Пух пришел в гости к Кролику, он съел 3 тарелки меда, 4 тарелки сгущенки и 2 тарелки варенья, а после этого не смог выйти наружу из-за того, что сильно растолстел от такой еды. Но известно, что если бы он съел 2 тарелки меда, 3 тарелки сгущенки и 4 тарелки варенья или 4 тарелки меда, 2 тарелки сгущенки и 3 тарелки варенья, то спокойно смог бы покинуть нору гостеприимного Кролика. От чего больше толстеют: от варенья или от сгущенки?

3. Среди целых чисел от 8 до 17 включительно зачеркните как можно меньше чисел так, чтобы произведение оставшихся было точным квадратом. В ответе укажите сумму всех вычеркнутых чисел.

4. Найти все натуральные числа, оканчивающиеся на 2013, которые после зачеркивания последних   четырех цифр уменьшаются в целое число раз.

5. На основаниях AB и CD трапеции ABCD взяты точки K и L. Пусть E – точка пересечения отрезков AL и DK, F – точка пересечения BL и CK. Доказать, что сумма площадей треугольников DADE и DBCF равна площади четырёхугольника EKFL.

II тур

1. Найдите последнюю цифру числа 62013+20136

2. Лист бумаги разрезали на 5 частей, некоторые из этих частей разрезали на 5 частей, и т. д. Может ли за некоторое число разрезаний получиться 2013 листков бумаги?

3. На плоскости дан отрезок АВ. Где может быть расположена точка С, чтобы ?АВС был остроугольным? 

4. Команда из Пети, Васи и одноместного самоката участвует в гонке. Дистанция разделена на участки одинаковой длины, их количество равно 42, в начале каждого — контрольный пункт. Петя пробегает участок за 9 мин, Вася — за 11 мин, а на самокате любой из них проезжает участок за 3 мин. Стартуют они одновременно, а на финише учитывается время того, кто пришел последним. Ребята договорились, что один проезжает первую часть пути на самокате, остаток бегом, а другой — наоборот (самокат можно оставить на любом контрольном пункте). Сколько участков Петя должен проехать на самокате, чтобы команда показала наилучшее время?

5. Квадраты со сторонами 15 дм и 17 дм пересекаются. После удаления их общей части остались две области. Чему равна разность их площадей?

III тур

1. На базаре продаются лампочки, накаливания и энергосберегающие. Сегодня три лампочки накаливания и одна энергосберегающая стоят вместе столько же, сколько пять лампочек накаливания вчера. А две лампочки накаливания и одна энергосберегающая  сегодня стоят вместе столько же, сколько три лампочки накаливания  и одна энергосберегающие вчера. Можно ли по этим данным выяснить, что дороже: одна лампочки накаливания  и две энергосберегающие сегодня, или пять энергосберегающих  вчера. 

2. Докажите, что если  а2+в2 + ав + вс + са< 0, то  а2 +в2 < с2.

3. Несколько ящиков вместе весят 10 тонн, причем каждый из них весит не более одной тонны. Сколько трехтонок заведомо достаточно, чтобы увезти этот груз? 

4. График квадратичной функции у = х2 + вх + с - парабола с вершиной в точке (1; -3). Принадлежит ли этому графику точка (2; -2)?

5. Меньшее основание трапеции DC=b, большее основание AB=a. На продолжении меньшего основания найти точку М при условии, чтобы прямая АМ разделяла трапецию на две равновеликие части.

IV тур

1. В классе 35 учеников. Из них 20 занимаются в кружке «Берегоша», 11 - в математическом, 10 ребят не посещают кружки. Сколько математиков увлекается энергосбережением ?

2. Из трех различных цифр X, Y, Z образованы всевозможные трехзначные числа. Сумма этих чисел в три раза больше трехзначного числа, каждая цифра которого есть X. Найдите цифры X, Y, Z.

3. На сторонах АВ, АС и ВС треугольника АВС даны точки М, Т, К такие, что четырехугольник КТМВ – параллелограмм. Найдите площадь этого параллелограмма, если известно, что площади треугольников АМТ и КТС соответственно равны S1  и  S2.