10 класс

I тур

1. 1.Расшифруйте запись (буквы обозначают цифры):

ЭН+ЕР=ГИЯ

2. Найти все натуральные числа, оканчивающиеся на 2013, которые после зачеркивания последних   четырех цифр уменьшаются в целое число раз.

3. Можно ли на плоскости расположить бесконечное множество одинаковых кругов так, чтобы любая прямая пересекала не более двух кругов?

4. На основаниях AB и CD трапеции ABCD взяты точки K и L. Пусть E – точка пересечения отрезков AL и DK, F – точка пересечения BL и CK. Доказать, что сумма площадей треугольников DADE и DBCF равна площади четырёхугольника EKFL.

II тур

1. Найдите последнюю цифру числа 62013+20136

2. Лист бумаги разрезали на 5 частей, некоторые из этих частей разрезали на 5 частей, и т. д. Может ли за некоторое число разрезаний получиться 2013 листков бумаги?

3. На кубе отмечены вершины и центры граней, а также проведены  диагонали всех граней. Можно ли по отрезкам этих диагоналей обойти все отмеченные точки, побывав в каждой из них ровно по одному разу?

III тур

1. На базаре продаются лампочки, накаливания и энергосберегающие. Сегодня три лампочки накаливания и одна энергосберегающая стоят вместе столько же, сколько пять лампочек накаливания вчера. А две лампочки накаливания и одна энергосберегающая  сегодня стоят вместе столько же, сколько три лампочки накаливания  и одна энергосберегающие вчера. Можно ли по этим данным выяснить, что дороже: одна лампочки накаливания  и две энергосберегающие сегодня, или пять энергосберегающих  вчера. 

2. Костя задумал натуральное число, перемножил все его цифры и результат умножил на задуманное число. Получилось 1716. Какое число задумал Костя? Найдите все возможные ответы и докажите, что других ответов нет.

3. В автобусе ехало не более 100 пассажиров, причем число сидящих пассажиров было в 2 раза больше числа стоящих. На остановке из автобуса вышло ровно 4% всех пассажиров. Найдите число пассажиров, оставшихся в автобусе.

4. Сколько различных пар натуральных чисел х £у удовлетворяют уравнению

IV тур

1. На складе имеются тюки макулатуры по 24, 23, 17 и 16 кг. Можем ли мы взять 100 кг макулатуры, не распечатывая тюки? 

2. Из трех различных цифр X, Y, Z образованы всевозможные трехзначные числа. Сумма этих чисел в три раза больше трехзначного числа, каждая цифра которого есть X. Найдите цифры X, Y, Z.

3. Найти все целые положительные числа x и y, что четырехзначное число — есть точный квадрат числа r, делящегося на 6.

4. Ваня хотел купить на рынке 2 яблока, 3 апельсина и 5 бананов. Однако он перепутал и купил 2 банана, 3 яблока и 5 апельсинов, потратив в точности запланированную сумму. Определить, что дороже: апельсин или банан, если известно, что яблоко дороже банана.

5. Положительные числа а и в таковы, что ав> 2003а + 2004в. Докажите, что Докажите, что при любом натуральном числе п число 4 п + 5 делится на 3