Cálculo vectorial: IAM

Indicadores de aprendizaje mínimos.

Versión 2019-1, Revisión 10M. (Documento experimental)

Unidad 2. Curvas planas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares.

Temas específicos: 2.1 Ecuaciones paramétricas de algunas curvas planas y su representación gráfica. 2.2 Derivada de una curva en forma paramétrica. 2.3 Tangentes a una curva. 2.4 Área y longitud de arco. 2.5 Curvas planas y graficación en coordenadas polares. 2.6 Cálculo en coordenadas polares. [ver Programa oficial del curso]

iA2.1 Dados: (1) Una curva plana cerrada c(t), formada por segmentos de recta y arcos de círculo, (2) Un punto inicial sobre dicha curva, (3) el sentido de recorrido (ccw o cw). Determinar cada una de las funciones paramétricas concretas requeridas para trazar la curva c(t) por completo o en parte, en el sentido del recorrido indicado. {§2.1} [Nota: Incluye considerar la especificación bajo la restricción de que la velocidad de recorrido sea igual a una constante k.]

Referencias: [Dawkins, §3.1] ▀▄ {dibujasegmentos.rkt}

iA2.2 Dada una curva plana c(t) definida paramétricamente, calcular:

  • (a) La ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal, en un punto dado de c(t).
  • (b) La longitud de la curva c(t) entre los valores t_0 y t_1 del parámetro.
  • (c) La superficie de revolución generada por un segmento de la curva c(t) al girar un determinado ángulo c.r.al ejeX (o bien c.r.al ejeY). {§2.2-4}
  • [*] Incluye [opcionalmente] convertir la representación de una curva (cuando sea posible,) de forma paramétrica a forma rectangular ( y=f(x) ) y viceversa.

iA2.3 Dada una curva plana definida en forma polar mediante r(theta):

  • (a) Trazar la curva r(theta) entre dos valores dados de theta.
  • (b) Calcular el área entre la curva polar r(theta) y otra curva polar rho(theta), delimitada por dos valores dados de theta.
  • (*) Incluye también realizar conversiones entre coord. cartesianas y coord. polares. {§2.5-6}

iA2.4P —Aplicar los conceptos vistos en esta unidad, en el diseño de formas (y sus propiedades) asociadas a su especialidad, o bien en la resolución de un problema matemático (especialmente de geometría o física) representativo de su carrera profesional. Nota: Este indicador puede evaluarse con mayor flexibilidad, mediante reportes de proyectos incorporados en el Portafolio correspondiente.

Observaciones:

  1. Al final de cada indicador se especifica entre llaves, la(s) secciones correspondientes en el Programa oficial del curso.
  2. También en cada indicador, entre corchetes (p. ej. [*]), pueden estar especificadas temáticas opcionales en una evaluación dada, aún cuando algunas ocasiones sean básicas.
  3. Se recomienda utilizar GeoGebra y/o Racket, para visualizar tanto los objetos geométricos asociados, así como realizar los cálculos requeridos para un determinado problema.

Referencias adicionales recomendadas:

  • Branquinho de Oliveira Lopes, José. A. (2012) Modern Programming for Generative Design. Tesis de Maestría. UST. Portugal. [ver también Rosetta, de Antonio Meneses: una herramienta sorprendente para diseño generativo (en particular, paramétrico), en base al lenguaje Racket]
  • Butterick, Matthews (2012) Reversing the tide of declining expectations. (>▀ Video en TYPOtalks) [Documento y video sobre una excelente plática orientada a diseño. Recordemos que los tipos para caracteres, también se definen en forma paramétrica (ver p. ej. el artículo de F. Poizat.)]
  • [Mactutor] Famous curves index . [Contiene una excelente colección de curvas, con algo sobre su historia. No todas las curvas se presentan en forma paramétrica, y podría ser muy buen ejercicio, determinar la parametrización de algunas de ellas, o demostrar que esta última no existe.]
  • Marsden, J. E.; Tromba A. (2012) Vector Calculus. 6ed. W. H. Freeman and Co. [ver p. ej. págs. 12-6, 222, 228-30] {Imagen PDF @ UC Riverside.} [Texto clásico y altamente recomendado para el estudio de Cálculo y Análisis Vectorial.]