226: Θεωρία Δακτυλίων και Modules

Διδάσκων: Βασίλης Μουστάκας
Email: vasmous AT uoc DOT gr
Γραφείο: Δ.328
Ώρες γραφείου: Έπειτα από συννενόηση με email (προτείνεται) ή περάστε από το γραφείο
Αίθουσα & Ωράριο:  Τρίτη 13:00-15:00 στην Α214, Τετάρτη 13:00-15:00 στην Α208 και Πέμπτη 13:00-15:00 στην Ε204
Ημερολόγιο Μαθήματος & Σημειώσεις: Δείτε παρακάτω

Ανακοινώσεις

• Το μάθημα της Τετάρτης θα γίνεται στην αίθουσα A208 (ίδια ώρα).

Περιγραφή Μαθήματος

Η θεωρία δακτυλίων αφορά την μελέτη αντικειμένων τα οποία διαθέτουν δύο πράξεις, που ονομάζονται πρόσθεση και πολλαπλασιασμός και σχετίζονται μέσω επιμεριστικών σχέσεων, όπως οι ακέραιοι αριθμοί. Από την άλλη, η θεωρία προτύπων (modules) αφορά την μελέτη αντικειμένων τα οποία είναι εφοδιασμένα με μια δράση από κάποιον δακτύλιο, όπως τα διανύσματα σε έναν Ευκλείδιο χώρο. Έτσι, η δομή του δακτύλιου ανακλάται στη δομή των προτύπων.  Η θεωρία δακτύλιων και προτύπων αποτελεί ένα πρόσφορο έδαφος για διάφορους κλάδους της άλγεβρας και γενικότερα των μαθηματικών, όπως η θεωρία αναπαραστάσεων, η μεταθετική άλγεβρα και η αλγεβρική γεωμετρία. 

Περιεχόμενα Μαθήματος

• Αριθμητική των δακτυλίων

  • Δακτύλιοι και ιδεώδη

  • Δακτύλιοι και παραγοντοποίηση

  • Ο δακτύλιος των πολυωνύμων

• Στοιχεία θεωρίας προτύπων

  • Βασικές έννοιες

  • Ελεύθερα πρότυπα και ακριβείς ακολουθίες

  • Τανυστικό γινόμενο προτύπων

  • Θεμελιώδες θεώρημα πεπερασμένα παραγόμενων προτύπων πάνω από περιοχές κύριων ιδεωδών

• Εισαγωγή στην μεταθετική άλγεβρα και αλγεβρική γεωμετρία

  • Συνθήκες αλυσίδων και δακτύλιοι της Noether

  • Θεώρημα βάσης του Hilbert και εφαρμογές

  • Λήμμα κανονικοποιήσης της Noether

  • Θεώρημα Nullstellensatz του Hilbert 

Προαπαιτούμενα

Βασικές γνώσεις 

• γραμμικής άλγεβρας όπως αυτές που παρουσιάζονται, για παράδειγμα, στα μαθήματα 112: Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα και 106: Γραμμική Άλγεβρα Ι

• θεωρίας ομάδων και δακτυλίων όπως αυτές που παρουσιάζονται, για παράδειγμα, στο μάθημα 221: Άλγεβρα Ι. 

Περαιτέρω γνώσεις θεωρίας δακτυλίων όπως, για παράδειγμα, αυτές που παρουσιάζονται στο μάθημα 222: Άλγεβρα ΙΙ θα είναι βοηθητικές, αλλά δε θεωρούνται δεδομένες. 

Συγγράμματα και άλλα

Οι παρακάτω προτάσεις είναι ενδεικτικές και προτείνονται ως οδηγός για τα θέματα που θα θίξουμε στο μάθημα. Σε περίπτωση που δεν έχετε πρόσβαση σε κάποιο από τα αναφερόμενα συγγράμματα και επιθυμείτε να αποκτήσετε, παρακαλώ επικοινωνήστε μαζί μου.

Βιβλία για γενική άλγεβρα:

• Dummit και Foote, Abstract Algebra, Wiley, 2004.

• Βάρσος, Δεριζιώτης, Εμμανουήλ, Μαλιάκας, Μελάς και Ταλέλλη, Μια Εισαγωγή στην Άλγεβρα, τρίτη έκδοση, Εκδόσεις Σοφία, 2013.

• Μπελιγιάννης - Μια Εισαγωγή στη Βασική Άλγεβρα, Κάλλιπος, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις, 2015.

Βιβλία για μεταθετική άλγεβρα:

• Atiyah και MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969.

• Reid, Undergraduate Commutative Algebra, CUP, 1995.

• Μαλιάκας, Εισαγωγή στην Μεταθετική Άλγεβρα, Εκδόσεις Σοφία, 2008.

• Παπαδάκης και Χαραλάμπους, Εισαγωγή στην Αντιμεταθετική Άλγεβρα, Κάλλιπος, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις, 2023.

Άλλα:

• Διαλέξεις θεωρίας δακτυλίων και προτύπων του (βραβευμένου με το μετάλλιο Fields) Richard E. Borcherds.

• (Αρκετά προχωρημένες) Διαλέξεις μεταθετικής άλγεβρας του ίδιου.

• Άρθρο του (βραβευμένου με το μετάλλιο Fields) Timothy Gowers με τίτλο "How to lose your fear of tensor products".

• (Μη τεχνική) Διάλεξη του  Grant Sanderson (γνωστός ως 3Blue1Brown) όπου εξηγεί την γεωμετρία των quaternions, τα οποία αποτελούν το πρώτο παράδειγμα δακτύλιου διαίρεσης.

• Άρθρο του Bjorn Poonen με τίτλο "Why all rings should have a 1".

Τρόπος Εξέτασης

tba

Διαλέξεις

1. Πέμπτη, 12 Φεβρουαρίου • 13:00-15:00 • Ε204 • Πρώτη Διάλεξη • σημειώσεις

   • ιστορική αναδρομή της θεωρίας δακτυλίων και προτύπων

   • δακτύλιος, μεταθετικός δακτύλιος, δακτύλιος με διαίρεση, σώμα, μηδενοδιαιρέτης, ακέραια περιοχή, υποδακτύλιος, ομομορφισμός δακτυλίων, πυρήνας και εικόνα ομομορφισμού

2. Τρίτη, 17 Φεβρουαρίου • 13:00-15:00 • A214 • Θεωρία

   • ιδεώδες, κύριο ιδεώδες, άθροισμα και γινόμενο ιδεωδών, σύνδεσμος ιδεωδών, μεγιστικό και πρώτο ιδεώδες, δακτύλιος πηλίκο, 

   • θεωρήματα ισομορφισμών

Τετάρτη, 18 Φεβρουαρίου • 13:00-15:00 • A214 • Ασκήσεις

3. Πέμπτη, 19 Φεβρουαρίου • 11:00-13:00 • A208 • Θεωρία

   • Ευκλείδιος δακτύλιος, περιοχή κύριων ιδεωδών, αντριστρέψιμα, ανάγωγα, πρώτα και συντροφικά στοιχεία, περιοχή μονοσήμαντης παραγοντοποίησης

4. Τρίτη, 24 Φεβρουαρίου • 13:00-15:00 • A214 • Θεωρία

5. Τετάρτη, 25 Φεβρουαρίου • 13:00-15:00 • A208 • Ασκήσεις

6. Πέμπτη, 26 Φεβρουαρίου • 13:00-15:00 • Ε204 • Θεωρία