226: Θεωρία Δακτυλίων και Modules

Διδάσκων: Βασίλης Μουστάκας
Email: vasmous AT uoc DOT gr
Γραφείο: Δ.328
Ώρες γραφείου: Έπειτα από συννενόηση με email (προτείνεται) ή περάστε από το γραφείο
Αίθουσα & Ωράριο:  Τρίτη 13:00-15:00 στην Α214, Τετάρτη 13:00-15:00 στην Α208 και Πέμπτη 13:00-15:00 στην Ε204
Ημερολόγιο Μαθήματος & Σημειώσεις: Δείτε παρακάτω

Ανακοινώσεις

• Τα μαθήματα στις 18, 19 και 24 Μαρτίου δεν θα πραγματοποιηθούν.

• Θα αναπληρωθούν τις ημερομηνίες 16, 27 και 30 Μαρτίου και ώρες 15:00-17:00, 13:00-15:00 και 15:00-17:00, αντίστοιχα, στην αίθουσα Ε204.

• Η πρώτη πρόοδος θα πραγματοποιεί στις 2 Απριλίου.

Περιγραφή Μαθήματος

Η θεωρία δακτυλίων αφορά την μελέτη αντικειμένων τα οποία διαθέτουν δύο πράξεις, που ονομάζονται πρόσθεση και πολλαπλασιασμός και σχετίζονται μέσω επιμεριστικών σχέσεων, όπως οι ακέραιοι αριθμοί. Από την άλλη, η θεωρία προτύπων (modules) αφορά την μελέτη αντικειμένων τα οποία είναι εφοδιασμένα με μια δράση από κάποιον δακτύλιο, όπως τα διανύσματα σε έναν Ευκλείδιο χώρο. Έτσι, η δομή του δακτύλιου ανακλάται στη δομή των προτύπων.  Η θεωρία δακτύλιων και προτύπων αποτελεί ένα πρόσφορο έδαφος για διάφορους κλάδους της άλγεβρας και γενικότερα των μαθηματικών, όπως η θεωρία αναπαραστάσεων, η μεταθετική άλγεβρα και η αλγεβρική γεωμετρία. 

Περιεχόμενα Μαθήματος

• Αριθμητική των δακτυλίων

  • Δακτύλιοι και ιδεώδη

  • Δακτύλιοι και παραγοντοποίηση

  • Ο δακτύλιος των πολυωνύμων

• Στοιχεία θεωρίας προτύπων

  • Βασικές έννοιες

  • Ελεύθερα πρότυπα και ακριβείς ακολουθίες

  • Τανυστικό γινόμενο προτύπων

  • Θεμελιώδες θεώρημα πεπερασμένα παραγόμενων προτύπων πάνω από περιοχές κύριων ιδεωδών

• Εισαγωγή στην μεταθετική άλγεβρα και αλγεβρική γεωμετρία

  • Συνθήκες αλυσίδων και δακτύλιοι της Noether

  • Θεώρημα βάσης του Hilbert και εφαρμογές

  • Λήμμα κανονικοποιήσης της Noether

  • Θεώρημα Nullstellensatz του Hilbert 

Προαπαιτούμενα

Βασικές γνώσεις 

• γραμμικής άλγεβρας όπως αυτές που παρουσιάζονται, για παράδειγμα, στα μαθήματα 112: Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα και 106: Γραμμική Άλγεβρα Ι

• θεωρίας ομάδων και δακτυλίων όπως αυτές που παρουσιάζονται, για παράδειγμα, στο μάθημα 221: Άλγεβρα Ι. 

Περαιτέρω γνώσεις θεωρίας δακτυλίων όπως, για παράδειγμα, αυτές που παρουσιάζονται στο μάθημα 222: Άλγεβρα ΙΙ θα είναι βοηθητικές, αλλά δε θεωρούνται δεδομένες. 

Συγγράμματα και άλλα

Οι παρακάτω προτάσεις είναι ενδεικτικές και προτείνονται ως οδηγός για τα θέματα που θα θίξουμε στο μάθημα. Σε περίπτωση που δεν έχετε πρόσβαση σε κάποιο από τα αναφερόμενα συγγράμματα και επιθυμείτε να αποκτήσετε, παρακαλώ επικοινωνήστε μαζί μου.

Βιβλία για γενική άλγεβρα:

1. Dummit και Foote, Abstract Algebra, Wiley, 2004.

2. Βάρσος, Δεριζιώτης, Εμμανουήλ, Μαλιάκας και Ταλέλλη, Μια Εισαγωγή στην Άλγεβρα, τρίτη έκδοση, Εκδόσεις Σοφία, 2013.

3. Μπελιγιάννης - Μια Εισαγωγή στη Βασική Άλγεβρα, Κάλλιπος, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις, 2015.

Βιβλία για μεταθετική άλγεβρα:

4. Atiyah και MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969.

5. Reid, Undergraduate Commutative Algebra, CUP, 1995.

6. Μαλιάκας, Εισαγωγή στην Μεταθετική Άλγεβρα, Εκδόσεις Σοφία, 2008.

7. Παπαδάκης και Χαραλάμπους, Εισαγωγή στην Αντιμεταθετική Άλγεβρα, Κάλλιπος, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις, 2023.

Άλλα:

• Διαλέξεις θεωρίας δακτυλίων και προτύπων του (βραβευμένου με το μετάλλιο Fields) Richard E. Borcherds.

• (Αρκετά προχωρημένες) Διαλέξεις μεταθετικής άλγεβρας του ίδιου.

• Άρθρο του (βραβευμένου με το μετάλλιο Fields) Timothy Gowers με τίτλο "How to lose your fear of tensor products".

• (Μη τεχνική) Διάλεξη του  Grant Sanderson (γνωστός ως 3Blue1Brown) όπου εξηγεί την γεωμετρία των quaternions, τα οποία αποτελούν το πρώτο παράδειγμα δακτύλιου διαίρεσης.

• Άρθρο του Bjorn Poonen με τίτλο "Why all rings should have a 1".

Τρόπος Εξέτασης

θα πραγματοποιηθούν δύο πρόοδοι:

• Η πρώτη πριν τις διακοπές του Πάσχα, με ύλη από την αριθμητική των δακτυλίων και τη θεωρία προτύπων.

• Η δεύτερη πριν τη διακοπή για την εξεταστική του Ιουνίου με ύλη από την εισαγωγή στην μεταθετική άλγεβρα και αλγεβρική γεωμετρία. 

Οι πρόοδοι θα είναι απαλλακτικές, δηλαδή αν περάσει κάποιος και τις δύο, τότε περνά το μάθημα. Σε περίπτωση που κάποιος περάσει μόνο την μία εκ των δύο, ο βαθμός της θα προσμετρηθεί σ' αυτόν της τελικής εξέτασης (με την προϋπόθεση ότι θα περάσει την βάση).

Προτεινόμενες Ασκήσεις

Παρακάτω προτείνονται κάποιες ασκήσεις προς επίλυση, ορισμένες από τις οποίες (αυτές που είναι με κόκκινο χρώμα) λύσαμε κατά τη διάρκεια του εξαμήνου.

• Δακτύλιοι και ιδεώδη

  • Από την Ενότητα 7.1 του [1] (βλ. παραπάνω) οι ασκήσεις:  7,  11, 12, 13, 14, 15, 16.

  • Από την Ενότητα 7.2 του [1] οι ασκήσεις: 6, 7, 8, 12.

  • Από την Ενότητα 7.3 του [1] οι ασκήσεις: 3, 4, 22, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33(~), 34, 35.

  • Από την Ενότητα 7.4 του [1] οι ασκήσεις: 1, 8, 23, 26, 27, 30, 31, 32, 37, 40, 41.

• Δακτύλιοι και παραγοντοποίηση

  • Από την Ενότητα 7.4 του [1] οι ασκήσεις: 8

  • Από την Ενότητα 7.6 του [1] οι ασκήσεις: 1, 2

  • Από την Ενότητα 8.1 του [1] οι ασκήσεις: 3, 10, 11

  • Από την Ενότητα 8.2 του [1] οι ασκήσεις: 3, 5

• Πολυωνυμικοί δακτύλιοι

  • Από την Ενότητα 7.4 του [1] οι ασκήσεις: 7, 15, 16, 17

  • Από την Ενότητα 9.1 του [1] οι ασκήσεις: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 13, 15, 16, 17

  • Από την Ενότητα 9.2 του [1] οι ασκήσεις: 2, 5, 6, 7

  • Από την Ενότητα 9.3 του [1] οι ασκήσεις: 3

  • Από την Ενότητα 9.4 του [1] οι ασκήσεις: 1

• Βασικά στοιχεία θεωρίας προτύπων

  • Από την Ενότητα 10.1 του [1] οι ασκήσεις: 3, 5, 6, 8, 9, 11, 14-20

  • Από την Ενότητα 10.2 του [1] οι ασκήσεις: 4, 5, 6, 8, 9, 10

  • Από την Ενότητα 10.2 του [1] οι ασκήσεις: 3-15

Διαλέξεις

1. Πέμπτη, 12 Φεβρουαρίου • 13:00-15:00 • Ε204 • Πρώτη Διάλεξη • σημειώσεις

   • ιστορική αναδρομή της θεωρίας δακτυλίων και προτύπων

   • δακτύλιος, μεταθετικός δακτύλιος, δακτύλιος με διαίρεση, σώμα, μηδενοδιαιρέτης, ακέραια περιοχή, υποδακτύλιος, ομομορφισμός δακτυλίων, πυρήνας και εικόνα ομομορφισμού

2. Τρίτη, 17 Φεβρουαρίου • 13:00-15:00 • A214 • Θεωρία • σημειώσεις

   • ιδεώδες, κύριο ιδεώδες, άθροισμα και γινόμενο ιδεωδών, σύνδεσμος ιδεωδών, μεγιστικό και πρώτο ιδεώδες, δακτύλιος πηλίκο, 

   • θεωρήματα ισομορφισμών

Τετάρτη, 18 Φεβρουαρίου • 13:00-15:00 • A214 • Ασκήσεις

3. Πέμπτη, 19 Φεβρουαρίου • 11:00-13:00 • A208 • Θεωρία • σημειώσεις

   • Ευκλείδιος δακτύλιος, περιοχή κύριων ιδεωδών (ΠΚΙ), αντριστρέψιμα, ανάγωγα, πρώτα και συντροφικά στοιχεία, περιοχή μονοσήμαντης παραγοντοποίησης (ΠΜΠ)

   • Ευκλείδια περιοχή => ΠΚΙ

4. Τρίτη, 24 Φεβρουαρίου • 13:00-15:00 • A214 • Θεωρία • σημειώσεις

   • ΠΚΙ => ΠΜΠ

   • σε ΠΚΙ: κάθε αύξουσα ακολουθία ιδεωδών είναι τελικά σταθερή

   • σε ΠΚΙ: ένα στοχείο είναι ανάγωγο αν και μόνο αν είναι πρώτο

5. Τετάρτη, 25 Φεβρουαρίου • 13:00-15:00 • A208 • Ασκήσεις • ενδεικτικές λύσεις

   • Λύθηκαν οι ασκήσεις: 7.1.7, 7.1.13(a,b), 7.2.7, 7.2.12 και 7.3.25 του [1]

   • Συζητήθηκαν ο ασκήσεις: 7.1.9, 7.2.6, 7.3.26 του [1]

6. Πέμπτη, 26 Φεβρουαρίου • 13:00-15:00 • Ε204 • Θεωρία • σημειώσεις

   • πολυωνυμικός δακτύλιος μιας μεταβλητής, πολυώνυμο, βαθμός πολυωνύμου, αντιστρέψιμο πολυώνυμο

   • ομομορφισμός εκτίμησης και καθολική ιδιότητα πολυωνυμικού δακτύλιου

   • πολυωνυμικός δακτύλιος πολλών μεταβλητών, μονώνυμο, βαθμός μονωνύμου

   • F = σώμα ⇒ F[x] = Ευκλείδια περιοχή (& ΠΚΙ (& ΠΜΠ))

   • R[x] = ΠΚΙ ⇒ R = σώμα

   • πεπερασμένα παραγόμενο ιδεώδες

7. Τρίτη, 3 Μαρτίου • 13:00-15:00 • A214 • Θεωρία • σημειώσεις

   • R = ΠΜΠ ⇒ R[x] = ΠΜΠ ⇒ R[x_1, x_2, ..., x_n] = ΠΜΠ

   • ρίζα πολυωνύμου, δακτύλιος πηλίκο της μορφής F[x]/(f) 

8. Τετάρτη, 4 Μαρτίου • 13:00-15:00 • A208 • Ασκήσεις • ενδεικτικές λύσεις

   • Λύθηκαν οι ασκήσεις: 7.1.14, 7.2.8, 7.3.29, 7.3.33, 7.4.26 και 7.4.27 του [1]

   • Συζητήθηκε η άσκηση 7.4.30 του [1]

9. Πέμπτη, 5 Μαρτίου • 13:00-15:00 • Ε204 • Θεωρία • σημειώσεις

   • πρότυπο πάνω από δακτύλιο, υποπρότυπο, αριστερό vs δεξί πρότυπο

   • κανονικό πρότυπο, τετριμμένο πρότυπο, το ελεύθερο πρότυπο τάξης n

   • F-πρότυπα και F-διανυσματικοί χώροι (όπου F σώμα)  

   • Ζ-πρότυπα και αβελιανές ομάδες

   • F[x]-πρότυπα και F-διανυσματικοί χώροι εφοδιασμένοι με έναν γραμμικό ενδομορφισμό T : V → V

10. Τρίτη, 10 Μαρτίου • 13:00-15:00 • A214 • Θεωρία

    • ομομορφισμός προτύπων, πυρήνας, εικόνα, Hom, δακτύλιος ενδομορφισμών, πρότυπα πηλίκο

    • βραχεία ακριβής ακολουθία

    • θεωρήματα ισομορφισμών

11. Τετάρτη, 11 Μαρτίου • 13:00-15:00 • A208 • Ασκήσεις

    • Λύθηκαν οι ασκήσεις: 7.4.30, 7.4.31, 7.4.32, 9.2.7 του [1]

12. Πέμπτη, 12 Μαρτίου • 13:00-15:00 • Ε204 • Θεωρία

    • άθροισμα προτύπων, πεπερασμένα παραγόμενο πρότυπο, κυκλικό πρότυπο, ευθύ γινόμενο υποπροτύπων, ευθύ άθροισμα υποπροτύπων

    • ευθύ γινόμενο και ευθύ άρθοισμα προτύπων

    • βάση και ελεύθερο πρότυπο

    • καθολική ιδιότητα ελεύθερων προτύπων

13. Δευτέρα, 16 Μαρτίου • 15:00-17:00 • Ε204 • Θεωρία

14. Τρίτη, 17 Μαρτίου • 13:00-15:00 • A214 • Ασκήσεις

Τετάρτη, 18 Μαρτίου • 13:00-15:00 • A208

Πέμπτη, 19 Μαρτίου • 13:00-15:00 • Ε204

Τρίτη, 24 Μαρτίου • 13:00-15:00 • A214

15. Πέμπτη, 26 Μαρτίου • 13:00-15:00 • Ε204

16. Παρασκευή, 27 Μαρτίου • 13:00-15:00 • Ε204

17. Δευτέρα, 30 Μαρτίου • 15:00-17:00 • Ε204

18. Τρίτη, 31 Μαρτίου • 13:00-15:00 • A214

19. Τετάρτη, 1 Απριλίου • 13:00-15:00 • A208

20. Πέμπτη, 2 Απριλίου • 13:00-15:00 • Ε204 • Πρόοδος