Θ2.04: Θεωρία Αναπαραστάσεων και Συνδυαστική
Θ2.04: Θεωρία Αναπαραστάσεων και Συνδυαστική
Διδάσκον: Βασίλης Μουστάκας
Email: vd.moustakas AT gmail.com
Γραφείο: Δ.328
Ώρες γραφείου: Έπειτα από συννενόηση με email (προτείνεται) ή περάστε από το γραφείο
Αίθουσα & Ωράριο: Τρίτη, Πέμπτη 15:00-17:00 στην Α214 & Τετάρτη 15:00-17:00 στην A208
Ημερολόγιο Μαθήματος & Σημειώσεις: Δείτε στο τέλος της σελίδας
Ένας χρήσιµος τρόπος να µελετήσουµε µια οµάδα είναι µέσω της κατανόησης των δράσεών της πάνω σε διανυσµατικούς χώρους, µετατρέποντας έτσι τη µελέτη της σε πρόβληµα γραµµικής άλγεβρας. Η προσέγγιση αυτή ονομάζεται θεωρία αναπαραστάσεων. Το μάθημα αποτελεί μια πρόσκληση στη θεωρία αναπαραστάσεων των πεπερασμένων ομάδων, με έμφαση στις αναπαραστάσεις της συμμετρικής ομάδας. Στην περίπτωση της συμμετρικής ομάδας, μέθοδοι συνδυαστικής μας επιτρέπουν να απαντήσουμε πλήρως σε πληθώρα βασικών ερωτημάτων που προκύπτουν.
Βασικές έννοιες της θεωρίας αναπαραστάσεων πεπερασμένων ομάδων
Δράσεις ομάδων και αναπαραστάσεις
Θεώρημα Maschke και Λήμμα του Schur
Χαρακτήρες και σχέσεις ορθογωνιότητας
Επαγωγή και περιορισμός και ο νόμος αντιστροφής του Frobenius
Θεωρία αναπαραστάσεων της συμμετρικής ομάδας
Στοιχεία αλγεβρικής συνδυαστικής, όπως διαμερίσεις ακεραίων και Young ταμπλώ
Πρότυπα Specht, Θεώρημα James και συνήθη Young ταμπλώ
Κανόνες διακλάδωσης, Κανόνας Pieri και Κανόνας Young
Συμμετρικές συναρτήσεις
Γεννήτριες συναρτήσεις, τυπικές δυναμοσειρές και συμμετρικές συναρτήσεις
Συναρτήσεις Schur και ορίζουσες Jacobi–Trudi
Χαρακτηριστική απεικόνιση Frobenius
Κανόνας Pieri, Κανόνας Littlewood–Richardson και Τύπος Murnaghan–Nakayama
Στοιχεία απαριθμητικής συνδυαστικής (αν το επιτρέψει ο χρόνος)
Αλγόριθμος Robinson–Schensted–Knuth και Θεώρημα Schützenberger
Τύπος Frame–Robinson–Thrall και θέματα απαρίθμησης ταμπλώ
Βασικές γνώσεις γραμμικής άλγεβρας όπως αυτές που παρουσιάζονται, για παράδειγμα, στα μαθήματα 112: Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα και 106: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Εξοικείωση με βασικές έννοιες της θεωρίας ομάδων όπως, για παράδειγμα, αυτές που παρουσιάζονται στο μάθημα 221: Άλγεβρα Ι θα είναι βοηθητική, αλλά δε θεωρείται δεδομένη. Δεν απαιτούνται γνώσεις συνδυαστικής θεωρίας. Οποιοσδήποτε φοιτητής με κάποια μαθηματική ωριμότητα και περιέργεια είναι ευπρόσδεκτος.
Οι παρακάτω προτάσεις είναι ενδεικτικές και προτείνονται ως οδηγός για τα θέματα που θα θίξουμε στο μάθημα. Σε περίπτωση που δεν έχετε πρόσβαση σε κάποιο από τα αναφερόμενα συγγράμματα και επιθυμείτε να αποκτήσετε, παρακαλώ επικοινωνήστε μαζί μου.
Το βασικό σύγγραμμα που θα ακολουθήσουμε είναι το
Bruce E. Sagan - The Symmetric Group: Representations, Combinatorial Algorithms, and Symmetric Functions
Βιβλία για τη θεωρία αναπαραστάσεων και χαρακτήρων:
Peter Webb - A Course in Finite Group Representation Theory
Gordon James και Martin Liebeck - Representations and Characters of Groups
J.L. Alperin και Rowen B. Bell - Groups and Representations
Βιβλία για τη θεωρία αναπαραστάσεων της συμμετρικής ομάδας:
William Fulton - Young tableaux, with Applications to Representation Theory and Geometry
Pierre-Loic Meliot - Representation Theory of Symmetric Groups
Tullio Ceccherini-Silberstein, Fabio Scarabotti και Filippo Tolli - Representation Theory of the Symmetric Groups, The Okounkov-Vershik Approach, Character Formulas, and Partition Algebras
Βιβλία για τη θεωρία των συμμετρικών συναρτήσεων και τη σύνδεση με τη θεωρία αναπαραστάσεων:
Richard P. Stanley - Enumerative Combinatorics, Volume 2 (Κεφάλαιο 7)
Eric S. Egge - An Introduction to Symmetric Functions and Their Combinatorics
Darij Grinberg και Vic Reiner - Hopf algebras in combinatorics (Ενότητες 4 & 5)
Άλλα:
Διάλεξη θεωρίας αναπαραστάσεων του Mateusz Michalek στα πλαίσια του μαθήματος Introduction to Nonlinear Algebra που δόθηκε το καλοκαίρι του 2018 στο Ινστιτούτο Max Planck για τα Μαθηματικά της Λειψίας.
Διαλέξεις θεωρίας αναπαραστάσεων του (βραβευμένου με το μετάλλιο Fields) Richard E. Borcherds.
Η ιστοσελίδα του Federico Ardila με βιντεοσκοπημένες διαλέξεις που καλύπτουν κάποια από τα πιο βασικά θέματα συνδυαστικής θεωρίας: matroids, πολύτοπα, ομάδες Coxeter, Hopf άλγεβρες και συνδυαστική, συνδυαστική μεταθετική άλγεβρα, απαριθμητική συνδυαστική.
Άρθρο ανασκόπησης των Hélène Barcelo και Arun Ram που εξηγεί την "Συνδυαστική Θεωρία Αναπαραστάσεων".
Ο τελικός βαθμός του μαθήματος θα προκύψει από τον συνδυασμό της επίδοσης στα φυλλάδια ασκήσεων (βλ. παρακάτω) και στην τελική εξέταση. Εναλλακτικά, όποιος το επιθυμεί μπορεί να αντικαταστήσει την τελική εξέταση με μια ~20λεπτη παρουσίαση σε θέμα συναφές με το περιεχόμενο του μαθήματος (tbd). Προτείνεται η δεύτερη επιλογή. Σε κάθε περίπτωση, τη μεγαλύτερη βαρύτητα έχει η επίδοση στα φυλλάδια ασκήσεων.
θα δίνονται φυλλάδια ασκήσεων κάθε δύο (ενδεχομένως και τρεις) εβδομάδες. Η προθεσμία παράδοσης κάθε σετ είναι μέχρι την ημερομηνία που θα ανακοινώνεται το επόμενο. Η παράδοση θα γίνεται ιδανικά σε pdf μορφή γραμμένη σε LaTeX (γι αυτό μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το εξής template, γράφοντας για παράδειγμα στο overleaf.com), διαφορετικά με ευκρινή φωτογραφία των λύσεων στο email με τίτλο: Ονοματεπώνυμο-Σετ Ασκήσεων XX, όπου XX είναι ο αριθμός του αντίστοιχου σετ.
Τρίτη, 30 Σεπτεμβρίου • 15:00-17:00 • Α214 • Πρώτη Διάλεξη • σημειώσεις
ομάδα, ομάδα συμμετρίας, συμμετρική ομάδα, δράση, τροχιά, αριστερό σύμπλοκο, κλάση συζυγίας, αναπαράσταση, διάσταση αναπαράστασης, αναπαράσταση μεταθέσεων
Τετάρτη, 1 Οκτωβρίου • 15:00-17:00 • Α208
επανάληψη (αντί ασκήσεων)
Πέμπτη, 2 Οκτωβρίου • 15:00-17:00 • Α214 • σημειώσεις
τετριμμένη αναπαράσταση, κανονική αναπαράσταση, αναπαράσταση συμπλόκου, αναπαράσταση προσήμου, αναπαράσταση καθορισμού, πίνακες μετάθεσης, υποαναπαράσταση, ανάγωγη και αναγωγική υποαναπαράσταση
Τρίτη, 7 Οκτωβρίου • 15:00-17:00 • Α214