Θ2.04: Θεωρία Αναπαραστάσεων και Συνδυαστική

Διδάσκων: Βασίλης Μουστάκας
Email: vd.moustakas AT gmail.com
Γραφείο: Δ.328
Ώρες γραφείου: Έπειτα από συννενόηση με email (προτείνεται) ή περάστε από το γραφείο
Αίθουσα & Ωράριο: Τρίτη, Πέμπτη 15:00-17:00 και Τετάρτη 11:00-13:00 στην A214
Ημερολόγιο Μαθήματος & Σημειώσεις: Δείτε στο τέλος της σελίδας

Ανακοινώσεις

• Ανέβηκε το δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων.

Περιγραφή Μαθήματος

Ένας χρήσιµος τρόπος να µελετήσουµε µια οµάδα είναι µέσω της κατανόησης των δράσεών της πάνω σε διανυσµατικούς χώρους, µετατρέποντας έτσι τη µελέτη της σε πρόβληµα γραµµικής άλγεβρας. Η προσέγγιση αυτή ονομάζεται θεωρία αναπαραστάσεων. Το μάθημα αποτελεί μια πρόσκληση στη θεωρία αναπαραστάσεων των πεπερασμένων ομάδων, με έμφαση στις αναπαραστάσεις της συμμετρικής ομάδας. Στην περίπτωση της συμμετρικής ομάδας, μέθοδοι συνδυαστικής μας επιτρέπουν να απαντήσουμε πλήρως σε πληθώρα βασικών ερωτημάτων που προκύπτουν. 

Περιεχόμενα Μαθήματος

• Βασικές έννοιες της θεωρίας αναπαραστάσεων πεπερασμένων ομάδων

  • Δράσεις ομάδων και αναπαραστάσεις

  • Θεώρημα Maschke και Λήμμα του Schur

  • Χαρακτήρες και σχέσεις ορθογωνιότητας

  • Επαγωγή και περιορισμός και ο νόμος αντιστροφής του Frobenius

• Θεωρία αναπαραστάσεων της συμμετρικής ομάδας

  • Στοιχεία αλγεβρικής συνδυαστικής, όπως διαμερίσεις ακεραίων και Young ταμπλώ

  • Πρότυπα Specht, Θεώρημα James και συνήθη Young ταμπλώ

  • Κανόνες διακλάδωσης, Κανόνας Pieri και Κανόνας Young

• Συμμετρικές συναρτήσεις

  • Γεννήτριες συναρτήσεις, τυπικές δυναμοσειρές και συμμετρικές συναρτήσεις

  • Συναρτήσεις Schur και ορίζουσες Jacobi–Trudi

  • Χαρακτηριστική απεικόνιση Frobenius

  • Κανόνας Pieri, Κανόνας Littlewood–Richardson και Τύπος Murnaghan–Nakayama 

• Στοιχεία απαριθμητικής συνδυαστικής (αν το επιτρέψει ο χρόνος)

  • Αλγόριθμος Robinson–Schensted–Knuth και Θεώρημα Schützenberger 

  • Τύπος Frame–Robinson–Thrall και θέματα απαρίθμησης ταμπλώ

Προαπαιτούμενα

Βασικές γνώσεις γραμμικής άλγεβρας όπως αυτές που παρουσιάζονται, για παράδειγμα, στα μαθήματα 112: Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα και 106: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Εξοικείωση με βασικές έννοιες της θεωρίας ομάδων όπως, για παράδειγμα, αυτές που παρουσιάζονται στο μάθημα 221: Άλγεβρα Ι θα είναι βοηθητική, αλλά δε θεωρείται δεδομένη. Δεν απαιτούνται γνώσεις συνδυαστικής θεωρίας. Οποιοσδήποτε φοιτητής με κάποια μαθηματική ωριμότητα και περιέργεια είναι ευπρόσδεκτος.

Συγγράμματα και άλλα

Οι παρακάτω προτάσεις είναι ενδεικτικές και προτείνονται ως οδηγός για τα θέματα που θα θίξουμε στο μάθημα. Σε περίπτωση που δεν έχετε πρόσβαση σε κάποιο από τα αναφερόμενα συγγράμματα και επιθυμείτε να αποκτήσετε, παρακαλώ επικοινωνήστε μαζί μου.

Το βασικό σύγγραμμα που θα ακολουθήσουμε είναι το

• Bruce E. Sagan - The Symmetric Group: Representations, Combinatorial Algorithms, and Symmetric Functions

Βιβλία για τη θεωρία αναπαραστάσεων και χαρακτήρων: 

• Peter Webb - A Course in Finite Group Representation Theory 

• Gordon James και Martin Liebeck - Representations and Characters of Groups

• J.L. Alperin και Rowen B. Bell - Groups and Representations

Βιβλία για τη θεωρία αναπαραστάσεων της συμμετρικής ομάδας:

• William Fulton - Young tableaux, with Applications to Representation Theory and Geometry 

• Pierre-Loic Meliot  - Representation Theory of Symmetric Groups

• Tullio Ceccherini-Silberstein, Fabio Scarabotti και Filippo Tolli - Representation Theory of the Symmetric Groups, The Okounkov-Vershik Approach, Character Formulas, and Partition Algebras

Βιβλία για τη θεωρία των συμμετρικών συναρτήσεων και τη σύνδεση με τη θεωρία αναπαραστάσεων:

• Richard P. Stanley - Enumerative Combinatorics, Volume 2 (Κεφάλαιο 7)

• Eric S. Egge - An Introduction to Symmetric Functions and Their Combinatorics

• Darij Grinberg και Vic Reiner - Hopf algebras in combinatorics (Ενότητες 4 & 5)

Άλλα:

• Διάλεξη θεωρίας αναπαραστάσεων του Mateusz Michalek στα πλαίσια του μαθήματος Introduction to Nonlinear Algebra που δόθηκε το καλοκαίρι του 2018 στο Ινστιτούτο Max Planck για τα Μαθηματικά της Λειψίας.

• Διαλέξεις θεωρίας αναπαραστάσεων του (βραβευμένου με το μετάλλιο Fields) Richard E. Borcherds.

• Η ιστοσελίδα του Federico Ardila με βιντεοσκοπημένες διαλέξεις που καλύπτουν κάποια από τα πιο βασικά θέματα συνδυαστικής θεωρίας: matroids, πολύτοπα, ομάδες Coxeter, Hopf άλγεβρες και συνδυαστική, συνδυαστική μεταθετική άλγεβρα, απαριθμητική συνδυαστική.

• Άρθρο ανασκόπησης των Hélène Barcelo και Arun Ram που εξηγεί την "Συνδυαστική Θεωρία Αναπαραστάσεων".

Τρόπος Εξέτασης

Ο τελικός βαθμός του μαθήματος θα προκύψει από τον συνδυασμό της επίδοσης στα φυλλάδια ασκήσεων (βλ. παρακάτω) και στην τελική εξέταση. Εναλλακτικά, όποιος το επιθυμεί μπορεί να αντικαταστήσει την τελική εξέταση με μια ~20λεπτη παρουσίαση σε θέμα συναφές με το περιεχόμενο του μαθήματος (tbd). Προτείνεται η δεύτερη επιλογή. Σε κάθε περίπτωση, τη μεγαλύτερη βαρύτητα έχει η επίδοση στα φυλλάδια ασκήσεων.

Φυλλάδια Ασκήσεων

θα δίνονται φυλλάδια ασκήσεων κάθε δύο (ενδεχομένως και τρεις) εβδομάδες. Η προθεσμία παράδοσης κάθε σετ είναι μέχρι την ημερομηνία που θα ανακοινώνεται το επόμενο. Η παράδοση θα γίνεται ιδανικά σε pdf μορφή γραμμένη σε LaTeX (γι αυτό μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το εξής template, γράφοντας για παράδειγμα στο overleaf.com), διαφορετικά με ευκρινή φωτογραφία των λύσεων στο email με τίτλο: Ονοματεπώνυμο-Φυλλάδιο Ασκήσεων XX, όπου XX είναι ο αριθμός του αντίστοιχου σετ.

• Φυλλάδιο Ασκήσεων 1 (προθεσμία: 24/10/2025)

• Φυλλάδιο Ασκήσεων 2 (προθεσμία: 06/11/2025)

Διαλέξεις

1. Τρίτη, 30 Σεπτεμβρίου • 15:00-17:00 • Α214 • Πρώτη Διάλεξη • σημειώσεις

   • ομάδα, ομάδα συμμετρίας, συμμετρική ομάδα, δράση, τροχιά, αριστερό σύμπλοκο, κλάση συζυγίας, αναπαράσταση, διάσταση αναπαράστασης, αναπαράσταση μεταθέσεων

2. Τετάρτη, 1 Οκτωβρίου • 15:00-17:00 • Α208 

   • επανάληψη (αντί ασκήσεων)

3. Πέμπτη, 2 Οκτωβρίου • 15:00-17:00 • Α214 • σημειώσεις

   • τετριμμένη αναπαράσταση, κανονική αναπαράσταση, αναπαράσταση συμπλόκου, αναπαράσταση προσήμου, αναπαράσταση καθορισμού, πίνακες μετάθεσης, υποαναπαράσταση, ανάγωγη και αναγωγική υποαναπαράσταση

4. Τρίτη, 7 Οκτωβρίου • 15:00-17:00 • Α214 • σημειώσεις

   • αναλλοίωτο εσωτερικό γινόμενο, ορθογώνιο συμπλήρωμα, πλήρως αναγωγική αναπαράσταση

   • Θεώρημα του Maschke

5. Τετάρτη 8 Οκτωβρίου • 15:00-17:00 • Α208 • σημειώσεις

   • παράσταση ομάδας, διδερική ομάδα D_2n, κυκλική ομάδα C_n, 4-ομάδα του Klein V_4

   • παραδείγματα δράσεων (και αναπαραστάσεων) των εξής ομάδων: C_3, V_4, D_6 (ή S_3) και D_8

6. Πέμπτη 9 Οκτωβρίου • 15:00-17:00 • Α214 • σημειώσεις

   • ομομορφισμός αναπαραστάσεων, πυρήνας, εικόνα, ισοτυπική διάσπαση

   • Λήμμα του Schur

   • ανάγωγες αναπαραστάσεις μιας αβελιανής ομάδας

   • μοναδικότητα ισοτυπικής διάσπασης ως προς ισομορφισμό

7. Δευτέρα 13 Οκτωβρίου • 15:00-17:00 • Ε204 • σημειώσεις

   • ισοτυπική διάσπαση της κανονικής αναπαράστασης

   • τύπος διάστασης

   • χαρακτήρας, στατιστική μεταθέσεων

8. Τρίτη 14 Οκτωβρίου • 15:00-17:00 • Α214 • σημειώσεις

   • συνάρτηση κλάσης, πίνακας χαρακτήρων, τανυστικό γινόμενο

   • πίνακας χαρακτήρων της C_4

9. Τετάρτη 15 Οκτωβρίου • 11:00-13:00 • Α214 • σημειώσεις

   • δράση συζυγίας, κλάση συζυγίας, κεντρικοποιητής, εξίσωση κλάσης

   • κλάσεις συζυγίας της S_3 και της D_8

   • πίνακας χαρακτήρων της D_8

10. Τετάρτη 22 Οκτωβρίου • 13:00-15:00 • Α208 • σημειώσεις

    • ευθύ άθροισμα, τανυστικό γινόμενο, δυϊκός χώρος και γραμμικές απεικονίσεις μεταξύ δυο αναπαραστάσεων

11. Πέμπτη 23 Οκτωβρίου • 15:00-17:00 • Α214 • σημειώσεις

    • συνήθης αναπαράσταση της συμμετρικής ομάδας

    • εσωτερικό γινόμενο στον χώρο των συναρτήσεων κλάσης

    • σχέσεις ορθογωνιότητας χαρακτήρων

12. Παρασκευή 24 Οκτωβρίου • 13:00-15:00 • Α212 • σημειώσεις

    • πίνακας χαρακτήρων της S_4

    • παράδειγμα αναπαράστασης μεταθέσεων της S_4 στο σύνολο των διαμερίσεων του [4]: {12|34, 13|24, 14|23}

    • αριθμοί Bell, αριθμοί Stirling δεύτερου είδους

13. Τετάρτη 29 Οκτωβρίου • 11:00-13:00 • Α214 

    • ασκήσεις

14. Πέμπτη 30 Οκτωβρίου • 15:00-17:00 • Α214

    • θεωρία