Θ2.04: Θεωρία Αναπαραστάσεων και Συνδυαστική

Διδάσκων: Βασίλης Μουστάκας
Email: vd.moustakas AT gmail.com
Γραφείο: Δ.328
Ώρες γραφείου: Έπειτα από συννενόηση με email (προτείνεται) ή περάστε από το γραφείο
Αίθουσα & Ωράριο: Τρίτη, Πέμπτη 15:00-17:00 και Τετάρτη 11:00-13:00 στην A214
Ημερολόγιο Μαθήματος & Σημειώσεις: Δείτε στο τέλος της σελίδας

Ανακοινώσεις

• Επικρατέστερη ημερομηνία για τις παρουσιάσεις είναι η Παρασκευή 9 Ιανουαρίου 2026. Όποιος έχει (ισχυρό) κώλυμα, παρακαλώ να μου στείλει email.

• Όποιος επιθυμεί να κάνει παρουσίαση, ας μου στείλει email με το θέμα που θα ήθελε να παρουσιάσει.

Περιγραφή Μαθήματος

Ένας χρήσιµος τρόπος να µελετήσουµε µια οµάδα είναι µέσω της κατανόησης των δράσεών της πάνω σε διανυσµατικούς χώρους, µετατρέποντας έτσι τη µελέτη της σε πρόβληµα γραµµικής άλγεβρας. Η προσέγγιση αυτή ονομάζεται θεωρία αναπαραστάσεων. Το μάθημα αποτελεί μια πρόσκληση στη θεωρία αναπαραστάσεων των πεπερασμένων ομάδων, με έμφαση στις αναπαραστάσεις της συμμετρικής ομάδας. Στην περίπτωση της συμμετρικής ομάδας, μέθοδοι συνδυαστικής μας επιτρέπουν να απαντήσουμε πλήρως σε πληθώρα βασικών ερωτημάτων που προκύπτουν. 

Περιεχόμενα Μαθήματος

• Βασικές έννοιες της θεωρίας αναπαραστάσεων πεπερασμένων ομάδων

  • Δράσεις ομάδων και αναπαραστάσεις

  • Θεώρημα Maschke και Λήμμα του Schur

  • Χαρακτήρες και σχέσεις ορθογωνιότητας

  • Επαγωγή και περιορισμός και ο νόμος αντιστροφής του Frobenius

• Θεωρία αναπαραστάσεων της συμμετρικής ομάδας

  • Στοιχεία αλγεβρικής συνδυαστικής, όπως διαμερίσεις ακεραίων και Young ταμπλώ

  • Πρότυπα Specht, Θεώρημα James και συνήθη Young ταμπλώ

  • Κανόνες διακλάδωσης, Κανόνας Pieri και Κανόνας Young

• Συμμετρικές συναρτήσεις

  • Γεννήτριες συναρτήσεις, τυπικές δυναμοσειρές και συμμετρικές συναρτήσεις

  • Συναρτήσεις Schur και ορίζουσες Jacobi–Trudi

  • Χαρακτηριστική απεικόνιση Frobenius

  • Κανόνας Pieri, Κανόνας Littlewood–Richardson και Τύπος Murnaghan–Nakayama 

• Στοιχεία απαριθμητικής συνδυαστικής (αν το επιτρέψει ο χρόνος)

  • Αλγόριθμος Robinson–Schensted–Knuth και Θεώρημα Schützenberger 

  • Τύπος Frame–Robinson–Thrall και θέματα απαρίθμησης ταμπλώ

Προαπαιτούμενα

Βασικές γνώσεις γραμμικής άλγεβρας όπως αυτές που παρουσιάζονται, για παράδειγμα, στα μαθήματα 112: Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα και 106: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Εξοικείωση με βασικές έννοιες της θεωρίας ομάδων όπως, για παράδειγμα, αυτές που παρουσιάζονται στο μάθημα 221: Άλγεβρα Ι θα είναι βοηθητική, αλλά δε θεωρείται δεδομένη. Δεν απαιτούνται γνώσεις συνδυαστικής θεωρίας. Οποιοσδήποτε φοιτητής με κάποια μαθηματική ωριμότητα και περιέργεια είναι ευπρόσδεκτος.

Συγγράμματα και άλλα

Οι παρακάτω προτάσεις είναι ενδεικτικές και προτείνονται ως οδηγός για τα θέματα που θα θίξουμε στο μάθημα. Σε περίπτωση που δεν έχετε πρόσβαση σε κάποιο από τα αναφερόμενα συγγράμματα και επιθυμείτε να αποκτήσετε, παρακαλώ επικοινωνήστε μαζί μου.

Το βασικό σύγγραμμα που θα ακολουθήσουμε είναι το

• Sagan - The Symmetric Group: Representations, Combinatorial Algorithms, and Symmetric Functions

Βιβλία για τη θεωρία αναπαραστάσεων και χαρακτήρων: 

• Webb - A Course in Finite Group Representation Theory 

• James και Liebeck - Representations and Characters of Groups

• Alperin και Bell - Groups and Representations

Βιβλία για τη θεωρία αναπαραστάσεων της συμμετρικής ομάδας:

• Fulton - Young tableaux, with Applications to Representation Theory and Geometry 

• Meliot  - Representation Theory of Symmetric Groups

• Ceccherini-Silberstein, Scarabotti και Tolli - Representation Theory of the Symmetric Groups, The Okounkov-Vershik Approach, Character Formulas, and Partition Algebras

Βιβλία και σημειώσεις για τη θεωρία των συμμετρικών συναρτήσεων και τη σύνδεση με τη θεωρία αναπαραστάσεων:

• Stanley - Enumerative Combinatorics, Volume 2 (Κεφάλαιο 7)

• Egge - An Introduction to Symmetric Functions and Their Combinatorics

• Grinberg και Reiner - Hopf algebras in combinatorics (Ενότητες 4 & 5)

Άλλα:

• Διάλεξη θεωρίας αναπαραστάσεων του Mateusz Michalek στα πλαίσια του μαθήματος Introduction to Nonlinear Algebra που δόθηκε το καλοκαίρι του 2018 στο Ινστιτούτο Max Planck για τα Μαθηματικά της Λειψίας.

• Διαλέξεις θεωρίας αναπαραστάσεων του (βραβευμένου με το μετάλλιο Fields) Richard E. Borcherds.

• Η ιστοσελίδα του Federico Ardila με βιντεοσκοπημένες διαλέξεις που καλύπτουν κάποια από τα πιο βασικά θέματα συνδυαστικής θεωρίας: matroids, πολύτοπα, ομάδες Coxeter, Hopf άλγεβρες και συνδυαστική, συνδυαστική μεταθετική άλγεβρα, απαριθμητική συνδυαστική.

• Άρθρο ανασκόπησης των Hélène Barcelo και Arun Ram που εξηγεί την "Συνδυαστική Θεωρία Αναπαραστάσεων".

Τρόπος Εξέτασης

Ο τελικός βαθμός του μαθήματος θα προκύψει από τον συνδυασμό της επίδοσης στα φυλλάδια ασκήσεων (βλ. παρακάτω) και στην τελική εξέταση. Εναλλακτικά, όποιος το επιθυμεί μπορεί να αντικαταστήσει την τελική εξέταση με μια ~20λεπτη παρουσίαση σε θέμα συναφές με το περιεχόμενο του μαθήματος. Προτείνεται η δεύτερη επιλογή. Σε κάθε περίπτωση, τη μεγαλύτερη βαρύτητα έχει η επίδοση στα φυλλάδια ασκήσεων. Όποιος δεν επιθυμεί να αξιολογηθεί μέσω των φυλλαδίων ή της παρουσίασης, μπορεί απλώς να λάβει μέρος στην τελική γραπτή εξέταση.

Παρουσίαση

Στόχος είναι να παρουσιάσετε ένα θέμα σχετικό με το περιεχόμενο του μαθήματος, δείχνοντας ότι έχετε κατανοήσει τα βασικά κίνητρα, τις έννοιες και τα κύρια αποτελέσματα. Εστιάστε στη λογική συνοχή και τη σαφήνεια. Η προσπάθεια μετρά περισσότερο από την τεχνική πληρότητα. Δεν είναι απαραίτητη η παράδοση γραπτής εργασίας ή σημειώσεων.  

Ακολουθεί μια λίστα με θέματα παρουσιάσεων υπό συνεχή ανανέωση (αν κάποιος επιθυμεί να παρουσιάσει ένα θεμά σχετικό με το μάθημα που δεν αναγράφεται παρακάτω είναι ευπρόσδεκτος να το κάνει):

1. Cyclic sieving phenomenon

   • Μια σύντομη περιγραφή του φαινόμενου cyclic sieving, πως σχετίζεται με την Θεωρία Αναπαραστάσεων και η απόδειξη του Θεωρήματος 2.1 στην παρακάτω αναφορά.

   • Sagan - The cyclic sieving phenomenon: a survey (Παράγραφοι 1-4)

   • Sagan - Combinatorics: The art of counting (Παράγραφος 6.6)

2. Θεώρημα του Polya

   • Διατύπωση και απόδειξη του Θεωρήματος 7.7 και παρουσίαση του Παραδείγματος 7.9 και του Θεωρήματος 7.10 στην παρακάτω αναφορά

   • Stanley - Algebraic Combinatorics: Walks, Trees, Tableaux, and More

3. Δράσεις ομάδων σε μερικές διατάξεις

   • Παρουσίαση της Παραγράφου 5.3 στην παρακάτω αναφορά

   • Sagan - The Symmetric Group: Representations, Combinatorial Algorithms, and Symmetric Functions (Παράγραφος 5.3)

4. Το pq-Θεώρημα του Burnside

   • Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το pq-Θεώρημα του Burnside (προϋποθέτει γνώσεις θεωρίας ομάδων)

   • James και Liebeck - Representations and Characters of Groups (Ενότητα 31)

   • Dummit και Foote - Abstract Algebra (Ενότητα 19.2)

   • Webb - A Course in Finite Group Representation Theory (Ενότητα 3.7)

5. Πίνακας χαρακτήρων της εναλλάσσουσας ομάδας

   • Αναλυτικός υπολογισμός του πίνακα χαρακτήρων της εναλλάσσουσας υποομάδας της συμμετρικής ομάδας για n=4 και n=5, όπως για παράδειγμα παρουσιάζεται στην παρακάτω αναφορά

   • James και Liebeck - Representations and Characters of Groups (Ενότητα 18.2 & Παράδειγμα 20.14)

6. Αντιστοιχία Robinson–Schensted

   • Περιγραφή της αντιστοιχίας Robinson–Schensted, παραδείγματα, απόδειξη του 1-1 και επί και πως σχετίζεται με την Θεωρία Αναπαραστάσεων

   • Αθανασιάδης - Αλγεβρική και Απαριθμητική συνδυαστική (Παράγραφος 3.3)

7. Τύπος διάστασης της S_n (χωρίς την αντιστοιχία Robinson–Schensted)

   • Παρουσίαση της απόδειξης του Θεωρήματος 5.1.8 της παρακάτω αναφοράς

   • Sagan - The Symmetric Group: Representations, Combinatorial Algorithms, and Symmetric Functions (Θεώρημα 5.1.8)

8. Hook length formula

   • Παρουσίαση μιας (εκ των πολλών) αποδείξεων του τύπου hook length και πως σχετίζεται με την με την Θεωρία Αναπαραστάσεων 

   • Αθανασιάδης - Αλγεβρική και Απαριθμητική συνδυαστική (Παράγραφος 3.2)

9. Χρωματικές συμμετρικές συναρτήσεις

   • Παρουσίαση της Παραγράφου 5.5 στην παρακάτω αναφορά

   • Sagan - The Symmetric Group: Representations, Combinatorial Algorithms, and Symmetric Functions

10. Εκτιμήσεις συμμετρικών συναρτήσεων

    • Παρουσίαση της Πρότασης 7.8.3 με απόδειξη της παρακάτω αναφοράς (εκτός από την περίπτωση των μονωνυμικών συμμετρικών συναρτήσεων)

    • Stanley - Enumerative Combinatorics, Volume 2

11. Πολυώνυμα του Euler και εκθετικές γεννήτριες συναρτήσεις

    • Παρουσίαση της Ενότητας 2.2.3 (χωρίς το Πόρισμα 2.2.1) και της Ενότητας 2.2.4 στην παρακάτω αναφορά

    • Αθανασιάδης - Αλγεβρική και Απαριθμητική συνδυαστική

    • Καθώς και παρουσίαση του ορισμού της εκθετικής γεννήτριας συνάρτησης και βασικών παραδειγμάτων και του Θεωρήματος 4.2.5 στην παρακάτω αναφορά

    • Sagan - Combinatorics: The art of counting

Φυλλάδια Ασκήσεων

θα δίνονται φυλλάδια ασκήσεων κάθε δύο (ενδεχομένως και τρεις) εβδομάδες. Η προθεσμία παράδοσης κάθε σετ είναι μέχρι την ημερομηνία που θα ανακοινώνεται το επόμενο. Η παράδοση θα γίνεται ιδανικά σε pdf μορφή γραμμένη σε LaTeX (γι αυτό μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το εξής template, γράφοντας για παράδειγμα στο overleaf.com), διαφορετικά με ευκρινή φωτογραφία των λύσεων στο email με τίτλο: Ονοματεπώνυμο-Φυλλάδιο Ασκήσεων XX, όπου XX είναι ο αριθμός του αντίστοιχου σετ.

• Φυλλάδιο Ασκήσεων 1 (προθεσμία: 24/10/2025)

• Φυλλάδιο Ασκήσεων 2 (προθεσμία: 13/11/2025)

• Φυλλάδιο Ασκήσεων 3 (προθεσμία: 27/11/2025) (νέα προθεσμία: 02/12/2025)

• Φυλλάδιο Ασκήσεων 4 (προθεσμία: 16/12/2025)

• Φυλλάδιο Ασκήσεων 5 (θα αναρτηθεί: 16/12/2025)

Διαλέξεις

1. Τρίτη, 30 Σεπτεμβρίου • 15:00-17:00 • Α214 • Πρώτη Διάλεξη • σημειώσεις

   • ομάδα, ομάδα συμμετρίας, συμμετρική ομάδα, δράση, τροχιά, αριστερό σύμπλοκο, κλάση συζυγίας, αναπαράσταση, διάσταση αναπαράστασης, αναπαράσταση μεταθέσεων

Τετάρτη, 1 Οκτωβρίου • 15:00-17:00 • Α208 

1. • επανάληψη (αντί ασκήσεων)

2. Πέμπτη, 2 Οκτωβρίου • 15:00-17:00 • Α214 • σημειώσεις

   • τετριμμένη αναπαράσταση, κανονική αναπαράσταση, αναπαράσταση συμπλόκου, αναπαράσταση προσήμου, αναπαράσταση καθορισμού, πίνακες μετάθεσης, υποαναπαράσταση, ανάγωγη και αναγωγική υποαναπαράσταση

3. Τρίτη, 7 Οκτωβρίου • 15:00-17:00 • Α214 • σημειώσεις

   • αναλλοίωτο εσωτερικό γινόμενο, ορθογώνιο συμπλήρωμα, πλήρως αναγωγική αναπαράσταση

   • Θεώρημα του Maschke

4. Τετάρτη 8 Οκτωβρίου • 15:00-17:00 • Α208 • σημειώσεις

   • παράσταση ομάδας, διδερική ομάδα D_2n, κυκλική ομάδα C_n, 4-ομάδα του Klein V_4

   • παραδείγματα δράσεων (και αναπαραστάσεων) των εξής ομάδων: C_3, V_4, D_6 (ή S_3) και D_8

5. Πέμπτη 9 Οκτωβρίου • 15:00-17:00 • Α214 • σημειώσεις

   • ομομορφισμός αναπαραστάσεων, πυρήνας, εικόνα, ισοτυπική διάσπαση

   • Λήμμα του Schur

   • ανάγωγες αναπαραστάσεις μιας αβελιανής ομάδας

   • μοναδικότητα ισοτυπικής διάσπασης ως προς ισομορφισμό

6. Δευτέρα 13 Οκτωβρίου • 15:00-17:00 • Ε204 • σημειώσεις

   • ισοτυπική διάσπαση της κανονικής αναπαράστασης

   • τύπος διάστασης

   • χαρακτήρας, στατιστική μεταθέσεων

7. Τρίτη 14 Οκτωβρίου • 15:00-17:00 • Α214 • σημειώσεις

   • συνάρτηση κλάσης, πίνακας χαρακτήρων, τανυστικό γινόμενο

   • πίνακας χαρακτήρων της C_4

8. Τετάρτη 15 Οκτωβρίου • 11:00-13:00 • Α214 • σημειώσεις

   • δράση συζυγίας, κλάση συζυγίας, κεντρικοποιητής, εξίσωση κλάσης

   • κλάσεις συζυγίας της S_3 και της D_8

   • πίνακας χαρακτήρων της D_8

9. Τετάρτη 22 Οκτωβρίου • 13:00-15:00 • Α208 • σημειώσεις

   • ευθύ άθροισμα, τανυστικό γινόμενο, δυϊκός χώρος και γραμμικές απεικονίσεις μεταξύ δυο αναπαραστάσεων

10. Πέμπτη 23 Οκτωβρίου • 15:00-17:00 • Α214 • σημειώσεις

    • συνήθης αναπαράσταση της συμμετρικής ομάδας

    • εσωτερικό γινόμενο στον χώρο των συναρτήσεων κλάσης

    • σχέσεις ορθογωνιότητας χαρακτήρων Ι

11. Παρασκευή 24 Οκτωβρίου • 13:00-15:00 • Α212 • σημειώσεις

    • πίνακας χαρακτήρων της S_4

    • αριθμοί Bell, αριθμοί Stirling δεύτερου είδους

Τρίτη 28 Οκτωβρίου • 15:00-17:00 • Α214 • εορτασμός 28ης Οκτωβρίου 

12. Τετάρτη 29 Οκτωβρίου • 11:00-13:00 • Α214 • σημειώσεις

    • πίνακας χαρακτήρων της S_5

13. Πέμπτη 30 Οκτωβρίου • 15:00-17:00 • Α214 • σημειώσεις

    • οι ανάγωγοι χαρακτήρες αποτελούν ορθοκανονική βάση του χώρου των συναρτήσεων κλάσης

    • σχέσεις ορθογωνιότητας χαρακτήρων ΙΙ

14. Τρίτη 4 Νοεμβρίου • 15:00-17:00 • Α214 • σημειώσεις

    • περιορισμός, επαγωγή

    • νόμος αντιστροφής Frobenius

15. Τετάρτη 5 Νοεμβρίου • 11:00-13:00 • Α214

    • Λύσεις των ασκήσεων του πρώτου φυλλάδιου ασκήσεων

Πέμπτη 13 Νοεμβρίου • 15:00-17:00 • Α214 • κατάληψη

Τρίτη 11 Νοεμβρίου • 15:00-17:00 • Α214 • εορτασμός Αγίου Μηνά

16. Πέμπτη 13 Νοεμβρίου • 15:00-17:00 • Α214 • σημειώσεις

    • κύκλοι, αντιμεταθέσεις, πρόσημο μετάθεσης, κυκλική μορφή, κυκλικός τύπος, διαμέριση ακεραίου

17. Τρίτη 18 Νοεμβρίου • 15:00-17:00 • Α214 • σημειώσεις

    • διάγραμμα Young, συζυγής διαμέριση, μερική διάταξη, διάταξη Young, διάταξη Boole, συνθέσεις 

    • υποομάδα Young, Young ταμπλώ, ταμπλοειδές, πρότυπο Young

18. Τετάρτη 19 Νοεμβρίου • 11:00-13:00 • Α214 • σημειώσεις

    • πολυταμπλοειδές, πρότυπο Specht

19. Πέμπτη 20 Νοεμβρίου • 15:00-17:00 • Α214 • σημειώσεις

    • Θεώρημα υποπροτύπου James

20. Τρίτη 25 Νοεμβρίου • 15:00-17:00 • Α214 • σημειώσεις

    • μερική διάταξη κυριαρχίας, ισοτυπική διάσπαση του προτύπου Young

21. Τετάρτη 26 Νοεμβρίου • 11:00-13:00 • Α214 • σημειώσεις

    • συνήθη Young ταμπλώ, θεώρημα βάσης, μερική διάταξη στα ταμπλειδή

    • αντιστοιχία Robinson–Schensted, hook length formula (Τύπος Frame–Robinson–Thrall)

22. Πέμπτη 27 Νοεμβρίου • 15:00-17:00 • Α214 • σημειώσεις

    • Κανόνες διακλάδωσης

23. Τρίτη 2 Δεκεμβρίου • 15:00-17:00 • Α214 • σημειώσεις

    • γεννήτριες συναρτήσεις, τυπικές δυναμοσειρές, συμμετρικές συναρτήσεις, μονωνυμικές συμμετρικές συναρτήσεις

24. Τετάρτη 3 Δεκεμβρίου • 11:00-13:00 • Α214

    • Λύσεις των ασκήσεων του δεύτερου φυλλάδιου ασκήσεων

25. Πέμπτη 4 Δεκεμβρίου • 15:00-17:00 • Α214 • σημειώσεις

    • άλγεβρα των συμμετρικών συναρτήσεων, στοιχειώδης, πλήρως ομογενής και power sum συμμετρική συνάρτηση

    • θεμελιώδες θεώρημα συμμετρικών συναρτήσεων

26. Τρίτη 9 Δεκεμβρίου • 15:00-17:00 • Α214

    • ημισυνήθη Young ταμπλώ, αριθμοί Kostka, κανόνας Young, συναρτήσεις Schur

27. Τετάρτη 10 Δεκεμβρίου • 11:00-13:00 • Α214

    • Λύσεις των ασκήσεων του τρίτου φυλλάδιου ασκήσεων

28. Πέμπτη 11 Δεκεμβρίου • 15:00-17:00 • Α214

    • θεωρία

29. Τρίτη 16 Δεκεμβρίου • 15:00-17:00 • Α214

    • θεωρία

30. Τετάρτη 17 Δεκεμβρίου • 11:00-13:00 • Α214

    • Λύσεις των ασκήσεων του τέταρτου φυλλάδιου ασκήσεων

31. Πέμπτη 18 Δεκεμβρίου • 15:00-17:00 • Α214 • Τελευταία Διάλεξη

    • θεωρία