Perpangkatan dan Bentuk Akar
A. Perpangkatan (Eksponen)
1. Pengertian Perpangkatan
Perpangkatan merupakan bentuk perkalian berulang suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri sebanyak n kali. Perpangkatan dituliskan sebagai aⁿ, dengan a disebut basis (bilangan pokok) dan n disebut pangkat (eksponen).
an = a × a × a × ... × a (sebanyak n faktor), untuk n bilangan bulat positif.
Contoh:
24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
(−3)3 = (−3) × (−3) × (−3) = −27
2. Sifat-Sifat Operasi Perpangkatan
Untuk a, b bilangan real dan m, n bilangan bulat, berlaku sifat-sifat berikut:
Sifat
Bentuk Umum
Contoh
Perkalian pangkat sejenis
an × am = an+m
23 × 22 = 25 = 32
Pembagian pangkat sejenis (a ≠ 0)
an ÷ am = an−m
35 ÷ 32 = 33 = 27
Pangkat dari pangkat
(an)m = an×m
(22)3 = 26 = 64
Pangkat dari perkalian
(a × b)n = an × bn
(2 × 3)2 = 22 × 32 = 36
Pangkat dari pembagian (b ≠ 0)
(a ÷ b)n = an ÷ bn
(4 ÷ 2)3 = 43 ÷ 23 = 8
Pangkat nol (a ≠ 0)
a0 = 1
50 = 1
Pangkat negatif (a ≠ 0)
a−n = 1 ÷ an
2−3 = 1 ÷ 23 = 1/8
3. Pangkat Nol dan Pangkat Negatif
Perhatikan pola bilangan berpangkat berikut, ketika pangkatnya berkurang satu, nilainya dibagi oleh basisnya:
24 = 16 , 23 = 8 , 22 = 4 , 21 = 2 , 20 = 1 , 2−1 = 1/2 , 2−2 = 1/4
Berdasarkan pola tersebut, diperoleh aturan umum:
a0 = 1, untuk a ≠ 0
a−n = 1 ÷ an , untuk a ≠ 0
Bilangan berpangkat negatif bukan berarti bilangan tersebut bernilai negatif, melainkan menunjukkan bentuk pecahan (kebalikan) dari bilangan berpangkat positifnya.
B. Bentuk Akar
1. Pengertian Bentuk Akar
Bentuk akar (radikal) merupakan kebalikan (invers) dari operasi perpangkatan. Akar pangkat n dari suatu bilangan a, dituliskan ⁿ√a, adalah bilangan b sedemikian sehingga bⁿ = a.
Istilah pada bentuk akar: tanda akar (√), radikan (bilangan di dalam tanda akar), dan indeks akar (pangkat akar; untuk akar kuadrat, indeks 2 biasanya tidak dituliskan).
Contoh:
√25 = 5, karena 52 = 25
3√27 = 3, karena 33 = 27
2. Menyederhanakan Bentuk Akar
Bentuk akar disederhanakan dengan mencari faktor bilangan kuadrat sempurna (untuk akar kuadrat) terbesar dari radikan, kemudian memisahkan akarnya.
Langkah-langkah:
1. Faktorkan radikan menjadi perkalian dua faktor, salah satunya adalah bilangan kuadrat sempurna terbesar yang mungkin.
2. Pisahkan akar dari kedua faktor tersebut.
3. Sederhanakan akar dari bilangan kuadrat sempurna.
Contoh:
√72 = √(36 × 2) = √36 × √2 = 6√2
3. Operasi Hitung Bentuk Akar
● Penjumlahan/Pengurangan bentuk akar sejenis (radikan dan indeks sama): a√c ± b√c = (a ± b)√c.
Contoh: 3√2 + 5√2 = 8√2
● Perkalian bentuk akar: √a × √b = √(a × b).
Contoh: √3 × √12 = √36 = 6
● Pembagian bentuk akar (b ≠ 0): √a ÷ √b = √(a ÷ b).
Contoh: √50 ÷ √2 = √25 = 5
4. Merasionalkan Penyebut Pecahan Bentuk Akar
Merasionalkan penyebut adalah proses menghilangkan bentuk akar pada penyebut suatu pecahan, dengan cara mengalikan pembilang dan penyebut menggunakan bentuk akar itu sendiri (atau bentuk sekawannya).
Contoh sederhana:
1 ÷ √2 = (1 × √2) ÷ (√2 × √2) = √2 ÷ 2
Contoh dengan bentuk sekawan:
1 ÷ (2 + √3) = (2 − √3) ÷ [(2 + √3)(2 − √3)] = (2 − √3) ÷ (4 − 3) = 2 − √3
C. Hubungan Perpangkatan dan Bentuk Akar
Akar kuadrat suatu bilangan setara dengan bilangan tersebut dipangkatkan setengah, dan secara umum akar pangkat n dari a setara dengan a dipangkatkan 1/n. Hubungan inilah yang menjelaskan mengapa operasi akar disebut sebagai kebalikan (invers) dari operasi pangkat.
√a = a1/2 dan secara umum n√a = a1/n
Pemahaman mengenai hubungan perpangkatan dan bentuk akar ini sangat berguna dalam berbagai bidang, misalnya fisika (rumus periode getaran dan kecepatan gelombang), teknologi informasi (analisis kompleksitas algoritma), dan ekonomi (pertumbuhan atau peluruhan eksponensial).
Rangkuman
● Perpangkatan adalah perkalian berulang suatu bilangan; aⁿ = a × a × ... × a (n faktor).
● Sifat-sifat perpangkatan digunakan untuk mempermudah operasi perkalian, pembagian, dan pangkat dari pangkat.
● a⁰ = 1 (a≠0) dan a⁻ⁿ = 1/aⁿ (a≠0).
● Bentuk akar adalah kebalikan (invers) dari perpangkatan; ⁿ√a = b jika bⁿ = a.
● Bentuk akar dapat disederhanakan, dioperasikan (jumlah, kurang, kali, bagi), dan dirasionalkan penyebutnya.
● Akar dapat dinyatakan sebagai bentuk pangkat pecahan: ⁿ√a = a^(1/n).