Летняя школа по топологии – 2026

О школе

Механико-математический факультет МГУ и Московский центр фундаментальной и прикладной математики организуют летнюю студенческую школу по топологии. Школа будет проходить 8-11 июля 2026 года на мехмате МГУ. 

Большая часть времени будет уделена категории спектров, занимающей промежуточное положение между топологическими пространствами и градуированными абелевыми группами. Не забудем и про теорию мотивов. Планируется для закрепления материала обсудить небольшие циклы задач, которые будут заранее опубликованы на этом сайте. 

Предварительное согласие провести лекции выразили И. А. Тайманов, И. А. Панин, С. О. Горчинский, Ф. Е. Вылегжанин, В. Ю. Рождественский, Г. С. Черных, Ф. Ю. Попеленский. 

Большая часть лекций будет доступна студентам 3-4 курса.

В алгебраической топологии понятие спектра впервые ввел в 1958 г. Э. Л. Лима, ученик Э. Г. Спеньера. 

Имеется несколько причин, по которым спектры в топологии рано или поздно должны были появиться. Мы постепенно обсудим некоторые из них и начнем сегодня с очень простой.

Пусть h⁎(−) — приведенная теория гомологий, определенная для топологических пространств с отмеченной точкой. 

Какая именно? Любая, которую вы знаете. Можно понимать h⁎ как функтор из категории Top₊ (топологических пространств с отмеченной точкой) в категорию градуированных абелевых групп gr-Ab. 

В Top₊ имеется функтор надстройки ΣX = S¹∧X. 

Для приведенной теории гомологий h⁎ имеет место изоморфизм надстройки hₙ₊₁(ΣX) = hₙ(X). Посмотрим на него чуть более «концептуально».

В категории градуированных абелевых групп имеется аналог надстройки s : gr-Ab → gr-Ab. 

А именно, для A⁎ = ⊕ₙ Aₙ определим «надстройку» (sA)⁎ как (sA)⁎ = ⊕ₙ (sA)ₙ, где (sA)ₙ₊₁ = Aₙ. Как видно, (sA)⁎ состоит из тех же групп Aₙ, но со сдвинутой на 1 градуировкой. 

Тогда изоморфизм надстройки можно представить в виде 

h⁎ ∘ Σ = s ∘ h⁎

В чем же фокус?

Надстройки в Top₊ и в gr-Ab обладают заметно различающимися свойствами. Самое главное — надстройка s в gr-Ab обратима: для любой градуированной абелевой группы A⁎ имеется ее денадстройка — градуированная абелева группа B, для которой (sB)⁎ = A⁎. 

Для топологических пространств это далеко не так — не для всякого пространства существует денадстройка.

По всей видимости, должна существовать промежуточная категория S и функтор T : Top₊ → S:

(1) в S определена надстройка s, причем функтор T перестановочен с надстройками: T(ΣX) = sT(X);

(2) надстройка в S обратима;

(3) любая приведенная теория гомологий h⁎ пропускается через S, т.е. для любой h⁎ существует функтор ĥ⁎ : S → gr-Ab, такой что h⁎ = ĥ⁎ ∘ T.

Это должно напомнить вам один сюжет из алгебры: если рассматриваются гомоморфизмы данной группы G в какие-то абелевы группы, то в совершенно конкретном категорном смысле можно рассматривать гомоморфизмы абеленизации Gᵃᵇ = G/[G,G] в те же самые абелевы группы — в обоих случаях получатся эквивалентные результаты.

Кстати, вопрос: придумайте пример односвязного пространства X, для которого не существует Y и гомотопической эквивалентности ΣY = X.