teoría de probabilidades 2022
Departamento de Matemática
Exactas - UBA
Profesor: Pablo Groisman
Materia optativa para la Lic., Prof. y Doc en Cs. Matemáticas, Lic en Cs. de Datos y otras carreras.
Cuándo: segundo cuatrimestre 2022.
Inicio de clases: primera semana de clases.
Puntaje: 4 puntos/ horas.
Horario: Lunes y jueves de 17 a 20 hs, aula 1302 (0+inf)
Videos de las clases
Se van a ir subiendo acá. No están todas las clases. A veces tenemos problemas técnicos, a veces de otro tipo , a veces nos colgamos y a veces simplemente no pintó grabar. Pero hacemos acuse de recibo que mucha gente dice que le sirve mucho tener las clases grabadas.
No tengo posición tomada al respecto aún respecto de si es mejor clases grabadas o pizarrón y punto (u otras opciones), así que comentarios en ese sentido son super bienvenidos ya sea por mail o en espacio para comentarios de los propios videos.
Ojo con las clases grabadas que puede (suele) haber errores.
Varios
Modalidad: La materia se dictará en modo presencial, pero seguramente tendrá componentes virtuales sincrónicas y asincrónicas. El horario de arriba será reservado para las clases presenciales y/o sincrónicas. Los detalles los definiremos con las/os interesadas/os en cursar la materia.
Interesadas/os: Si estás interesada/o en la materia, por favor completá el formulario y unite al grupo de telegram. Ninguna de las dos implica una inscripción a la materia. Es sólo para que recibas la información relacionada a la misma.
Requisitos: probabilidad y estadística (M) y (análisis real o medida y probabilidad o análisis avanzado). Si estás interesada/o en la materia pero no cumplis los requisitos, completá el formulario contando tu situación.
Importante: La materia pasa en el aula y en el grupo de telegram. Si estás interesada/o en seguirla como regular o de oyente, es muy importante que te unas al grupo de telegram.
Introducción
El objetivo principal de este curso es dar una introducción rigurosa a la teoría de probabilidades. La herramienta principal para eso es la teoría de la medida, pero veremos que estudiar teoría de probabilidades de manera rigurosa va mucho más allá de enmarcar los objetos de estudio en el marco de la teoría de la medida.
¿Por qué probabilidad es distinto que teoría de la medida? La teoría de la medida está basada en la propiedad de la suma para medidas de conjuntos disjuntos. La teoría de probabilidades la enriquece agregando reglas para la multiplicación (a partir de la noción de independencia y/o probabilidad condicional). Pero lo que realmente la anima y hace vívidas a muchas cosas es el hecho de que lidiamos con un montón de σ-álgebras, no solamente la única σ-álgebra que esta fija durante todo el curso de teoría de la medida.
Como dijo alguien alguna vez: Hay que endurecerse sin perder la ternura jamás. En nuestro caso, eso significa que seremos rigurosos pero sin perder la intuición jamás. Y tal vez esta segunda parte sea la más importante de este curso. Profundizaremos el entrenamiento para "pensar probabilísticamente".
Como es de esperar, la parte más importante del curso son los ejercicios. Así que dedicaremos buena parte del tiempo a pensarlos y discutirlos.
Listas de problemas
Se irán agregando acá abajo.
10 problemas. Lista de 10 problemas de probabilidad. No son ejercicios, son problemas. Esto quiere decir que no son enunciados pensados para aplicar un saber determinado visto en clase. Son problemas que nos acompañaran a lo largo de la cursada. Algunos los resolveremos, otros se convertirán en ejercicios durante el transcurso de la cursada y otros continuarán siendo problemas (tal vez problemas resueltos, solo tal vez).
Práctica 1, probabilidad y teoría de la medida.
Práctica 2 , independecia de variables aleatorias, construcción de medidas, medida producto, ley 0-1 de Kolmogorov (y nada más ;-).
Práctica 3, paseos al azar y esperanza condicional.
Práctica 4, martingalas.
Práctica 5, cadenas de Markov.
Práctica 6, movimiento Browniano.
Programa
Medida y probabilidad: Construcción de medidas. Medida producto. Variables aleatorias e integración. Procesos estocásticos. Teorema de extensión de medidas de Kolmogorov.
Procesos estocásticos: Construcción de procesos a partir de las distribuciones finito-dimensionales. Filtraciones. Esperanza condicionadas a σ-álgebras. Martingalas. Desigualdades fundamentales. Teoremas de convergencia. Leyes 0-1.
Cadenas de Markov: Recurrencia y transitoriedad. Medidas invariantes. Convergencia al equilibrio. Problema del coleccionista de figuritas, urna de Ehrenfest, paseos al azar, colas, etc. Fórmula de Kac. Convergencia al equilibrio. Teorema ergódico. Simulación perfecta. MCMC.
Convergencia débil: Definición y equivalencias. Rigidez. Teorema de Prohorov. Teorema de Donsker. Movimiento Browniano. Teorema de Skorohod en R^k.
Bibliografía
R. Durrett. Probability: theory and examples. Second edition. Duxbury Press, Belmont, CA, 1996.
P.A. Ferrari, A. Galves. Construction of Stochastic Process, Coupling and Regeneration, 2001.
A.N.Shiryaev. Probability. Graduate Texts In Mathematics, Springer.
O. Kallenberg. Foundations of Modern Probability. Second edition. Probability and its Applications. Springer-Verlag, New York, 2002.
S.R.S. Varadhan. Probability Theory. Courant Lecture Notes No. 7 American Mathematical Society, Rhode Island, 2001.
J.R. Norris. Markov Chains. Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. Cambridge University Press, 1997.
L. Breiman. Probability. Addison-Wesley, 1968.
O. Häggström. Finite Markov Chains and Algorithmic Applications, Cambridge University Press, 2002.
G. Miermont. Advanced Probability. University of Cambridge.
D. Williams. Probability with martingales. Cambridge Mathematical Textbooks. Cambridge University Press, Cambridge, 1991.
P. Groisman. Abrazar el azar. Eudeba 2023 (por aparecer, copia preliminar a pedido).
Bibliografía complementaria
Thorisson, H. Coupling, stationarity, and regeneration. Probability and its applications (New York). New York: Springer-Verlag, 2000.
Olivieri, E., and Vares, M.E. Large deviations and metastability. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge: Cambridge University Press, 2005.
Dembo, A., and Zeitouni, O. Large deviations techniques and applications. 2nd edn. Applications of Mathematics (New York), vol. 38. New York: Springer-Verlag, 1998.
Billingsley, P. Convergence of probability measures. New York: John Wiley and Sons, 1968.
Billingsley, P. Probability and measure. Third edn. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics. New York: John Wiley & Sons Inc. A Wiley-Interscience Publication, 1995.
Feller, W. An introduction to probability theory and its applications, Volume I. 3rd edn. New York: Wiley, 1968.
Feller, W. An introduction to probability theory and its applications, Volume II. 2nd edn. New York: Wiley, 1971.