NEGATİF ÜS ALMA
Aşağıdaki görsele bakarak negatif üslü sayılara giriş yapalım.
Aşağıda 8 sayısı art arda 2’ye bölünerek bir sayı örüntüsü oluşturulmuştur. Oluşturulan örüntünün her terimini üslü sayı ile ifade edersek dikkat edilirse her adımda üs bir azalmıştır.
Yukarıdaki örüntüden de keşfettiğimiz şekilde:
# Payı 1 olan rasyonel sayılar, bir tam sayının negatif tam sayılı kuvveti şeklinde gösterilebilir.
# Sıfırdan farklı her tam sayının sıfırıncı kuvveti 1’e eşittir. 20 = 1 gibi
NEGATİF TAM SAYILARIN NEGATİF ÜSSÜNÜ BULMA
Aşağıda –8 (yani (–2)3) sayısı art arda –2’ye bölünerek bir sayı örüntüsü oluşturulmuştur. Oluşturulan örüntünün her terimini üslü sayı ile ifade edersek dikkat edilirse her adımda üs bir azalmıştır.
Yukarıdaki örüntüden de keşfettiğimiz şekilde:
# Negatif bir tam sayının çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri ise negatiftir.
(–2)3 = –8 (–2)2 = 4 gibi...
Genel olarak üslü bir tam sayının işareti:
# Tam sayı pozitif ise bütün kuvvetleri pozitif olur.
# Tam sayı negatif ise çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatif olur.
# Bir üslü ifade paydadan paya veya paydan paydaya alındığında kuvvetin işareti değişir.
Yukarıdaki örnekleri incelersek (–5)–2 paydaya alınınca (–5)2 olur. Benzer şekilde paydadaki 63 paya alınınca 6–3 olur.
RASYONEL SAYILARIN TEKRARLI ÇARPIMINI ÜSLÜ OLARAK YAZMA
Rasyonel sayıların kendileri ile tekrarlı çarpımı üslü şekilde yazılabilir. Sayı kaç kez çarpım olarak yazıldıysa üsse bu sayı yazılır.
ÖRNEK: 13.13.13.13 çarpımını üslü olarak gösterelim.
Aynı sayı 4 kere çarpım şeklinde yazıldığı için üslü olarak gösterimi 134 'tür.
ÖRNEK: -12.-12.-12 ifadesini üslü olarak gösterelim.
Aynı sayı 3 kere çarpım şeklinde yazıldığı için bu sayının üssüne 3 yazarız. -123olarak yazılır.
RASYONEL SAYILARIN KUVVETLERİNİ BULMA
# Rasyonel sayıların kuvvetleri hesaplanırken taban üsteki sayı kadar çarpım şeklinde yazılır ve daha sonra çarpma işlemi yapılır.
ÖRNEK: 142 sayısının değerini bulalım. Üste 2 olduğu için; 14.14=116 sonucu bulunur.
ÖRNEK: -32-3 ifadesinin değerini bulalım. Üsteki −3'ün +3 olması için pay ve payda yer değiştirir. Daha sonra kesrimizi 3 kere çarparız. -32-3=-233=-23.-23.-23=-827
ONDALIK KESİRLERİN TEKRARLI ÇARPIMINI ÜSLÜ OLARAK YAZMA
Ondalık kesirlerin kendileri ile tekrarlı çarpımı üslü şekilde yazılabilir. Sayı kaç kez çarpım olarak yazıldıysa üsse bu sayı yazılır.
ÖRNEK: (0,2) . (0,2) . (0,2) çarpımını üslü olarak gösterelim. 3 tane 0,2 çarpım şeklinde yazıldığı için üslü olarak gösterimi (0,2)3 'tür.
ÖRNEK: (1,5) . (1,5) . (1,5) . (1,5) ifadesini üslü olarak gösterelim. 1,5 sayısı 4 kere kendisi ile çarpıldığı için (1,5) . (1,5) . (1,5) . (1,5) = (1,5)4 olarak yazılır.
ONDALIK KESİRLERİN KUVVETLERİNİ BULMA
# Ondalık kesirlerin kuvvetleri hesaplanırken rasyonel sayıya çevrilerek bulunabilir.
ÖRNEK: (0,2)3 sayısının değerini bulalım. 2 farklı yolla bulabiliriz. 1. yol olarak ondalık gösterimlerle çarpma işlemini kullanabiliriz. Buna göre: 0,2 . 0,2 . 0,2 = 0,008 cevabına ulaşırız. 2. yol olarak da bu sayıları rasyonel sayı olarak yazıp işlem yaparız. Buna göre: 210.210.210=81000
ÖRNEK: (0,1)3 ifadesinin değerini bulalım. 0,13=110.110.110=11000
ÖRNEK: (0,3)−3 ifadesinin değerini bulalım. 0,3-3=310-3=1033=103.103.103=100027
SAYILARIN ONDALIK GÖSTERİMLERİNİ 10'UN KUVVETLERİNİ
KULLANARAK ÇÖZÜMLEME
Çözümleme yaparken her rakamı, bulunduğu basamağın basamak değeri ile çarpıp topluyoruz. Bu yüzden basamak isimlerini ve bu basamakların 10'un kaçıncı kuvveti olduğunu bilmemiz gerekir.
Öncelikle basamak isimlerini hatırlayalım.
Çözümleme yaparken her bir rakamı bulunduğu basamağın değeriyle çarpacağız ve bunları toplayacağız. Basamak değerlerini farklı şekillerde gösterebiliriz. Bu konumuzda 10'un kuvvetlerini kullanacağız. Yüzler basamağı 102 Onlar basamağı 101 Birler basamağı 100 Onda birler basamağı 10−1 Yüzde birler basamağı 10−2 Binde birler basamağı 10−3
ÖRNEK: 35,02 sayısının çözümlemesi 35,02 = 3.10a + 5.10b + 2.10c ise (c + a)b kaçtır?
ÇÖZÜM: 3 rakamı onlar basamağında olduğu için ve 10 sayısı 10'un 1. kuvveti olduğundan a = 1 5 rakamı birler basamağında olduğu için ve 1 sayısı 10'un 0. kuvveti olduğundan b = 0 2 rakamı yüzde birler basamağında olduğu için ve 1/100 sayısı 10'un −2. kuvveti olduğu için c = −2 Sonuç olarak (c + a)b = (−2 + 1)0 = (−1)0 = 1
ÜSLÜ SAYININ ÜSSÜ
# Üslü bir sayının üssü alınırken üsler çarpılır.
# axy = ax.y
ÖRNEK: Aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulalım.
232=23.2=26=640,7-12=0,7-1.2=0,7-2=710-2=1072=10049
ÜSLÜ SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİ NASIL YAPILIR?
Üslü ifadelerle çarpma işlemi ile ilgili 2 kural öğreneceğiz.
# Tabanları aynı olan üslü sayılarla çarpma işlemi yapılırken üsler toplamı, ortak tabana üs olarak yazılır. # ax.ay= ax+y
ÖRNEK: Aşağıdaki işlemleri inceleyelim.
22.25=22+5=2734.3-7=34+(-7)=3-3-25.-24=-29
# Üsleri aynı olan üslü sayılarla çarpma işlemi yapılırken tabanlar çarpılır, ortak üsse taban olarak yazılır.
# ax.bx= a.bx
ÖRNEK: Aşağıdaki işlemleri inceleyelim. 22.32=2.32=626-2.3-2=6.3-2=18-2-25.25=-2.25=-45
# Hem tabanlar hem üsler aynı ise yukarıdaki işlemlerden herhangi biri yapılabilir.
ÜSLÜ SAYILARDA BÖLME İŞLEMİ NASIL YAPILIR?
Üslü ifadelerle bölme işlemi ile ilgili 2 kural öğreneceğiz.
# Tabanları aynı olan üslü sayılarla bölme işlemi yapılırken bölünen sayının üssünden bölen sayının üssü çıkartılır, ortak tabana üs olarak yazılır.
# axay= ax-y
ÖRNEK: Aşağıdaki işlemleri inceleyelim.
25:22=25-2=2334:3-7=34-(-7)=34+7=311-2-5-23=-2-5-3=-2-8
# Üsleri aynı olan üslü sayılarla bölme yapılırken tabanlar bölünür, ortak üsse taban olarak yazılır. # axbx= abx
ÖRNEK: Aşağıdaki işlemleri inceleyelim yukarıdaki işlemlerden herhangi biri . 125:35=12:35=453-26-2=36-2=12-2=212=4 # Hem tabanlar hem üsler aynı ise yapılabilir.
TABANLARI VE ÜSLERİ FARKLI ÜSLÜ SAYILARLA ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMİ
# Hem tabanları, hem de üsleri farklı üslü sayılarla çarpma ve bölme işlemi yapmak için tabanlar veya üsler eşitlenir. Bunu birkaç örnekle açıklayalım.
ÖRNEK: 25.43 işleminin sonucunu ,üslü sayı olarak bulalım. Bu işlemde tabanlar eşitlenebilir çünkü 4, 2'nin kuvvetidir. 25.43=25.223=25.26=211
ÖRNEK: 27235 işleminin sonucunu bulalım. Bu işlemde tabanlar eşitlenebilir çünkü 27, 3'ün kuvvetidir. 27235=(33)235=3635=36-5=31
ÖRNEK: 26.931252 işleminin sonucunu bulalım. Bu işlemde üsler eşitlenebilir. 26.931252=26.323532=26.3656=2.356=1,26
8. Sınıf Bilimsel Gösterim Konu Anlatımı
Günlük hayatta çok karşılaşmadığımız, fakat astronomide, kimyada, fizikte, biyolojide kullanılan bazı sayıları, üslü sayıları kullanmadan yazmak çok zordur. Bu yüzden bu sayıları yazmak için sayıların bilimsel gösteriminden faydalanacağız.
ÇOK BÜYÜK SAYILAR
10<3 , 10<4 ve 10<5 sayılarının sonuçlarını bulalım.
Çözüm:
103=10.10.103 adet 10=10003 adet 0103=10.10.10⏟3 adet 10=1000⏟3 adet 0
104=10.10.10.104 adet 10=100004 adet 0104=10.10.10.10⏟4 adet 10=10000⏟4 adet 0
105=10.10.10.10.105 adet 10=1000005 adet 0105=10.10.10.10.10⏟5 adet 10=100000⏟5 adet 0
10n=10.10.10.10...10n adet 10=100000...0n adet 010n=10.10.10.10...10⏟n adet 10=100000...0⏟n adet 0
Çok Büyük Pozitif Sayıların Bilimsel Gösterimi:
n ∈ Z+ ve 1 ≤ |a| < 10 olmak üzere,
a.10n şeklindeki gösterime çok büyük pozitif sayıların bilimsel gösterimi denir.
300 000 000 000 sayısını bilimsel şekilde yazalım.
Çözüm:
n ∈ Z+ ve 1 ≤ |a| < 10 olmak üzere,
a.10n şeklindeki gösterime çok büyük pozitif sayıların bilimsel gösterimi dendiği için verilen sayıyı buna uygun şekilde gösterelim.
Bu durumda Verilen sayının bilimsel gösterimi 3 x 1011 olur.
Dünyamızın 5 972 200 000 000 000 000 000 ton olan kütlesini bilimsel şekilde yazalım.
Çözüm:
Bu durumda dünyamızın kütlesinin bilimsel gösterimi 5,9722 x 1021 ton olur.
ÇOK KÜÇÜK SAYILAR
10-3 , 10-4 , 10-5 ve 10-6 sayılarının sonuçlarını bulalım.
Çözüm:
10−3=1103=11000=0,0013 basamak10−3=1103=11000=0,001⏞3 basamak
10−4=1104=110000=0,00014 basamak10−4=1104=110000=0,0001⏞4 basamak
10−5=1105=1100000=0,000015 basamak10−5=1105=1100000=0,00001⏞5 basamak
10−6=1106=11000000=0,0000016 basamak10−6=1106=11000000=0,000001⏞6 basamak
10−n=0,000...01n basamak10−n=0,000...01⏞n basamak
Çok Küçük Pozitif Sayıların Bilimsel Gösterimi:
n ∈ Z+ ve 1 ≤ |a| < 10 olmak üzere,
a.10-n şeklindeki gösterime çok küçük pozitif sayıların bilimsel gösterimi denir.
0,000000000003 sayısını bilimsel şekilde yazalım.
Çözüm:
n ∈ Z+ ve 1 ≤ |a| < 10 olmak üzere,
a.10-n şeklindeki gösterime çok küçük pozitif sayıların bilimsel gösterimi dendiği için verilen sayıyı buna uygun şekle getirelim.
Bu durumda verilen sayının bilimsel gösterimi 3 x 10-12 olmuş olur.
200 000 x 50 000 ifadesinin bilimsel gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1 x 10<10 B) 5 x 10<10 C) 2 x 10<11 D) 1 x 10<12
Erişkin bir insanda kaç adet alyuvar hücresi var dersiniz? Yaklaşık olarak 20 trilyon...
Her hücrenin içine de 280 milyon oksijen molekülü bağlayan hemoglobin molekülü yerleştirilmiştir. İnsan vücudundaki toplam hemoglobin molekülü çok fazladır. (25 trilyon x 280 milyon). Buna göre;
b. İnsan vücudundaki toplam hemoglobin molekülü sayısının bilimsel gösterimini bulalım.
Çözüm:
25 000 000 000 000 = 25 x 10<12 ve
280 000 000 000 = 28 x 10<10 dur.
Öyleyse istenen durum,
(25 x 1012) x (28 x 1010) = 25 x 28 x 1012+10
= 700 x 10<22
= 7 x 10<24 olur.