BİR DOĞAL SAYININ ÇARPANLARI (BÖLENLERİ)

Her doğal sayı iki doğal sayının çarpımı olarak yazılabilir. Bu doğal sayılara o sayının çarpanı denir. Bu çarpanlar aynı zamanda o sayıyı kalansız böldüğü için çarpanlara aynı zamanda bölenidir de diyebiliriz.

ÖRNEK: 24 sayısının çarpanlarını (kalansız bölenlerini) bulalım.

24'ü iki sayının çarpımı şeklinde yazalım.

Aşağıdaki gibi sonuçlar elde ederiz.

24 = 1 x 24

24 = 2 x 12

24 = 3 x 8

24 = 4 x 6

Buna göre yukarıda yazdığımız sayılar 24'ün çarpanlarıdır.

24'ün Çarpanları = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Bu çarpanlar aynı zamanda 24'ü kalansız böler.

24'ün Kalansız Bölenleri = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

ÖRNEK: 60 sayısının çarpanlarını bulalım.

60'ı iki sayının çarpımı şeklinde yazarsak aşağıdaki sonuçları elde ederiz.

60 = 1 x 60

60 = 2 x 30

60 = 3 x 20

60 = 4 x 15

60 = 5 x 12

60 = 6 x 10

60'ın Çarpanları (Bölenleri) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60'tır.

ASAL SAYILAR

Pozitif çarpanları (bölenleri) sadece 1 ve kendisi olan 1'den büyük sayılara asal sayılar denir. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, ... sayıları birer asal sayıdır.

ÖRNEK: 91 asal sayı mıdır? 91'in çarpanlarını bulalım.

91 = 1 x 91

91 = 7 x 13

Görüldüğü gibi 91 sayısının çarpanları arasında 1 ve kendisinden başka sayılar da vardır. Bu yüzden 91 sayısı asal sayı değildir.

ASAL SAYILAR İLE İLGİLİ BİLGİLER

# 1 asal sayı değildir.

# 2 en küçük asal sayıdır.

# 2'den başka çift asal sayı yoktur. (Çünkü hepsi 2'ye de bölünür.)

ASAL ÇARPANLAR

Bir sayının çarpanlarından asal olanlarına bu sayının asal çarpanları denir.

ÖRNEK: 75 sayısının asal çarpanlarını bulalım.

75 sayısının tüm çarpanlarını yukarıda öğrendiğimiz yöntemle 1, 3, 5, 15, 25, 75 olarak buluruz. Bu çarpanlar arasında asal sayı olanlar 3 ve 5 olduğu için 75'in asal çarpanları 3 ve 5'tir.

# Sayıların asal çarpanlarını bulmayı ve bir sayıyı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazmayı aşağıdaki iki yöntemle yapabiliriz.

1) ÇARPAN AĞACI

Çarpan ağacı nedir, nasıl yapılır görelim. Bir sayıyı iki sayının çarpımı şeklinde yazarız (en küçük asal sayıdan başlayabiliriz). Daha sonra bulduğumuz sayıları asal sayı olana kadar bu işleme devam ederiz. Oluşan dalların uçlarındaki sayılar sayımızın asal çarpanlarıdır.

NOT: Çarpan ağacında dalların uçlarındaki asal sayıların çarpımı, çarpanlarına ayırdığımız sayıyı verir. Bir sayıyı bu şekilde yazarsak asal çarpanlarının tabanlarda bulunduğu üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazmış oluruz.

ÖRNEK: 36 sayısını çarpan ağacı kullanarak asal çarpanlarına ayıralım.

36 sayısının çarpanları : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36'dır.

Bunu bir sayının çarpanları konumuzda öğrenmiştik. Bu sayılardan asal sayı olanları asal çarpanlarımızdır.

36 sayısının asal çarpanları: 2 ve 3'tür.

Şimdi bunu çarpan ağacı ile bulalım: 36 sayısının asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılmış hali 36 = 22 . 32 'dir.

ÖRNEK: 60 sayısını çarpan ağacı kullanarak asal çarpanlarına ayıralım.

60 sayısının çarpanları : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60'tır.

60 sayısının asal çarpanları: 2, 3 ve 5'tir.

Şimdi bunu çarpan ağacı ile bulalım:

60 sayısının asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılmış hali 60 = 22 . 3 . 5 'tir.

2) BÖLEN LİSTESİ

(Asal Çarpanlar Algoritması) Bölen listesi nedir, nasıl yapılır görelim. Sayımızın yanına dikey bir çizgi çekeriz ve en küçük asal sayıdan başlayarak ve tam bölünmediğinde bir sonraki asal sayıya geçerek bölme işlemi yaparız. 1'i elde edince işlemimiz sona erer. Çizginin sağında kalan sayılar sayımızın asal çarpanlarıdır.

NOT: Bölen listesinde çizginin sağındaki asal sayıların çarpımı, çarpanlarına ayırdığımız sayıyı verir. Bir sayıyı bu şekilde yazarsak asal çarpanlarının tabanlarda bulunduğu üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazmış oluruz.

ÖRNEK: 36 sayısını bölen listesi ile asal çarpanlarına ayıralım.

36 sayısını 2'den başlayarak asal sayılara sırayla bölüyoruz. 1'i elde ettiğimizde çizginin sağ tarafında kalan sayılar 36'nın asal çarpanlarıdır.

36 sayısının asal çarpanları 2 ve 3'tür. Çizginin sağ tarafındaki sayıları çarparak 36 sayısını elde edebiliriz.

36 sayısının asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılmış hali 36 = 22 . 32 'dir

EN KÜÇÜK ORTAK KAT (EKOK)

İki ya da daha fazla doğal sayının ortak katlarının en küçüğüne bu sayıların en küçük ortak katı, kısaca ekoku denir.

a ve b doğal sayılarının en küçük ortak katı EKOK (a,b) veya (a,b)ekok şeklinde gösterilir. Şimdi ekok nedir daha iyi anlayabilmek için bir örnek verelim.

ÖRNEK: 6 ve 8 sayılarının en küçük ortak katını adım adım bulalım.

# Öncelikle 6 ve 8 sayılarının katlarını yazalım: (Ortak Bölenler ve Katlar konusuna göz atabilirsiniz.)

6'nın katları : 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...

8'in katları : 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, ...

# Şimdi bu katlardan ortak olanlarını işaretleyelim.

6'nın katları : 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...

8'in katları : 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, ...

# Bu ortak katlardan en küçüğü ekok'tur. Ortak katlar: 24, 48, .... En küçük ortak kat (EKOK) = 24 EKOK (6,8) = 24 veya (6,8)ekok = 24 şeklinde gösteririz.

# EKOK'un adı üstünde: En Küçük Ortak Kat Yani sayıların katlarını bulacağız, ortak olanlarını bulacağız, bunlardan en küçük olanı ekok'tur.

EKOK kısa yoldan nasıl hesaplanır birazdan öğreneceğiz.

EKOK NASIL BULUNUR? EKOK BULMA:

İki sayıyı yan yana yazarak bölen listesi yaparız. En küçük asal sayıdan başlayarak devam edilir. İki sayı da bölünmüyorsa bir büyük asal sayıya geçilir. İki sayı da 1 olana kadar işleme devam edilir.

Aşağıdaki örneği incelersek 15 ve 20'yi önce en küçük asal sayı olan 2'ye böleriz. 15 bölünmez ancak 20 bölünür. Daha sonra tekrar 2'ye böleriz. 15 bölünmese de 10 bölünür. Daha sonra işleme bu şekilde devam ederiz. İki sayı da 1 olunca işlemimiz biter. Çizginin sağında yazan sayıların çarpımı bu iki sayının en küçük ortak katı yani ekokudur.

Aynı işlemi 2'den fazla sayı için de aynı şekilde uygularız.

Örneğin EKOK (5,10,4) = 20 gibi.

EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN (EBOB)

İki ya da daha fazla doğal sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni, kısaca ebobu denir.

a ve b doğal sayılarının en büyük ortak böleni EBOB (a,b) veya (a,b)ebob şeklinde gösterilir. Şimdi ebob nedir daha iyi anlayabilmek için bir örnek verelim.

ÖRNEK: 18 ve 24 sayılarının en büyük ortak bölenini adım adım bulalım.

# Öncelikle 18 ve 24 sayılarının bölenlerini yazalım: (Ortak Bölenler ve Katlar konusuna göz atabilirsiniz.)

18'in bölenleri : 1, 2, 3, 6, 9, 18

24'ün bölenleri : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

# Şimdi bu bölenlerden ortak olanlarını işaretleyelim.

18'in bölenleri : 1, 2, 3, 6, 9, 18

24'ün bölenleri : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

# Bu ortak bölenlerin en büyüğü ebob'tur.

Ortak bölenler: 1, 2, 3, 6 En büyük ortak bölen (EBOB) = 6 EBOB (18,24) = 6 veya (18,24)ebob = 6 şeklinde gösteririz.

# EBOB'un adı üstünde: En Büyük Ortak Bölen Yani sayıların bölenlerini bulacağız, ortak olanlarını bulacağız, bunlardan en büyük olanı ebob'tur. EBOB kısa yoldan nasıl hesaplanır birazdan öğreneceğiz.

EBOB NASIL BULUNUR? EBOB BULMA:

İki sayıyı yan yana yazarak bölen listesi yaparız. En küçük asal sayıdan başlayarak devam ederiz. İki sayı da bölünmüyorsa bir büyük asal sayıya geçilir. İki sayı da 1 olana kadar işleme devam edilir. Ancak burada önemli olan her iki sayıyı da bölen sayıları işaretlememiz gerektiğidir.

Aşağıdaki örneği incelersek 24 ve 32'yi önce en küçük asal sayı olan 2'ye böleriz. İkisini de böldüğü için 2'yi işaretleriz. Sonra benzer şekilde devam ederiz. Her iki sayı da 1 olunca işlemimiz biter ve işaretli sayıların çarpımı bu sayıların en büyük ortak böleni yani ebobudur.

Aynı işlemi 2'den fazla sayı için de aynı şekilde uygularız.

Örneğin EBOB (15,10,40) = 5 gibi.

EBOB-EKOK İLE İLGİLİ NOTLAR NOT:

İki sayının çarpımı, EBOB'ları ile EKOK'larının çarpımına eşittir.

ÖRNEK: 6 ve 8 sayılarını inceleyelim:

EBOB (6,8) = 2

EKOK (6,8) = 24

Bu iki sayının çarpımı : 6 x 8 = 48

EBOB (6,8) x EKOK (6,8) : 2 x 24 = 48

NOT: Birbirinin katı olan sayıların EBOB'ları küçük sayıya, EBOB'ları büyük sayıya eşittir.

ÖRNEK: 6 ve 12 sayılarını inceleyelim:

EBOB (6,12) = 6

EKOK (6,12) = 12

NOT: EBOB sayılardan büyük olamaz, EKOK sayılardan küçük olamaz.

EKOK ≥ SAYILAR ≥ EBOB EBOB

EKOK PROBLEMLERİ

EBOB ve EKOK özellikle problemlerde çok karıştırılır. Hangi soruda EBOB, hangi soruda EKOK bulacağımızı karıştırmamalıyız. Peki nasıl ayırt edebiliriz? Bir soru ebob sorusu mu ekok sorusu mu nasıl anlarız? Cevabı çok basit: Düşünerek Soruda size verilenler ile istenilen şeye nasıl ulaşabileceğinizi biraz düşünürseniz ebob-ekok problemlerini ayırt etmeniz çok kolay olur. Eğer istenilen şeye verilen sayıların katlarından ulaşacak isek ekok, verilen sayıların bölenlerinden ulaşacak isek ebob kullanılır.

EBOB: İki veya daha fazla çokluğun ortak bölenlerinin en büyüğüdür. Doğal olarak sorularda bütünü parçalamamızı istiyorsa ebob kullanma ihtimalimiz yüksek.

EBOB SORULARI GENELDE ŞÖYLEDİR:

1) Bidonlarda, varillerde, şişelerde, çuvallarda, kaplarda bulunan malzemeler daha küçük başka kaplara aktarılıyorsa,

2) Tarlanın etrafına eşit aralıklarla ağaç veya direk dikiliyorsa,

3) İnsanlardan oluşan gruplar için kaç uçak, otobüs, araba veya oda gerekir diye soruluyorsa,

4) Dikdörtgenler prizması şeklindeki odanın, kutunun, deponun içine kaç küp sığar diye soruluyorsa,

5) Kumaşlar, bezler, demir çubuklar parçalara ayrılacaksa,

6) Dikdörtgen şeklindeki kartondan küçük kare kartonlar elde ediliyorsa ebob kullanılır.

ÖRNEK: 80cm ve 120cm uzunluğunda iki demir çubuk, boyları birbirine eşit parçalara ayrılacaktır.

Bir parçanın uzunluğu en fazla kaç cm olur? EBOB (80,120) = 2.2.2.5 = 40cm

EKOK: İki veya daha fazla çokluğu ortak katlarının en küçüğüdür. Doğal olarak sorularda parçalardan bütüne gitmemiz istiyorsa ekok kullanma ihtimalimiz yüksek.

EKOK SORULARI GENELDE ŞÖYLEDİR:

1) Cevizler, fındıklar, şekerler, bilyeler üçer-beşer-vb sayılıyorsa veya bunlar sayıldıktan sonra artan oluyorsa,

2) Gemiler, arabalar, yarışçılar beraber yola çıkıp bir yerde karşılaşıyorsa,

3) Sınıfta öğrenciler ikişer-üçer-vb sıralara oturuyorlarsa veya bunlardan ayakta kalanlar oluyorsa,

4) Ziller, saatler birlikte ne zaman bir daha çalar diye soruluyorsa,

5) Dikdörtgenler prizması şeklindeki tuğlalardan küp yapılıyorsa ekok kullanılır.

ÖRNEK: Tarık bilyelerini 4'er , 5'er , 6'şar saydığında her defasında 1 bilyesi artıyor.Buna göre, Tarık'ın en az kaç tane bilyesi vardır? EKOK(4,5,6) = 2.2.3.5 = 60 60 + 1 = 61 bilye

ARALARINDA ASAL SAYILAR

İki ya da daha fazla doğal sayının 1’den başka ortak böleni yoksa bu sayılara aralarında asal sayılar denir.

ÖRNEK: 16 ve 35 sayılarının ortak bölenlerini adım adım bulalım.

# Öncelikle 16 ve 35 sayılarının bölenlerini yazalım:

16'nın bölenleri: 1, 2, 4, 8, 16

35'in bölenleri: 1, 3, 5, 7, 35

# Şimdi bu bölenlerden ortak olanlarını işaretleyelim.

16'nın bölenleri: 1, 2, 4, 8, 16

35'in bölenleri: 1, 3, 5, 7, 35

# Görüldüğü gibi bu iki sayının ortak bölenleri sadece 1'dir. Bu yüzden bu iki sayıya aralarında asal sayılar denir.

ÖRNEK: 18 ve 21 sayılarının aralarında asal olup olmadığını bulalım.

# 18 ve 21 sayılarının bölenlerini yazalım ve ortak olanlarını işaretleyelim.

18'in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18

21'in bölenleri: 1, 3, 7, 21

# Görüldüğü gibi bu iki sayının ortak bölenleri 1 ve 3'tür. 1'den başka ortak bölenleri bulunduğu için bu iki sayı aralarında asal sayı değildir.

ARALARINDA ASAL SAYILAR İLE İLGİLİ NOTLAR

1) Aralarında asal sayıların ebob'ları 1'dir. ( EBOB (16,35) = 1 )

2) Aralarında asal sayıların ekok'ları sayıların çarpımına eşittir .( EKOK (5,6) = 5.6 = 30 )

3) Ardışık iki sayı daima aralarında asaldır. ( Örneğin 14 ve 15 aralarında asaldır. )

4) Ardışık iki tek sayı daima aralarında asaldır. ( Örneğin 43 ve 45 aralarında asaldır.

5) Çift sayılar aralarında asal olamaz. ( Çünkü ikisi de 2'ye bölünür. )

6) Farklı asal sayılar her zaman aralarında asaldır. 5 ve 23 ikisi de asal sayı olduğu için aralarında asaldır.

7) Aralarında asal sayıların asal sayı olması gerekmez. 9 ve 64 aralarında asaldır ancak ikisi de asal sayı değildir.