Blackbody

• Definition : An idealized object that absorbs all incident radiation and emits the maximum possible thermal radiation at a given temperature.

  • Many astrophysical bodies are not perfect blackbodies, but the approximation is very useful.

Planck's law :

• the spectral radiation of blackbody givens at temperature T at wavelength \lambda
  B_{\lambda} = \frac{2hc^2}{\lambda^5} \frac{1}{\exp^{hc/\lambda kT} - 1} B_{\nu} = \frac{2h\nu^3}{c^2} \frac{1}{\exp^{h\nu/kT} - 1}

Wien's displacement law :

• The hotter objects peak at shorter wavelengths
  \lambda_{max} T = b = 2.897771955 \times 10^{-3} m \cdot K

  • Derivation :
    \frac{dB_{\lambda}}{d\lambda} = 2hc^2 \left( \frac{hc}{kT\lambda^7}\frac{e^{hc/\lambda kT}}{(e^{hc/\lambda kT}-1)^2} - \frac{1}{\lambda^6}\frac{5}{e^{hc/\lambda kT}-1}\right) = 0 Set x \equiv hc /\lambda kT,
    \frac{x e^x}{e^x -1} - 5= 0therefore, x = 5(1 - e^{-x}). The equation is solved by x = 5 + W_{0}(-5e^{-5}), where W_{0} is the principal branch of the Lambert W function, and gives x = 4.965114231744276303\dots

Stefan-Boltzmann law :

• The total emitted power per unit area follows
  F = \sigma T^4 where the Stefan-Boltzmann constant \sigma = 5.670374419 \times 10^{-8} W\cdot m^{-2}\cdot K^{-4} . For spherical object of radius R, the luminosity is L = 4\pi R^2 \sigma T^4

• 흑체 : 이상적인 물체로서 받아들이는 모든 빛을 흡수하고 주어진 온도에서의 발광 가능한 열적 복사를 최대한으로 발하는 물체이다.
  
  

  • 실제 우주에 있는 천체들의 대다수는 완벽하게 흑체는 아니다. 그러나 흑체로 근사한 경우에 매우 잘 들어맞는 설명이 가능하다.

• 플랑크 공식 : 주어진 파장/진동수에 대해 특정 온도를 지니는 흑체가 발하는 빛의 세기를 나타내는 공식이다.
  
  

• 빈의 공식 : 특정 온도를 지닌 흑체가 발하는 가장 센 밝기의 빛의 파장을 특정하는 공식이다.
  
  

• 스테판-볼츠만 공식 : 흑체가 발하는 빛의 단위당 에너지를 구하는 공식이다.